高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.8圆与圆的位置关系【七大题型】(原卷版+解析)

专题2.8圆与圆的位置关系【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆与圆的位置关系的判定】 2【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】 3【题型3两圆的公切线长】 5【题型4两圆的公切线方程或条数】 8【题型5相交圆的公共弦方程】 11【题型6两圆的公共弦长】 12【题型7圆系方程及其应用】 15【知识点1圆与圆的位置关系及判定】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.【题型1圆与圆的位置关系的判定】【例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：x2+y2=1与圆C:x2+y2+6y+5=0的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）圆O1:x−22+A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆O1，与圆O2的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【变式1-3】（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）圆C1:x2+A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知圆x2+y2=4A．7 B．8 C．9 D．10【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆x2+y2=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知圆M:x2+y2=1和A．3 B．32 C．5 D．【变式2-3】（2023秋·贵州黔东南·高二校考期末）已知圆C1:x2+y2A．1,2+1 C．1,2+1 【知识点2两圆的公切线】1．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【题型3两圆的公切线长】【例3】（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2A．1 B．2 C．3 D．2【变式3-1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为x2+y2−2x−2y−7=0(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【变式3-2】（2023·高二单元测试）已知圆C1:(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l与圆C1交于P，Q，且线段PQ的长度为26，求证：存在一个定圆C，直线【变式3-3】（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2−4x=0，C2(1)求圆C1和圆C(2)在圆C1上是否存在点P，使得PA2【题型4两圆的公切线方程或条数】【例4】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：xA．3x−4y−5=0 B．3x−4y+5=0C．4x−3y−5=0 D．4x−3y+5=0【变式4-1】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）圆C1:(x+2)2+A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆M:x−22+y−12=1，圆N:x+2A．y=0 B．4x−3y=0C．x−2y+5=0 【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆C1：x2+y−a2=a2a>0的圆心到直线x−y−2=0的距离为2A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【知识点3两圆的公共弦】1．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.【题型5相交圆的公共弦方程】【例5】（2022秋·高二课时练习）已知圆C1：x2+A．3x+4y+6=0 B．3x+4y−6=0C．3x−4y−6=0 D．3x−4y+6=0【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆C1:x2+y2−kx+2y=0与圆A．1,−12 C．−1,−12 【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O:(x−1)2+(y−23)2A．x−3y+3=0 C．3x−y+3=0 D．【变式5-3】（2023·河南·统考二模）若圆C1:x2+y2=1与圆A．2ax+by−1=0 B．2ax+by−3=0C．2ax+2by−1=0 D．2ax+2by−3=0【题型6两圆的公共弦长】【例6】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆O1:x2+A．5 B．10C．25 D．【变式6-1】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）圆C1：x2+y2−4=0与圆A．2 B．4 C．2 D．2【变式6-2】（2021秋·高二课时练习）圆C1:x2+A．12 B．1 C．32【变式6-3】（2022秋·河南·高二校联考期中）已知圆O:x2+y2=r2r>0与圆C:x2+yA．95 B．165 C．245【知识点4圆系方程及其应用】1．圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：

(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.

(2)与圆同心的圆系方程是.

(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.

(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是.(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是().(其中不含有:,注意检验是否满足题意,以防漏解).①当时，l:为两圆公共弦所在的直线方程.②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.【题型7圆系方程及其应用】【例7】（2022·高二课时练习）求过两圆x2+y2−2y−4=0和xA．x2+yC．x2+y【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点M(2,−2)以及圆x2+y2−5x=0A．x2+yC．x2+y【变式7-2】（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）求过两圆x2+y2+2x−4y−4=0和xA．x2+yC．x2+y【变式7-3】（2022·全国·高二专题练习）若圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2−4x−6=0和x2+A．0 B．85 C．2 D．

专题2.8圆与圆的位置关系【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆与圆的位置关系的判定】 2【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】 3【题型3两圆的公切线长】 5【题型4两圆的公切线方程或条数】 8【题型5相交圆的公共弦方程】 11【题型6两圆的公共弦长】 12【题型7圆系方程及其应用】 15【知识点1圆与圆的位置关系及判定】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.【题型1圆与圆的位置关系的判定】【例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：x2+y2=1与圆CA．相交 B．相离 C．外切 D．内切【解题思路】利用两圆外切的定义判断即可.【解答过程】圆O是以O(0,0)为圆心，半径r1圆C:x2+y2+6y+5=0改写成标准方程为x2+则OC=3，r故选：C.【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）圆O1:x−22+A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【解题思路】计算两圆圆心距离，利用几何法可判断两圆的位置关系.【解答过程】圆O1圆心为O12,0，半径为r1=2，圆O则两圆的圆心距为O1O2则圆O1与圆O故选：D.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆O1，与圆O2的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【解题思路】根据给定条件，利用圆心距与两圆半径和差大小关系判断作答.【解答过程】依题意，圆O1与圆O2的圆心距4等于圆O2所以圆O1内切于圆O故选：D.【变式1-3】（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）圆C1:x2+A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【解题思路】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.【解答过程】两圆化为标准形式，可得C1:(x−3)可知半径r1=4，r2而3=r故选：C.【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知圆x2+y2=4A．7 B．8 C．9 D．10【解题思路】由两圆外切,则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案.【解答过程】由圆x2+y2=4由圆x2+y2−6x−8y+m+6=0即x−3因为两圆外切，所以MN=r1+r故选：D.【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆x2+y2=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.【解答过程】解：若圆x2+y当两圆外切时，(−a−0)2+02=2+1当两圆内切时，(−a−0)2+02=2−1当a=3时，圆x2+y所以“a＝3”是“圆x2+y当圆x2+y2=1所以“a＝3”是“圆x2+y所以“a＝3”是“圆x2+y故选：A.【变式2-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知圆M:x2+y2=1和A．3 B．32 C．5 D．【解题思路】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.【解答过程】因为圆M:x2+所以两圆相交或者相内切或者相外切，即m−1≤解得3≤m≤5，选项ABC满足，m的值不能为D.故选：D.【变式2-3】（2023秋·贵州黔东南·高二校考期末）已知圆C1:x2+y2A．1,2+1 C．1,2+1 【解题思路】根据两圆相交的性质直接得出.【解答过程】由题意知，圆心C10,0与圆心则圆心距C1因为圆C1与圆C则圆C1与圆C则r−1<C解得22故选：B.【知识点2两圆的公切线】1．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【题型3两圆的公切线长】【例3】（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】设直线l交x轴于点M，推导出C1为MC2的中点，A为BM【解答过程】如下图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1:x+12+y2则AC1⊥l，B∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故选：C.【变式3-1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为x2+y2−2x−2y−7=0(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【解题思路】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长；（2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.【解答过程】（1）圆A：x−12+y−12=9两圆心距AB=∵3−2<AB∴两圆相交，将两圆方程左、右两边分别对应相减得：4x+4y+5=0，此即为过两圆交点的直线方程.设两交点分别为C、D，则AB垂直平分线段CD，∵A到CD的距离d=4×1+4×1+5∴CD=2（2）设公切线l切圆A、圆B的切点分别为E，F，则四边形AEFB是直角梯形.∴EF2∴EF=【变式3-2】（2023·高二单元测试）已知圆C1:(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l与圆C1交于P，Q，且线段PQ的长度为26，求证：存在一个定圆C，直线【解题思路】（1）求出两圆的圆心和半径，判断圆心距与半径之差、半径之和的关系即可判断两圆的位置关系，设直线RS分别与圆C1,C2切于R，（2）利用几何法求得点C11,2到直线l的距离为定值，即可得定圆【解答过程】（1）由圆C1:(x−1)2+由圆C2:(x−2)2+C1所以1=r1−设直线RS分别与圆C1,C2切于R，在直角梯形C1C2所以|RS|=C1C（2）设线段PQ的中点为D，则C1因为动直线l与圆C1交于P，Q，且线段PQ的长度为2所以C1又因为C1D⊥PQ，所以点C11,2到直线所以直线l总与圆(x−1)2所以存在一个定圆C:(x−1)2+【变式3-3】（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2−4x=0，C2(1)求圆C1和圆C(2)在圆C1上是否存在点P，使得PA2【解题思路】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案.（2）存在Px,y满足条件，根据题意化解得到x【解答过程】（1）圆C1：x2+y2−4x=0，即x−2圆C2：x2+y2+4x+3=0，即x+22圆心距为4>r当两圆在公切线同侧时：l1当两圆在公切线异侧时：l2综上所述，公切线段长为15或7.（2）假设存在Px,y满足条件，即x+1化简得到：x2+y−12=4r1故点P的个数为2.【题型4两圆的公切线方程或条数】【例4】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：xA．3x−4y−5=0 B．3x−4y+5=0C．4x−3y−5=0 D．4x−3y+5=0【解题思路】由两圆的位置关系得出m，进而联立两圆方程得出公切线方程.【解答过程】圆C1：x2+y2=1的圆心(x−4)2+(y+3)2=25−m，m<25因为圆C1与圆C2相内切，所以r2−1=O由x2+y即C1与C2的公切线方程为故选：D.【变式4-1】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）圆C1:(x+2)2+A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.【解答过程】圆C1:(x+2)圆C2:(x+1)所以两圆的圆心距为d=1+16因为5−3<17所以两圆的公切线有2条.故选：B.【变式4-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆M:x−22+y−12=1，圆N:x+2A．y=0 B．4x−3y=0C．x−2y+5=0 【解题思路】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，另两条切线与直线MN平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解【解答过程】由题意，圆M:x−22+y−1圆N:x+22+y+1如图所示，两圆相离，有四条公切线.两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线l:y=kx，则圆心到直线的距离2k−11+k2=1，解得另两条切线与直线MN平行且相距为1，又由lMN设切线l:y=12x+b，则b结合选项，可得D不正确.故选：D.【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆C1：x2+y−a2=a2a>0的圆心到直线x−y−2=0的距离为2A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解题思路】先根据题意求得a=2，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.【解答过程】圆C1：x2+y−a2所以圆心到直线x−y−2=0的距离为d=0−a−212+1因为a>0，所以a=2.所以圆C1：x2+y−22圆C2：x2+圆心坐标为C21,2，半径圆心距d=0−1所以两圆的公切线只有1条.故选：B．【知识点3两圆的公共弦】1．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.【题型5相交圆的公共弦方程】【例5】（2022秋·高二课时练习）已知圆C1：x2+A．3x+4y+6=0 B．3x+4y−6=0C．3x−4y−6=0 D．3x−4y+6=0【解题思路】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【解答过程】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆C1:x2+y2−kx+2y=0与圆A．1,−12 C．−1,−12 【解题思路】计算公共弦所在直线为−kx+2y−2ky+1=0，得到x+2y=0−2y−1=0【解答过程】圆C1:x−kx+2y−2ky+1=0，即kx+2y−2y−1=0，故x+2y=0−2y−1=0故直线过定点1,−1故选：A.【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O:(x−1)2+(y−23)2A．x−3y+3=0 C．3x−y+3=0 D．【解题思路】求出以P(3,0)、O(1,23)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦【解答过程】圆O:(x−1)2+以P(3,0)、O(1,23)为直径,则PO的中点坐标为N(2,3∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x−2)2因为过点P(3,0)圆O:(x−1)2+(y−23所以AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为：x−3故选：A．【变式5-3】（2023·河南·统考二模）若圆C1:x2+y2=1与圆A．2ax+by−1=0 B．2ax+by−3=0C．2ax+2by−1=0 D．2ax+2by−3=0【解题思路】将两圆方程相减得到直线AB的方程为a2+b2−2ax−2by=0【解答过程】将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2即2ax+2by−a因为圆C1的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB的长为1则C1(0,0)到直线2ax+2by−a所以a2+b所以直线AB的方程为2ax+2by−3=0，故选：D.【题型6两圆的公共弦长】【例6】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆O1:x2+A．5 B．10C．25 D．【解题思路】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆O1公共弦长公式d=2r【解答过程】联立两个圆的方程x2两式相减可得公共弦方程x−2y−1=0，圆O1:x2+圆心O10,2到公共弦的距离为公共弦长为d=2r故选:C.【变式6-1】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）圆C1：x2+y2−4=0与圆A．2 B．4 C．2 D．2【解题思路】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为x−y−2=0，根据弦长公式即得.【解答过程】圆C1：x2+y2圆C2：x−22+y+22圆心距d=22+联立两圆方程x2+y即公共弦所在直线的方程为x−y−2=0，故圆心0,0到公共弦的距离为2，公共弦长为：2r故选：D.【变式6-2】（2021秋·高二课时练习）圆C1:x2+A．12 B．1 C．32【解题思路】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线y=x上，再利用几何关系即可求出结果.【解答过程】由x2+y2+2ax+2ay+2a2由C2:x2+y2所以两圆圆心均在直线y=x上，半径分别为1和2，

如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.故选：D.【变式6-3】（2022秋·河南·高二校联考期中）已知圆O:x2+y2=r2r>0与圆C:x2+yA．95 B．165 C．245【解题思路】设OC∩AB=M，分析可知点M为AB的中点，由四边形OACB的面积为3r，可得出AB的长，利用勾股定理可得出关于r的等式，解出r的值，即可求得AB.【解答过程】如下图所示：圆C的标准方程为x+42+y+32=9由题意可知，OA=OB，CA=CB，所以，∠AOC=∠BOC，所以，OC⊥AB，设OC∩AB=M，则M为AB的中点，故四边形OACB的面积为S=12OC故AM=12∴CM=AC所以，9−9r225=5−故选：C.【知识点4圆系方程及其应用】1．圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几