高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 解析几何 文

解析几何H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程21．B12，H1[·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝－e－xx(x－2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(0，2)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l在x轴上的截距为m(t)＝t－eq\f(f（t）,f′（t）)＝t＋eq\f(t,t－2)＝t－2＋eq\f(2,t－2)＋3.由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝x＋eq\f(2,x)(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2eq\r(2)，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2eq\r(2)＋3，＋∞)．综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2eq\r(2)＋3，＋∞)．5．H1，H4[·天津卷]已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)5．C[解析]设过点P(2，2)的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)，由题意得eq\f(|k－2|,\r(1＋k2))＝eq\r(5)，解之得k＝－eq\f(1,2).又∵切线与直线ax－y＋1＝0垂直，∴a＝2.15．H1，C8，E8[·四川卷]在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4)[解析]在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC所在直线方程为y＝2x，BD所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．H2两直线的位置关系与点到直线的距离20．H2，H4[·新课标全国卷Ⅱ]在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3).(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．20．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1.))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.4．H2、H3和H4[·重庆卷]设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．24．B[解析]|PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.H3圆的方程14．H3[·江西卷]若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．14．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4)[解析]r2＝4＋(r－1)2，得r＝eq\f(5,2)，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(3,2))).故圆C的方程是(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).21．F2、F3、H3、H5和H8[·重庆卷]如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则eq\f(（－c）2,a2)＋eq\f(22,b2)＝1，从而e2＋eq\f(4,b2)＝1.由e＝eq\f(\r(2),2)得b2＝eq\f(4,1－e2)＝8，从而a2＝eq\f(b2,1－e2)＝16.故该椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋xeq\o\al(2,0)＋8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16)))＝eq\f(1,2)(x－2x0)2－xeq\o\al(2,0)＋8(x∈[－4，4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－xeq\o\al(2,0).由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以S＝eq\f(1,2)|2y1||x1－x0|＝eq\f(1,2)×2eq\r(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),16))))|x0|＝eq\r(2)eq\r(（4－xeq\o\al(2,0)）xeq\o\al(2,0))＝eq\r(2)eq\r(－（xeq\o\al(2,0)－2）2＋4).当x0＝±eq\r(2)时，△PP′Q的面积S取到最大值2eq\r(2).此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±eq\r(2)，0)，半径|QP|＝eq\r(8－xeq\o\al(2,0))＝eq\r(6)，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋eq\r(2))2＋y2＝6，(x－eq\r(2))2＋y2＝6.4．H2、H3和H4[·重庆卷]设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．24．B[解析]|PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.H4直线与圆、圆与圆的位置关系6．H4[·安徽卷]直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．4eq\r(6)6．C[解析]圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0的距离d＝1，所以直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0所截得的弦长l＝2eq\r(r2－d2)＝4.7．H4[·广东卷]垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是()A．x＋y－eq\r(2)＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋eq\r(2)＝07．A[解析]设直线方程为y＝－x＋m，且原点到此直线的距离是1，即1＝eq\f(m,\r(2))，解得m＝±eq\r(2).当m＝－eq\r(2)时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.14．H4[·湖北卷]已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2))).设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________．14．4[解析]圆心到直线的距离d＝1，r＝eq\r(5)，r－d>d，所以圆O上共有4个点到直线的距离为1，k＝4.10．H4[·江西卷]如图1－3所示，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时图1－3图1－410.B[解析]如图，设∠MOA＝α，cosα＝1－t，cos2α＝2cos2α－1＝2t2－4t＋1，x＝2α·1＝2α，y＝cosx＝cos2α＝2t2－4t＋1，故选B.20．H2，H4[·新课标全国卷Ⅱ]在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3).(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．20．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1.))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))此时，圆P的半径r＝eq\r(3).故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.13．H4[·山东卷]过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．13．2eq\r(2)[解析]设弦与圆的交点为A、B，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2eq\r(2).8．H4[·陕西卷]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定8．B[解析]由题意点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则满足a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，故直线ax＋by＝1与圆O相交．5．H1，H4[·天津卷]已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)5．C[解析]设过点P(2，2)的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)，由题意得eq\f(|k－2|,\r(1＋k2))＝eq\r(5)，解之得k＝－eq\f(1,2).又∵切线与直线ax－y＋1＝0垂直，∴a＝2.20．H4，E8，B1[·四川卷]已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且eq\f(2,|OQ|2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2).请将n表示为m的函数．20．解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12>0，得k2>3.所以，k的取值范围是(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)＋∞)．(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)xeq\o\al(2,1)，|ON|2＝(1＋k2)xeq\o\al(2,2).又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，由eq\f(2,|OQ|2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2)，得eq\f(2,（1＋k2）m2)＝eq\f(1,（1＋k2）xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,（1＋k2）xeq\o\al(2,2))，即eq\f(2,m2)＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2))＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)).由(*)式可知，x1＋x2＝eq\f(8k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(12,1＋k2)，所以m2＝eq\f(36,5k2－3).因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝eq\f(n,m)，代入m2＝eq\f(36,5k2－3)中并化简，得5n2－3m2＝36.由m2＝eq\f(36,5k2－3)及k2>3，可知0<m2<3，即m∈(－eq\r(3)，0)∪(0，eq\r(3))．根据题意，点Q在圆C内，则n>0，所以n＝eq\r(\f(36＋3m2,5))＝eq\f(\r(15m2＋180),5).于是，n与m的函数关系为n＝eq\f(\r(15m2＋180),5)(m∈(－eq\r(3)，0)∪(0，eq\r(3)))．13．H4[·浙江卷]直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．13．4eq\r(5)[解析]圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心到直线的距离为d＝eq\f(|2×3－4＋3|,\r(5))＝eq\r(5)，所以弦长为2eq\r(52－（\r(5)）2)＝2eq\r(20)＝4eq\r(5).4．H2、H3和H4[·重庆卷]设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．24．B[解析]|PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.H5椭圆及其几何性质21．H5，H10[·安徽卷]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(eq\r(2)，eq\r(3))．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A(0，2eq\r(2))，联结AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．21．解：(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(eq\r(2)，eq\r(3))，所以eq\f(2,a2)＋eq\f(3,b2)＝1，故a2＝8，b2＝4，从而椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由题意，E点坐标为(x0，0)，设D(xD，0)，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝(x0，－2eq\r(2))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(xD，－2eq\r(2))．再由AD⊥AE知，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，即x0xD＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝－eq\f(8,x0).因为点G是点D关于y轴的对称点，所以Geq\f(8,x0)，0，故直线QG的斜率kQG＝eq\f(y0,x0－\f(8,x0))＝eq\f(x0y0,xeq\o\al(2,0)－8).又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝8.①从而kQG＝－eq\f(x0,2y0).故直线QG的方程为y＝－eq\f(x0,2y0)x－eq\f(8,x0).②将②代入椭圆C方程，得(xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0))x2－16x0x＋64－16yeq\o\al(2,0)＝0.③再将①代入③，化简得x2－2x0x＋xeq\o\al(2,0)＝0，解得x＝x0，y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．19．M2，H5，H10[·北京卷]直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．19．解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))，代入椭圆方程得eq\f(t2,4)＋eq\f(1,4)＝1，即t＝±eq\r(3).所以|AC|＝2eq\r(3).(2)证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝kx＋m))消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,1＋4k2)，eq\f(y1＋y2,2)＝k·eq\f(x1＋x2,2)＋m＝eq\f(m,1＋4k2).所以AC的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4km,1＋4k2)，\f(m,1＋4k2))).因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－eq\f(1,4k).因为k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4k)))≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．15．H5[·全国卷]若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4，))则z＝－x＋y的最小值为________．15．0[解析]已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC及其内部，目标函数的几何意义是直线y＝x＋z在y轴上的截距，显然在点A取得最小值，点A(1，1)，故zmin＝－1＋1＝0.8．H5[·全国卷]已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝18．C[解析]设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，与直线x＝1联立得y＝±eq\f(b2,a)(c＝1)，所以2b2＝3a，即2(a2－1)＝3a，2a2－3a－2＝0，a>0，解得a＝2(负值舍去)，所以b2＝3，故所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.15．H5，H8[·福建卷]椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．15.eq\r(3)－1[解析]如图，△MF1F2中，∠MF1F2＝60°，所以∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.又|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c，|MF2|＝eq\r(3)c.根据椭圆定义得2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋eq\r(3)c，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.9．H5[·广东卷]已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝19．D[解析]设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题知c＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，选D.12．H5[·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝eq\r(6)d1，则椭圆C的离心率为________．12.eq\f(\r(3),3)[解析]由题意知F(c，0)，l：x＝eq\f(a2,c)，不妨设B(0，b)，则直线BF：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.于是d1＝eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(bc,a)，d2＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(a2－c2,c)＝eq\f(b2,c).由d2＝eq\r(6)d1，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c)))eq\s\up12(2)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)))eq\s\up12(2)，化简得6c4＋a2c2－a4即6e4＋e2－1＝0，解得e2＝eq\f(1,3)或e2＝－eq\f(1,2)(舍去)，故e＝eq\f(\r(3),3)，故椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),3).20．H5，H8[·江西卷]椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图1－8所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．图1－820．解：(1)因为e＝eq\f(\r(3),2)＝eq\f(c,a)，所以a＝eq\f(2,\r(3))c，b＝eq\f(1,\r(3))c，代入a＋b＝3得，c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠0，k≠±\f(1,2)))，①①代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，解得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2－2,4k2＋1)，－\f(4k,4k2＋1))).直线AD的方程为y＝eq\f(1,2)x＋1.②①与②联立解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k＋2,2k－1)，\f(4k,2k－1))).由D(0，1)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2－2,4k2＋1)，－\f(4k,4k2＋1)))，N(x，0)三点共线知eq\f(－\f(4k,4k2＋1)－1,\f(8k2－2,4k2＋1)－0)＝eq\f(0－1,x－0)，解得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,2k＋1)，0)).所以MN的斜率为m＝eq\f(\f(4k,2k－1)－0,\f(4k＋2,2k－1)－\f(4k－2,2k＋1))＝eq\f(4k（2k＋1）,2（2k＋1）2－2（2k－1）2)＝eq\f(2k＋1,4)，则2m－k＝eq\f(2k＋1,2)－k＝eq\f(1,2)(定值)．方法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝eq\f(y0,x0－2).直线AD的方程为：y＝eq\f(1,2)(x＋2)，直线BP的方程为：y＝eq\f(y0,x0－2)(x－2)，直线DP的方程为：y－1＝eq\f(y0－1,x0)x，令y＝0，由于y0≠1可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－x0,y0－1)，0))，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)（x＋2），,y＝\f(y0,x0－2)（x－2），))解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y0＋2x0－4,2y0－x0＋2)，\f(4y0,2y0－x0＋2)))，因此MN的斜率为m＝eq\f(\f(4y0,2y0－x0＋2),\f(4y0＋2x0－4,2y0－x0＋2)＋\f(x0,y0－1))＝eq\f(4y0（y0－1）,4yeq\o\al(2,0)－8y0＋4x0y0－xeq\o\al(2,0)＋4)＝eq\f(4y0（y0－1）,4yeq\o\al(2,0)－8y0＋4x0y0－（4－4yeq\o\al(2,0)）＋4)＝eq\f(y0－1,2y0＋x0－2).所以2m－k＝eq\f(2（y0－1）,2y0＋x0－2)－eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(2（y0－1）（x0－2）－y0（2y0＋x0－2）,（2y0＋x0－2）（x0－2）)＝eq\f(2（y0－1）（x0－2）－2yeq\o\al(2,0)－y0（x0－2）,（2y0＋x0－2）（x0－2）)＝eq\f(2（y0－1）（x0－2）－\f(1,2)（4－xeq\o\al(2,0)）－y0（x0－2）,（2y0＋x0－2）（x0－2）)＝eq\f(1,2)(定值)．11．H5[·辽宁卷]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，联结AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，则C的离心率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,7)C.eq\f(4,5)D.eq\f(6,7)11．B[解析]设椭圆的右焦点为Q，由已知|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，△FAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a＝14，2c＝10，所以e＝eq\f(5,7).5．H5[·新课标全国卷Ⅱ]设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),3)5．D[解析]设PF2＝x,则PF1＝2x，由椭圆定义得3x＝2a，结合图形知，eq\f(\f(2a,3),2c)＝eq\f(\r(3),3)eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，故选D.22．H5，H8[·山东卷]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为eq\f(\r(6),4)的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OE,\s\up6(→))，求实数t的值．22．解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，故题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,2b＝2，))解得a＝eq\r(2)，b＝1，因此椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)(i)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，由题意－eq\r(2)＜m＜0或0＜m＜eq\r(2).将x＝m代入椭圆方程eq\f(x2,2)＋y2＝1，得|y|＝eq\r(\f(2－m2,2)).所以S△AOB＝|m|eq\r(\f(2－m2,2))＝eq\f(\r(6),4).解得m2＝eq\f(3,2)或m2＝eq\f(1,2).①又eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)t(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)t(2m，0)＝(mt，0)，因为P为椭圆C上一点，所以eq\f(（mt）2,2)＝1.②由①②得t2＝4或t2＝eq\f(4,3)，又因为t>0，所以t＝2或t＝eq\f(2\r(3),3).(ii)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h.将其代入椭圆的方程eq\f(x2,2)＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由判别式Δ>0可得1＋2k2>h2，此时x1＋x2＝－eq\f(4kh,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2h2－2,1＋2k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝eq\f(2h,1＋2k2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2eq\r(2)eq\r(1＋k2)eq\f(\r(1＋2k2－h2),1＋2k2).因为点O到直线AB的距离d＝eq\f(|h|,\r(1＋k2))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)eq\r(1＋k2)eq\f(\r(1＋2k2－h2),1＋2k2)eq\f(|h|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)eq\f(\r(1＋2k2－h2),1＋2k2)|h|.又S△AOB＝eq\f(\r(6),4)，所以eq\r(2)eq\f(\r(1＋2k2－h2),1＋2k2)|h|＝eq\f(\r(6),4).③令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，解得n＝4h2或n＝eq\f(4,3)h2，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝eq\f(4,3)h2.④又eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)t(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)t(x1＋x2，y1＋y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kht,1＋2k2)，\f(ht,1＋2k2)))，因为P为椭圆C上一点，所以t2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kh,1＋2k2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,1＋2k2)))\s\up12(2)))＝1，即eq\f(h2,1＋2k2)t2＝1.⑤将④代入⑤得t2＝4或t2＝eq\f(4,3)，又知t>0，故t＝2或t＝eq\f(2\r(3),3)，经检验，适合题意．综合(i)(ii)得t＝2或t＝eq\f(2\r(3),3).20．H5，H8[·陕西卷]已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．20．解：(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.由此得|4－x|＝2eq\r(（x－1）2＋y2).化简得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以，动点M的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)方法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋3代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0.由求根公式得，x1＋x2＝－eq\f(24k,3＋4k2)，①x1x2＝eq\f(24,3＋4k2).②又因A是PB的中点，故x2＝2x1.③将③代入①，②，得x1＝－eq\f(8k,3＋4k2)，xeq\o\al(2,1)＝eq\f(12,3＋4k2)，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k,3＋4k2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(12,3＋4k2)，且k2>eq\f(3,2)，解得k＝－eq\f(3,2)或k＝eq\f(3,2)，所以，直线m的斜率为－eq\f(3,2)或eq\f(3,2).方法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵A是PB的中点，∴x1＝eq\f(x2,2)，①y1＝eq\f(3＋y2,2).②又eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),3)＝1，③eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),3)＝1，④联立①，②，③，④解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0，))即点B的坐标为(2，0)或(－2，0)，所以，直线m的斜率为－eq\f(3,2)或eq\f(3,2).9．H5[·四川卷]从椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)9．C[解析]由已知，P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，A(a，0)，B(0，b)，于是由kAB＝kOP得－eq\f(b,a)＝eq\f(\f(b2,a),－c)，整理得b＝c，从而a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c.于是，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).18．H5，H8[·天津卷]设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为eq\f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq\f(4\r(3),3).(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝8，求k的值．18．解：(1)设F(－c，0)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，知a＝eq\r(3)c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有eq\f(（－c）2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(\r(6)b,3).于是eq\f(2\r(6)b,3)＝eq\f(4\r(3),3)，解得b＝eq\r(2).又a2－c2＝b2，从而a＝eq\r(3)，c＝1，所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1))消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq\f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－6,2＋3k2).因为A(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(x1＋eq\r(3)，y1)·(eq\r(3)－x2，－y2)＋(x2＋eq\r(3)，y2)·(eq\r(3)－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋eq\f(2k2＋12,2＋3k2).由已知得6＋eq\f(2k2＋12,2＋3k2)＝8，解得k＝±eq\r(2).21．H5、H9、H10[·新课标全国卷Ⅰ]已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2eq\r(3).若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则eq\f(|QP|,|QM|)＝eq\f(R,r1)，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),4).当k＝eq\f(\r(2),4)时，将y＝eq\f(\r(2),4)x＋eq\r(2)代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1，2＝eq\f(－4±6\r(2),7)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\f(18,7).当k＝－eq\f(\r(2),4)时，由图形的对称性得|AB|＝eq\f(18,7).综上，|AB|＝2eq\r(3)或|AB|＝eq\f(18,7).9．H5，H6[·浙江卷]如图1－4所示，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()图1－4A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)9．D[解析]设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝eq\r(3)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m2＋n2＝（2c）2＝12，))2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝2eq\r(2)，a＝eq\r(2)，则双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2)，选择D.21．F2、F3、H3、H5和H8[·重庆卷]如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则eq\f(（－c）2,a2)＋eq\f(22,b2)＝1，从而e2＋eq\f(4,b2)＝1.由e＝eq\f(\r(2),2)得b2＝eq\f(4,1－e2)＝8，从而a2＝eq\f(b2,1－e2)＝16.故该椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋xeq\o\al(2,0)＋8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16)))＝eq\f(1,2)(x－2x0)2－xeq\o\al(2,0)＋8(x∈[－4，4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－xeq\o\al(2,0).由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以S＝eq\f(1,2)|2y1||x1－x0|＝eq\f(1,2)×2eq\r(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),16))))|x0|＝eq\r(2)eq\r(（4－xeq\o\al(2,0)）xeq\o\al(2,0))＝eq\r(2)eq\r(－（xeq\o\al(2,0)－2）2＋4).当x0＝±eq\r(2)时，△PP′Q的面积S取到最大值2eq\r(2).此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±eq\r(2)，0)，半径|QP|＝eq\r(8－xeq\o\al(2,0))＝eq\r(6)，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋eq\r(2))2＋y2＝6，(x－eq\r(2))2＋y2＝6.H6双曲线及其几何性质22．H6、H8、D3[·全国卷]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为eq\r(6).(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．解：(1)由题设知eq\f(c,a)＝3，即eq\f(a2＋b2,a2)＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，并求得x＝±eq\r(a2＋\f(1,2)).由题设知，2eq\r(a2＋\f(1,2))＝eq\r(6)，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2eq\r(2).(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2eq\r(2)，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝eq\f(6k2,k2－8)，x1x2＝eq\f(9k2＋8,k2－8).于是|AF1|＝eq\r(（x1＋3）2＋yeq\o\al(2,1))＝eq\r(（x1＋3）2＋8xeq\o\al(2,1)－8)＝－(3x1＋1)，|BF1|＝eq\r(（x2＋3）2＋yeq\o\al(2,2))＝eq\r(（x2＋3）2＋8xeq\o\al(2,2)－8)＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－eq\f(2,3).故eq\f(6k2,k2－8)＝－eq\f(2,3)，解得k2＝eq\f(4,5)，从而x1x2＝－eq\f(19,9).由于|AF2|＝eq\r(（x1－3）2＋yeq\o\al(2,1))＝eq\r(（x1－3）2＋8xeq\o\al(2,1)－8)＝1－3x1，|BF2|＝eq\r(（x2－3）2＋yeq\o\al(2,2))＝eq\r(（x2－3）2＋8xeq\o\al(2,2)－8)＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．4．H6[·福建卷]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\r(2)4．B[解析]取一顶点(1，0)，一条渐近线x－y＝0，d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故选B.2．H6[·湖北卷]已知0＜θ＜eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1与C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等2．D[解析]c1＝c2＝eq\r(sin2θ＋cos2θ)＝1，故焦距相等．14．H6[·湖南卷]设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．14.eq\r(3)＋1[解析]如图，因PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，故|PF2|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，则|PF1|＝eq\r(3)c，又由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，即eq\r(3)c－c＝2a，故eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.3．H6[·江苏卷]双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的两条渐近线的方程为________．3．y＝±eq\f(3,4)x[解析]令eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝0，得渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x.11．H6，H7[·山东卷]抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)11．D[解析]抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0))的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y＝－eq\f(p,4)(x－2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,4)（x－2），,y＝\f(1,2p)x2))得2x2＋p2x－2p2＝0.设点M的横坐标为a，则在点M处切线的斜率为y′|x＝a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2p)x2))′eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(,)))eq\s\do7(x＝a)＝eq\f(a,p).又∵双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为eq\f(x,\r(3))±y＝0，其与切线平行，∴eq\f(a,p)＝eq\f(\r(3),3)，即a＝eq\f(\r(3),3)p，代入2x2＋p2x－2p2＝0得，p＝eq\f(4\r(3),3)或p＝0(舍去)．11．H6[·陕西卷]双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的离心率为________．11.eq\f(5,4)[解析]由双曲线方程中a2＝16,b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4).11．H6，H7[·天津卷]已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x2－eq\f(y2,3)＝1[解析]由抛物线的准线方程为x＝－2，得a2＋b2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得eq\f(c,a)＝2，得a＝1，b2＝3，∴双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.7．A2，H6[·北京卷]双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率大于eq\r(2)的充分必要条件是()A．m>eq\f(1,2)B．m≥1C．m>1D．m>27．C[解析]双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋m)>eq\r(2)，解得m>1.故选C.4．H6[·新课标全国卷Ⅰ]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x4．C[解析]eq\f(\r(5),2)＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，故所求的双曲线渐近线方程是y＝±eq\f(1,2)x.9．H5，H6[·浙江卷]如图1－4所示，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()图1－4A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)9．D[解析]设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝eq\r(3)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m2＋n2＝（2c）2＝12，))2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝2eq\r(2)，a＝eq\r(2)，则双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2)，选择D.10．E1、H6和H8[·重庆卷]设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))10．A[解析]设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率eq\f(b,a)必须满足eq\f(\r(3),3)<eq\f(b,a)≤eq\r(3)，所以eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)≤3，eq\f(4,3)<1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)≤4，即有eq\f(2,3)eq\r(3)<eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤2.又双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，所以eq\f(2,3)eq\r(3)<e≤2.H7抛物线及其几何性质9．H7[·北京卷]若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程为________.9．2x＝－1[解析]∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，∴eq\f(p,2)＝1，解得p＝2，∴准线方程为x＝－1.20．H7，H8[·福建卷]如图1－5，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．图1－520．解：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝eq\r(5)，所以|MN|＝2eq\r(|CO|2－d2)＝2eq\r(5－4)＝2.(2)设Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，则圆C的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(yeq\o\al(2,0),4)))eq\s\up12(2)＋(y－y0)2＝eq\f(yeq\o\al(4,0),16)＋yeq\o\al(2,0)，即x2－eq\f(yeq\o\al(2,0),2)x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝0.设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4yeq\o\al(2,0)－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(yeq\o\al(2,0),2)))＝2yeq\o\al(2,0)－4>0，,y1y2＝\f(yeq\o\al(2,0),2)＋1.))由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＋1＝4，解得y0＝±eq\r(6)，此时Δ>0.所以圆心C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(6)))，从而|CO|2＝eq\f(33,4)，|CO|＝eq\f(\r(33),2)，即圆C的半径为eq\f(\r(33),2).20．H7，H8，H10[·广东卷]已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为eq\f(3\r(2),2)，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．20．解：21．B12[·广东卷]设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.21．解：9．H7[·江西卷]已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5)B．1∶2C．1∶eq\r(5)D．1∶39．C[解析]FA：y＝－eq\f(1,2)x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝eq\r(5)－1，FA：y＝－eq\f(1,2)x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(xM,4－xM)＝eq\f(1,\r(5))，故选C.10．H7[·新课标全国卷Ⅱ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C．y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D．y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)10．C[解析]抛物线的焦点为F(1，0)，若A在第一象限，如图1－5，设AF＝3m，BF＝m.过B作AD的垂线交AD于G，则AG＝2m，由于AB＝4m，故BG＝2eq\r(3)m，tan∠GAB＝eq\r(3).∴直线AB的斜率为eq\r(3).同理，若A在第四象限，直线AB的斜率为－eq\r(3)，故答案为C.图1－511．H6，H7[·山东卷]抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.eq\f(\r(3),16)B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)11．D[解析]抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0))的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y＝－eq\f(p,4)(x－2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,4)（x－2），,y＝\f(1,2p)x2))得2x2＋p2x－2p2＝0.设点M的横坐标为a，则在点M处切线的斜率为y′|x＝a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2p)x2))′eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))eq\s\do7(x＝a)＝eq\f(a,p).又∵双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为eq\f(x,\r(3))±y＝0，其与切线平行，∴eq\f(a,p)＝eq\f(\r(3),3)，即a＝eq\f(\r(3),3)p，代入2x2＋p2x－2p2＝0得，p＝eq\f(4\r(3),3)或p＝0(舍去)．11．H6，H7[·天津卷]已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x2－eq\f(y2,3)＝1[解析]由抛物线的准线方程为x＝－2，得a2＋b2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得eq\f(c,a)＝2，得a＝1，b2＝3，∴双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.5．H7，H8[·四川卷]抛物线y2＝8x的焦点到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是()A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(3)D．15．D[解析]抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，该点到直线x－eq\r(3)y＝0的距离为d＝eq\f(|2|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝1.8．H7[·新课标全国卷Ⅰ]O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为()A．2B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．48．C[解析]设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|＝x0＋eq\r(2)，所以x0＝3eq\r(2)，代入抛物线方程得y2＝24，解得|y|＝2eq\r(6)，所以△POF的面积等于eq\f(1,2)·|OF|·|y|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).H8直线与圆锥曲线(AB课时作业)22．H6、H8、D3[·全国卷]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为eq\r(6).(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．解：(1)由题设知eq\f(c,a)