苏教版高中数学选择性必修第二册-章末检测试卷一(第6章)【课件】

章末检测试卷一(第6章)(时间：120分钟

满分：150分)第6章空间向量与立体几何12345678910111213141516171819202122一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)√123456789101112131415162.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于A.1

B.2 C.3 D.4171819202122解析若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，√123456789101112131415163.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为A.(1，－1,1) B.(2，－1,1)C.(－2,1,1) D.(－1,1,1)171819202122解析显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，√令z＝1，得x＝－2，y＝1.所以n＝(－2,1,1).12345678910111213141516A.等腰三角形

B.锐角三角形C.直角三角形

D.钝角三角形171819202122√∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形.123456789101112131415165.已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于171819202122解析因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，所以2a－b＝(4,2n－1,2).因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，√6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是A.(1，－2,4) B.(－4,1，－2)C.(2，－2,1) D.(1,2，－2)12345678910111213141516171819202122√解析设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，12345678910111213141516171819202122设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的法向量，则n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量.结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量.123456789101112131415161718192021227.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为√123456789101112131415161718192021228.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为√解析以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则G(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，取x＝1，得n＝(1,0,2)为平面D1EF的一个法向量，∴点G到平面D1EF的距离为1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)171819202122A.O，A，B，C四点不共线B.O，A，B，C四点共面，但不共线C.O，A，B，C四点中任意三点不共线D.O，A，B，C四点不共面√√√12345678910111213141516171819202122若O，A，B，C中有三点共线，则四点一定共面，故C正确.1234567891011121314151610.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的夹角为α，则171819202122√√√12345678910111213141516则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(2,0,1)，171819202122设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，12345678910111213141516令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2).171819202122∴DF与平面AED1不垂直，故A错误；12345678910111213141516171819202122故C正确；由图知α为锐角，12345678910111213141516171819202122√11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是√12345678910111213141516171819202122解析以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，12345678910111213141516171819202122由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E，解得z＝a或z＝2a，即AE＝a或2a.1234567891011121314151617181920212212.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则A.直线BD1⊥平面A1C1DB.三棱锥P－A1C1D的体积为定值C.异面直线AP与A1D所成的角的√√√12345678910111213141516171819202122解析对于选项A，连接B1D1(图略)，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，所以A1C1⊥平面BD1B1，故A1C1⊥BD1；同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，则BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于选项B，

因为点P在线段B1C上运动，12345678910111213141516171819202122且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；对于选项C，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成的角取得最小值为60°，故C错误；对于选项D，因为直线BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成的角的余弦值最大，则P运动到B1C中点处，即所成的角为∠C1BD1，12345678910111213141516三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)17181920212213.已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为____.112345678910111213141516171819202122解析

∵B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，E(－2,1，m)，根据空间向量基本定理，存在实数x，y，解得m＝1.1234567891011121314151617181920212214.已知平面α经过点B(1,0,0)，且α的法向量n＝(1,1,1)，则P(2,2,0)到平面α的距离为_____.解析

∵向量n＝(1,1,1)为平面α的法向量，点B(1,0,0)，P(2,2,0)，1234567891011121314151615.已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为____.171819202122解析设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD，AC，OO1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.因为AB＝2，A1B1＝1，因为平面BDD1B1⊥平面ABCD，所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角，故∠B1BO＝60°.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122－712345678910111213141516171819202122解析如图所示，作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，折叠后，DE，EF，FB的长度保持不变，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516四、解答题(本大题共6小题，共70分)17181920212212345678910111213141516171819202122123456789101112131415161718192021221234567891011121314151618.(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5).171819202122又∵∠BAC∈[0，π]，12345678910111213141516171819202122解设a＝(x，y，z)，∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).1234567891011121314151617181920212219.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EF⊥CD；12345678910111213141516171819202122证明如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，12345678910111213141516171819202122(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.12345678910111213141516171819202122得z＝0.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212220.(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；解如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.12345678910111213141516171819202122即DP与CC′所成的角为45°.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.解由题意得，平面AA′D′D的一个法向量是12345678910111213141516171819202122可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.1234567891011121314151621.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.171819202122(1)求证：BE⊥DC；证明依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，12345678910111213141516171819202122B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，所以BE⊥DC.12345678910111213141516(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值.17181920212212345678910111213141516171819202122设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，12345678910111213141516171819202122不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量.易知向量n2＝(0,1,0)为平面ABP的一个法向量，12345678910111213141516171819202122由图可知，二面角F－AB－P为锐角，12345678910111213