初中数学中考复习讲义练习：PA-PB最大值模型

PA-PB最大值模型

一、方法突破：

1.口诀：同侧差最大

2.图形：如图1所示，A、B为定点，P为I上一动点，试求\PB-PA\的最大值与最

小值.

解析1:“最大值”

①两边只差小于第三边，<AB,当A、2、尸三点共线时，取等号

②所以连接BA并延长与I的交点即为所求点

解析2:“最小值”

①绝对值具有非负性—>0,当AP=PB时成立

②P为AB中垂线与/的交点.

二、典例精析：

例一：如图，抛物线y=-M-x+Z的顶点为A,与y轴交于点艮

4

(1)求点A、点8的坐标；

(2)若点P是x轴上任意一点，求证：朋-PBWAB；

(3)当外-P2最大时，求点P的坐标.

【分析】(D把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点4坐标，令x=0,y=2,

可得B点坐标；

(2)当4、B、尸三点共线时，PA-PB^AB,当三点不共线时，根据“三角形的两边

之差小于第三边”可证结论；

(3)通过分析可知，R4-P8最大时，4、3、P三点共线，求直线A3解析式，令y=0,

可得尸点坐标.

【解答】(1)解：抛物线¥=-12_*+2与了轴的交于点-

4

令x=0得y=2.

：.B(0,2)

•；y=-Ax2-x+2=-—(x+2)2+3

44

：.A(-2,3)

(2)证明：当点P是48的延长线与x轴交点时，

PA-PB=AB.

当点尸在x轴上又异于的延长线与x轴的交点时，

在点尸、4、5构成的三角形中，PA-PB<AB.

综合上述：PA-PB^AB

(3)解：作直线A8交x轴于点P,由(2)可知：当最大时，点P是所求的

点

作AHLOP于H.

'：BOLOP,

J.ABOP^AAHP

•••A-H=--H-P

BOOP

由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2,

：.OP=4,

故尸(4,0).

注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P(4,0)等各种方法只要正确也相

应给分.

V

5」

/HO\尸'、、.？

例二：如图，抛物线yuL+bx+c与直线y=L+3分别相交于A,B两点,且此抛物线

22

与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴/上找一点使|M3-MC|的值最大，并求出这个最大值；

【分析】(D①将A(0,3),C(-3,0)代入y=L2+&x+c,即可求解；

2

(2)分当点3、C、M三点不共线时、当点3、C、M三点共线时，两种情况分别求解

即可；

【解答】解：(1)①将A(0,3),C(-3,0)代入了=匕2+公+c得:

2

c=35

9，解得：,2,

5-3b+c=0

...抛物线的解析式是y=lx2+^x+3；

22

(2)将直线y=L+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x=0或-4,

2

VA(0,3),：.B(-4,1)

①当点3、C、M三点不共线时，

\MB-MC\<BC

②当点5、C、M三点共线时，

\MB-MC\=BC

...当点3、C、M三点共线时，也出-取最大值，即为3c的长,

如图1,过点8作BELx轴于点E,在RtZVBEC中，由勾股定理得居右=

后，

A\MB-MC|取最大值为亚；

三、中考真题对决：

1.己知抛物线yi=a（尤-2）2-4（aWO）经过点（0,-3）,顶点为M,将抛物线yi向上平

移b个单位可使平移后得到的抛物线中经过坐标原点，抛物线中的顶点为A,与无轴的

另一个交点为B.

（2）@b=—,②抛物线”的函数表达式是；

（3）①点尸是y轴上一点，当|以-尸3|的值最大时，求点P的坐标;

【分析】(1)将(0,-3)代入力=a(x-2)2-4(“W0)中，即可求得a的值.

(2)抛物线yl经过(0,-3),向上平移后经过原点即可(0,0),因此抛物线向上平

移了3个单位，根据“上加下减”的平移规律即可得出力的函数表达式.

(3)①当尸、4、B三点不在同一直线上时，能构成△出5,由三角形三边关系定理不

难看出|以-尸3|<43；若尸、4、5三点共线时，\PA-PB\=AB,显然当|物-尸引的值

最大时，尸、4、5三点共线，所以直接求出直线45的解析式，该直线与y轴的交点即

为符合条件的尸点；

【解答】解：(1)抛物线力=。(x-2)2-4(aWO)经过点(0,-3),可得：

-3=a(0-2)2-4,

解得：a——.

4

(2),经过(0,-3)的抛物线yl向上平移，经过(0,0)得到抛物线y2,

二向上平移了3个单位，即。=3；

故抛物线%J2=—(x-2)2-4+3=—(x-2)2-1.

44

(3)\PA-PB\^AB,且当且仅当尸、4、3共线时取等号，

的值最大时，P、4、8共线；

由(2)的抛物线解析式知：A(2,-1)、B(4,0),设直线48的解析式：y=kx+b,

有：

[2k+b=-l,

l4k+b=0'

解得『2

b=-2

故直线AB：y^ljc-2,则尸(0,-2).

2

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,

直线y=L与抛物线交于A、8两点，直线/为y=-l.

4

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使出-尸8|取得最大值？若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由；

【分析】(D设函数解析式为y=a(x-2)2,将点(4,1)代入，即可求解析式；

(2)联立方程求出A(1,1),B(4,1),对称轴x=2,点A关于对称轴的对称点为

4

A'(3,1),当点P,A',B共线时，\PA-尸3|取得最大值；待定系数法求出直线A'B

4

的解析式了=区-2,即可求点尸；

4

【解答】解：(1)设函数解析式为y=a(x-2)2,

将点(4,1)代入，

得到a=l,

4

A(%-2)2,

4

(2)(x-2)2与y=L的交点A(1,1),B(4,1),

444

对称轴x=2f

点4关于对称轴的对称点为4,(3,1),

4

当点尸，A,,5共线时，-尸3|取得最大值；

设直线A'B的解析式为

T

・-7=3k+b

l=4k+b

3.如图，已知抛物线>=y+云+0与直线y=/+3交于A,8两点，交x轴于C、。两点,

连接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴/上找一点使的值最大，并求出这个最大值；

【分析】(D根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据对称性，可得MC=MZ>,根据解方程组，可得5点坐标，根据两边之差小于

第三边，可得5,C,拉共线，根据勾股定理，可得答案；

【解答】解：(1)将4(0,3),C(-3,0)代入函数解析式，得

rc=3

<9，

3b+c=0

解得「2,

c=3

抛物线的解析式是尸首+/+3；

(2)由抛物线的对称性可知，点。与点C关于对称轴对称，

二对/上任意一点有MD=MC,

1

y丁x+3

联立方程组IE，”「，

解得fx=O（不符合题意，舍），fx=-4,

Iy=3Iy=l

：.B（-4,1）,

当点3,C,拉共线时，也出-MD|取最大值，即为5c的长,

在RtZ\5EC中，由勾股定理，得

BC=22=

VBE-K:E正，

\MB-取最大值为亚；

4.（2021•鄂州）如图，直线>=-］》+6与x轴交于点5,与y轴交于点A,点尸为线段至

的中点，点。是线段。4上一动点（不与点。、A重合）.

（1）请直接写出点A、点3、点尸的坐标；

（2）连接PQ,在第一象限内将AOP。沿P。翻折得到AEP。，点O的对应点为点E.若

NOQ£=90。，求线段AQ的长;

（3）在（2）的条件下，设抛物线y=a?_2/x+a3+a+imwo）的顶点为点

①若点C在APQE内部（不包括边），求。的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C,使|CQ-CEI最大？若存在，请直接写出点C的坐标;

若不存在，请说明理由.

备用图1备用图2

【分析】(1)先求出点A,点5坐标，由中点坐标公式可求点P坐标;

(2)过点P作尸产_LQ4于尸，由折叠的性质可得/OQP=g/OQC=45。，可得

QF=PF=2,即可求解；

(3)①先求出顶点C的坐标为m,a+1),可得点C是直线y=x+l(x20)上一点，即可求解;

②作点E关于直线y=x+l的对称点身(4,6),连接。£'交直线y=x+l于点C,此时

ICQ-CEI最大，利用待定系数法求出QC的解析式，联立方程组可求解.

解：(1)直线y=-万*+6与x轴交于点8,与y轴交于点A,

..点4(0,6),点8(4,0),

点P是线段AB中点，

..点尸(2,3)；

(2)过点P作尸尸_LQ4于尸，

图1

将AOPQ沿PQ翻折得到AEPQ,ZOQE=90°,

ZOQP=|ZOQC=45°,OQ=QE,

QF=PF,

点尸(2,3),

：.QF=