函数的零点与方程的解 教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1

课程基本信息学科数学年级高一课题4.5.1教材分析1、教材来源：2019年人教A第四章第五节函数的应用(二)第一小节。2、地位与作用：函数零点存在定理提供了判断方程是否存在实数解的一个新工具，为下一小节建立求方程的近似解提供理论依据;同时教材编排上进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程。学情分析学生在第二章时就初步接触了零点的概念，为本节课打下基础，学生通过对二次函数，指数函数，对数函数等函数的学习，已经具备观察图象简单特征的能力.本节通过与定理有关的一些正例、反例的图象来帮助学生加深对定理的理解。教学目标1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养。2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，培养学生逻辑推理的能力。3.能借助函数的单调性及图象判断零点个数，培养学生直观想象的核心素养。4.在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。教学重难点教学重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用。教学难点：函数零点存在定理的探究过程。教学过程教学环节教学内容师生活动，设计意图情境导入观看关于中外历史上解方程的视频。带领学生了解中外历史上的方程解法，在课堂中融入数学历史，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。任务一：函数零点的概念问题1:什么是二次函数y=ax2问题2:类比二次函数y=ax2+bx+c的零点，写出一般函数y=f(x)的零点？追问:问题3:类比一元二次方程ax2+bx+c=0有实数解二次函数y=ax2+bx+c有零点一元二次函数y=ax2通过问题探究，使学生深入理解函数零点的概念，由特殊到一般，由具体到特殊，培养数学抽象的核心素养。例1：求下列函数的零点1.f(x)=1+1x2.f(x)=log2通过例题，巩固对函数的零点及方程的解的关系的理解，使学生掌握求函数零点的方法，强化数学抽象，数学运算的核心素养。任务二：探究零点存在定理观察二次函数f(x)=x2问题1:函数的零点是什么？问题2:观察到零点x=-1所在区间为(-2,0),零点x=3所在区间为(2,4)。思考:区间端点的函数值之间具有怎样的关系？问题3:在问题2基础上，函数图象与x轴有什么关系？问题4:通过上述问题的研究，思考我们怎样判断二次函数f(x)=x2问题5:由特殊到一般，思考我们怎样判断函数f(x)在区间（a,b）上是否存在零点？思考：如果f(a)·f(b)＜0，但图象是不连续的,函数f(x)在（a,b）上一定有零点吗?（画图分析）函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)∙f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。思考：由函数零点存在定理可以得到f(x)在区间(a，b)内存在零点，那么我们能不能确定存在多少个零点？探究：已知f(x)在[a,b]上连续，回答下列问题：问题1：f(x)在(a,b)上有零点，是不是一定说明f(a)·f(b)＜0？（画图分析）问题2：f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的（）？A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件通过探究二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，在此基础上给出函数零点存在定理。培养学生逻辑推理的核心素养。通过探究理解f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的充分不必要条件任务三：函数零点存在定理的应用例2：由下表判断函数f(x)=lnx+2x-6零点所在区间为（）A.(1，2）B.（2，3）C.（3，4）D（4，5）探究：在零点存在定理的基础上再加上什么条件就可以判断出f(x)在区间(a,b)上只有一个零点？（画图分析）函数零点存在定理的推论例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。通过例题及其变式，巩固对函数零点存在定理及推论的理解。通过探究函数零点存在定理的推论，增强学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。巩固练习函数f(x)=ln

x−2xA.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞)2.函数f(x)=x3−(3.若函数f(x)=x^2+ax+b的两个零点是−1，4，则函数g(x)=bx−a的零点是多少？通过练习，巩固本节课所学知识，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。