南京某中学2024届中考数学最后冲刺模拟试卷（含解析）

南京栖霞中学2024届中考数学最后冲刺模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进

行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中假命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，直线AB〃CD,AE平分NCAB,AE与CD相交于点E,ZACD=40°,贝！JNDEA=（）

3.学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表:

得分（分）60708090100

人数（人）7121083

则得分的众数和中位数分别为（）

A.70分，70分B.80分，80分C.70分，80分D.80分，70分

4.已知：如图，在扇形Q43中，ZAOB=110°,半径。4=18,将扇形Q43沿过点3的直线折叠，点。恰好落在

弧上的点。处，折痕交04于点C,则弧AO的长为（）

5.小明要去超市买甲、乙两种糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲种糖果的单价为a元/千克，乙种糖果的单

价为6元/千克，且瓦根据需要小明列出以下三种混合方案：（单位：千克）

甲种糖果乙种糖果混合糖果

方案1235

方案2325

方案32.52.55

则最省钱的方案为（）

A.方案1B.方案2

C.方案3D.三个方案费用相同

6.下列说法正确的是（）

A.“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨

B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上

C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖

D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生

6

的概率稳定在;附近

6

7.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列

结论中不一定成立的是（）

A.ZABC=ZADCfZBAD=ZBCDB.AB=BC

C.AB=CD,AD=BCD.ZDAB+ZBCD=180°

8.下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）

9.如图，小明从A处出发沿北偏西30。方向行走至B处，又沿南偏西50。方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的

方向行走至D处，则NBCD的度数为（）

A.100°B.80°C.50°D.20°

10.某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为:.小张这期间在该

超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（）

A.能中奖一次B,能中奖两次

C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在.ABC中/A=60°,BM_LAC于点M,CN_LAB于点N,P为BC边的中点，连接PM,PN,则

下列结论：①PM=PN,②MN-AB=BC-AC,③PMN为等边三角形，④当/ABC=45°时，CN=V2PM.

请将正确结论的序号填在横线上

12.比较大小：475___574.（填“<"，”="，”>“）

13.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2,点A（-3,0）,B（0,6）分别在x轴，y轴上,

反比例函数y=&（x>0）的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为

x

14.若一个多边形的内角和为1080。，则这个多边形的边数为.

15.关于x的一元二次方程3+4*-左=0有实数根，则左的取值范围是.

16.已知一元二次方程x?-4x—3=0的两根为m,n,贝！一mn+〃2=.

三、解答题（共8题，共72分）

12

17.（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡比DE:EC=1：二，高为DE,在斜坡下的点C

处测得楼顶B的仰角为64。，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45。，其中A、C、E在同一直线上.求斜坡CD

的高度DE；求大楼AB的高度；（参考数据：sin64%0.9,tan64ox2）.

18.（8分）如图，在区1：入包（2中，1C=90，AD平分NBAC,交BC于点D，点o

在AB上，。经过A,D两点，交AB于点E,交AC于点F.

求证：BC是。的切线；若1）0的半径是2cm,F是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结

果保留兀和根号）.

19.（8分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为

优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据绘制成图表时发现，优秀漏统计4人，良好漏统计6人，

于是及时更正，从而形成如图图表，请按正确数据解答下列各题：

学生体能测试成绩各等次人数统计表

体能等级调整前人数调整后人数

优秀

8—

良好

16—

及格12

—

不及格

4—

合计

40；-----------

（1）填写统计表；

（2）根据调整后数据，补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1500人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数.

学生体1缴1试成绩等次人数统计图

24---------------------------»

20....................................i

16-......................................

及良优等级

格好秀

20.（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），

采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0Wt<2,2<t<3,3<t<4,t24分为四个等级，并依次用A,

B,C,D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问

题：

各等级人数的扇形统计图各等级人数的条形统计图

小学（人）

嗡...................1

交IUI

ABCD等级

G）求本次调查的学生人数；

（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；

（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3Wt<4的人数.

21.（8分）（1）计算：（-2）2-我+（垃+1）2-4cos60。；

『

（2）化简：+L（1.1）

X-XX

22.（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD,ZADB=ZCDE,DE交边AC于点E,DE交BA延

长线于点F,且AD2=DE・DF.

(1)求证：ABFDs/\CAD；

⑵求证：BF«DE=AB«AD.

23.（12分）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点.处测得正前方小岛，：的俯角为"，面向小岛

方向继续飞行：二川到达处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为吓.如果小岛高度忽略不计，求飞机

飞行的高度（结果保留根号）.

24.某景区门票价格80元/人,景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以

下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用yi

（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示.

(1)a=

（2）确定y2与x之间的函数关系式:

（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到该景区旅游，两团共计50人,

两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人?

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

根据对顶角的定义，平行线的性质以及正五边形的内角及镶嵌的知识，逐一判断.

【详解】

解：①对顶角有位置及大小关系的要求，相等的角不一定是对顶角，故为假命题；

②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故为假命题；

③正五边形的内角和为540。，则其内角为108。，而360。并不是108。的整数倍，不能进行平面镶嵌，故为假命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故为假命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与证明.对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念.关键是熟悉这些概念，正确判断.

2、B

【解析】

先由平行线性质得出NACD与NBAC互补，并根据已知NACD=40。计算出NBAC的度数，再根据角平分线性质求出

ZBAE的度数，进而得到NDEA的度数.

【详解】

VAB/7CD,

.,.ZACD+ZBAC=180°,

■:ZACD=40°,

ZBAC=180°-40°=140°,

VAE平分NCAB,

:.ZBAE=-ZBAC=-xl40°=70°,

22

AZDEA=180°-ZBAE=110°,

故选B.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补.

3、C

【解析】

解：根据表格中的数据，可知70出现的次数最多，可知其众数为70分；把数据按从小到大排列，可知其中间的两个

的平均数为80分，故中位数为80分.

故选c.

【点睛】

本题考查数据分析.

4、D

【解析】

如图，连接OD.根据折叠的性质、圆的性质推知AODB是等边三角形，则易求NAOD=U（F-NDOB=50。；然后由弧

rirrr

长公式弧长的公式/=——来求AD的长

180

【详解】

解：如图，连接OD.

解：如图，连接OD.

根据折叠的性质知，OB=DB.

又；OD=OB,

OD=OB=DB,即△ODB是等边三角形，

.\ZDOB=60°.

,.,ZAOB=110°,

:.ZAOD=ZAOB-ZDOB=50°,

,,..上50^x18

■AD的长为IQC=5几

loU

故选D.

【点睛】

本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）.折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不

变，位置变化，对应边和对应角相等.所以由折叠的性质推知AODB是等边三角形是解答此题的关键之处.

5、A

【解析】

求出三种方案混合糖果的单价，比较后即可得出结论.

【详解】

2a+3b

方案1混合糖果的单价为

5

2a+2b

方案2混合糖果的单价为

5

2.5a+2.5ba+b

方案3混合糖果的单价为

52

a>b,

2a+2ba+b3a+2b

:.--------<------<--------

525

二方案1最省钱.

故选：A.

【点睛】

本题考查了加权平均数，求出各方案混合糖果的单价是解题的关键.

6、D

【解析】

根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案.

【详解】

解：A.“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；

B."抛一枚硬币正面朝上的概率为表示每次抛正面朝上的概率都是《，故B不符合题意；

C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖.故C不符合题意；

D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的

6

概率稳定在,附近，故。符合题意；

6

故选D

【点睛】

本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键.

7、D

【解析】

首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD

为菱形.所以根据菱形的性质进行判断.

【详解】

解：

四边形ABC。是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形,

：.AB//CD,AD//BC,

四边形A5C。是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；

过点。分别作BC,CD边上的高为AE,AF.则

AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；

平行四边形ABC。中，SMBC=SMCD,BPJBCxAE=CDxAF,

:.BC=CD,即45=6。.故3正确；

，平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）.

:.ZABC=ZADC,ZBAD=ZBCD（菱形的对角相等），故A正确；

AB=CD,AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；

如果四边形ABC。是矩形时，该等式成立.故。不一定正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质.注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”.

8、C

【解析】

试题分析：观察可得，只有选项C的主视图和左视图相同，都为故答案选C.

考点：简单几何体的三视图.

9、B

【解析】

解：如图所示：由题意可得：Nl=30。，/3=50。，则N2=30。，故由OC〃AB,则/4=30。+50。=80。.故选B.

点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出N3的度数是解题关键.

10、D

【解析】

由于中奖概率为说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生.

3

【详解】

解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定•

故选D.

【点睛】

解答此题要明确概率和事件的关系：

①P（A）=0,为不可能事件；

（DP（A）=1为必然事件；

③。＜P（A）＜1为随机事件.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、①③④

【解析】

①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；

②先证明小ABM-AACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；

③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出NABM=NACN=30。，再根据三角形的内角和定理求出

ZBCN+ZCBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NBPN+NCPM=120。，从而得

到NMPN=60。，又由①得PM=PN,根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形可判断③；

④当NABC=45。时，ZBCN=45°,进而判断④.

【详解】

①•.,BMLAC于点M,CNLAB于点N,P为BC边的中点，

11

/.PM=-BC,PN=-BC,

22

，PM=PN,正确

②在△ABM与小ACN中,

VZA=ZA,ZAMB=ZANC=90°,

/.△ABM^AACN,

・岩景错误；

③；/人=60。，BM_LAC于点M,CN_LAB于点N,

.,.ZABM=ZACN=30°,

在△ABC中，ZBCN+ZCBM=180o-60°-30ox2=60°,

•.•点P是BC的中点，BM1AC,CN±AB,

；.PM=PN=PB=PC,

/.ZBPN=2ZBCN,ZCPM=2ZCBM,

/.ZBPN+ZCPM=2(ZBCN+ZCBM)=2x60°=120°,

.,.ZMPN=60°,

.•.△PMN是等边三角形，正确；

④当NABC=45。时，TCNLAB于点N,

.,.ZBNC=90°,ZBCN=45°,

；P为BC中点，可得BC=0"PB=&PC,故④正确.

所以正确的选项有：①③④

故答案为①③④

【点睛】

本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与

性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.

12、<

【解析】

先比较它们的平方，进而可比较4与5的大小.

【详解】

(4A/5)2=80,(5a)2=100，

,.,80<100,

，435".

故答案为：＜.

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，带二次根号的实数，在比较它们的大小时，通常先比较它们的平方的大小.

13、(-2,7).

【解析】

解：过点。作OF，无轴于点/，则NAO3=NOE4=90。，

:.NOAB+NA5O=90°,

•/四边形ABCD是矩形，

：.ZBAD^90°,AD=BC,

：.ZOAB+ZDAF=90°,

：.NABO=ZDAF,

.,.AAOB^ADFA,

：.OA：DF=OB：AF^AB：AD,

'：AB：BC=3：2,点A(-3,0),B(0,6),

：.AB；A£)=3：2,04=3,03=6,

：.DF=2,AF=4,

：.OF^OA+AF^7,

.•.点。的坐标为:(-7,2),

14

•••反比例函数的解析式为：y=-—①，点C的坐标为：(-4,8).

x

设直线BC的解析式为：y=fcr+5,

b=6

则解得:

，4k+b=8

b=6

直线的解析式为：j=-；x+6②,

x=-2fx=14

联立①②得:或＜(舍去),

y=7〔y=-l

.•.点E的坐标为：(-2,7).

故答案为(-2,7).

14、1

【解析】

根据多边形内角和定理：("-2)・110(n>3)可得方程110(x-2)=1010,再解方程即可.

【详解】

解：设多边形边数有x条，由题意得：

110(x-2)=1010,

解得：x=l,

故答案为：1.

【点睛】

此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：(〃-2)・110(n>3).

15、k>-1

【解析】

分析：根据方程的系数结合根的判别式△K),即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论.

详解：••・关于x的一元二次方程x2+lx-k=0有实数根，

A=l2-lxlx(-k)=16+lk>0,

解得：Q-L

故答案为kN-L

点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当AN)时，方程有实数根”是解题的关键.

16、1

【解析】

试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4,mn=-3,将所求式子利用完全平方公式变

形后，即加2-mn+n2=(jn+n)2-3mn=16+9=l.

故答案为1.

考点：根与系数的关系.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)斜坡CD的高度DE是5米；(2)大楼AB的高度是34米.

【解析】

12

试题分析：(1)根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡度为1：y,高为DE,可以求得DE的高度;

(2)根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度.

12

试题解析：(1)\•在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=13米，坡度为1：y,

DE_1_5

EC-12-12,

y

设DE=5x米,则EC=12x米,

/.(5x)2+(12x)2=132,

解得：x=l,

5x=5,12x=12,

即DE=5米，EC=12米，

故斜坡CD的高度DE是5米；

(2)过点D作AB的垂线，垂足为H,设DH的长为x,

由题意可知NBDH=45。，

；.BH=DH=x,DE=5,

在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12,AB=x+5,AC=x-12,

AB

Vtan64°=,

AC

,AB

••2=-----9

AC

解得，x=29,AB=x+5=34,

即大楼AB的高度是34米.

18、(1)证明见解析；(2)(2百—|乃)cm?

【解析】

(1)连接OD,根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得NADO=NCAD,即可证明OD//AC,进而可得

ZODB=90°,即可得答案；(2)根据圆周角定理可得弧AF=MDF=MDE,即可证明NBOD=60。，在RtABOD中,

利用NBOD的正切值可求出BD的长，利用S阴影BOD-S扇形DOE即可得答案.

【详解】

(1)连接0D

AD平分/BAC,

.••4AD=/CAD,

VOA=OD,

"AD=/ADO,

.•・/ADO=/CAD,

/.OD//AC,

••./ODB=NC=90，

AOD±BC

又OD是。的半径，

••・BC是O的切线

(2)由题意得OD=2cm

；F是弧AD的中点

.•.弧AF=MDF

■:^BAD=^CAD

二弧DE=MDF

二弧AF=MDF=MDE

,\^BOD=-xl80=60

3

在RtABOD中

RD

,/tan/BOD=—

OD

:.BD=OD-tan/BOD=2tan60=2V3cm

【点睛】

本题考查的是切线的判定、圆周角定理及扇形面积，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点(即

为半径)，再证垂直即可；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都定义这条弧所对的圆心角的一半.熟练

掌握相关定理及公式是解题关键.

19、(1)12；22；12；4；50；(2)详见解析；(3)1.

【解析】

（1）求出各自的人数，补全表格即可；

（2）根据调整后的数据，补全条形统计图即可；

（3）根据“游戏”人数占的百分比，乘以1500即可得到结果.

【详解】

解：（1）填表如下：

体能等级调整前人数调整后人数

优秀812

良好1622

及格1212

不及格44

合计4050

故答案为12；22；12；4；50；

（2）补全条形统计图，如图所示:

学生幅3测试成绩等次人数统计图

（3）抽取的学生中体能测试的优秀率为24%,

则该校体能测试为“优秀”的人数为1500x24%=l（人）.

【点睛】

本题考查了统计表与条形统计图的知识点，解题的关键是熟练的掌握统计表与条形统计图的相关知识点.

20、（1）本次调查的学生人数为200人；（2）B所在扇形的圆心角为54,补全条形图见解析；（3）全校每周课外阅读

时间满足3Wt<4的约有360人.

【解析】

【分析】（1）根据等级A的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；

（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1-［（A+D+C）在扇形图中的百分比］可计算出B在扇形图中的百分比，再

计算出B在扇形的圆心角

（3）总人数X课外阅读时间满足3<t<4的百分比即得所求.

【详解】（1）由条形图知，A级的人数为20人，

由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%,

所以：20-10%=20x—=200（A）,

10

即本次调查的学生人数为200人；

（2）由条形图知：C级的人数为60人，

所以C级所占的百分比为：里xl00%=30%,

200

B级所占的百分比为：1—10%—30%—45%=15%,

B级的人数为200xl5%=30（人），

D级的人数为：200x45%=90（人），

B所在扇形的圆心角为：360义15%=54,

补全条形图如图所示：

条形统计图

（3）因为C级所占的百分比为30%,

所以全校每周课外阅读时间满足3Wt<4的人数为：1200x30%=360（人），

答：全校每周课外阅读时间满足3Wt<4的约有360人.

【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇形图中某项的百分比

该项人数

;£X100%,扇形图中某项圆心角的度数=360X该项在扇形图中的百分比.

总人数

21、(1)5(2)—

X+1

【解析】

(1)根据实数的运算法则进行计算，要记住特殊锐角三角函数值；(2)根据分式的混合运算法则进行计算.

【详解】

解：(1)原式=4-2&+2+2、万+1-4x^-

=7-2

(xT)2产］

(2)原式:

x(x+l)(x-1)x

x-1X

x(x+l)x-1

.1

'7+1"

【点睛】

本题考核知识点：实数运算，分式混合运算.解题关键点：掌握相关运算法则.

22、见解析

【解析】

试题分析：(1)AD?=DE-DF，NADF=NEDA,可得AADFs^EDA,从而得4=NDAE,

再根据NBDF=NCDA即可证;

BFDFBFAD

(2)由ABFDSACAD，可得——=——，从而可得——=——，再由ABFDSACAD,可得NB=/C从而得

ACADACDE

BFAD

AB=AC,继而可得一=—，得到BF-DE=AB-AD.

ABDE

试题解析:(D••,AD-DE.DF，；.卷噜

VZADF=ZEDA,AAADFA£ZM,

/.ZF=ZDAE,

XVZADB=ZCDE,：.ZADB+ZADF=ZCDE+ZADF,

二ABFDsACAD；

DF

(2)VABFDACAD,：.—

ACAD

..ADDF.BFAD

'DE~AD'"~AC~~DE'

ABFDACAD,:.ZB=/C,：