2025年六年级小升初数学提高复习：二元一次方程（组）的应用 讲义

第16讲二元一次方程（组）的应用

专题概述

像2x+y=8这样的等式，含有两个未知数x,y,而且未知数的指数都为1的方程叫作二元一次方程；把两个二

元一次方程用写在一起，就组成了一个二元一次方程组。如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一

解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解。

列方程解应用题的一般步骤是：

①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系；

②合理设未知数x,y,设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；

③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；

④解方程；

⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：“审、设、列、解、验

列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量''找等量关

系。

典型例题1

李大妈今年从村里承包了35公顷土地，今年春季改种西兰花和红范菜两种大棚蔬菜，用去了65000元，其中

种西兰花每公顷用去了1800元，获纯利2500元；种红范菜每公顷用去了1900元，获纯利2400元，问李大妈一

共获纯利多少元？

分析解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解。

本题一共获得的纯利润指西兰花和红范菜的利润和。

解设李大妈种了x公顷的西兰花，y公顷的红范菜，根据题意得

工+y=35,

1800z+1900y=65000,

（x=15,

解得

（y=20o

共获纯利润：2500xl5+2400x20=85500（元）

答：李大妈一共获纯利85500元。

思维训练1

1.快捷酒店的客房有单人间和两人间两种，单人间每人每天85元，两人间每人每天65元，一个55人的旅游

团到了该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去3915元，两种客房各租了多少间？

2.张师傅进了250张纸皮做盒子，每张纸皮做10个盒身或做30个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的

盒子，问用多少张纸皮制成盒身，多少张纸皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子?

典型例题2

光耀水果公司收购到橘子240吨，准备加工成橘子罐头，该公司的加工能力是：每天精加工8吨或者粗加工1

8吨，现计划用20天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务?如果每吨橘子粗

加工后的利润为500元，精加工后为800元，那么该公司出售这些加工后的橘子共可获利多少元？

解设该公司应安排x天粗加工，y天精加工。根据题意，得

(-x+y=20,

(18x+8y=240,

(x=8,

解得

(y=12o

获得利润：18x500x8+12x800x8=148800(元)。

答：该公司应安排8天粗加工，12天精加工，可获利148800元。

思维训练2

1.在一次足球选拔赛中，有11支球队参加选拔，每一队都要与另外的球队比赛一次，记分规则为胜一场记3

分，平一场记1分，负一场记0分。比赛结束时，某球队所胜场数是所负场数的2倍，共得20分，问这支球队

胜、负各几场？

2.A、B两地相距160千米，一辆汽车和一辆卡车同时由A、B两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，卡

车继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回。在汽车出发后半小时后追上了卡车。这时，汽车、

卡车各自行驶了多少千米？

典型例题3

一中学有一栋4层的教学大楼，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安

全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟可以通过660名学生，当同时开启一

道正门和一道侧门时，5分钟可以通过800名学生。平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

解设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，

根据题意，得3(x+2y)=660,

5(x+y)=800,

x=100,

答：平均每分钟一道正门可以通过100名学生，一道侧门可以通过60名学生。

思维训练3

1.一条长裙和一条短裙的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将长裙按50%的利润定价，短裙装按4

0%的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，长裙和短裙的成

本各是多少元？

2.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。小明共套了10次,

每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？

典型例题4

林芳同学在A、B两家超市发现他看中的学习机的单价相同，书包单价也相同，学习机和书包的单价之和是4

52元，且学习机的单价比书包单价的4倍少8元。

(1)该同学看中的学习机和书包单价各是多少元？

(2)一天林芳上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30

元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物

品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

解⑴设书包的单价为X元，学习机的单价为y元。

根据题意，得俨+匕=坪，

(y=4%—8,

(x=92,

解得

(y=360o

所以书包的单价为92元，学习机的单价为360元。

(2)在超市A购买学习机与书包各一件需花费现金：

452x8O%=361.6(元)。

因为361.6<400,所以可以选择超市A购买。

在超市B可先花费现金360元购买学习机，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现

金：360+2=362(元)。

因为362<400,所以也可以选择在超市B购买。

因为362>361.6,所以在超市A购买更省钱。

思维训练4

1.某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作8小时，每月工作25天；待遇：熟练工人按计件付工

资，多劳多得，计件工资不少于800元，每月另加福利工资100元，按月结算……”该厂只生产两种玩具：小狗和

小汽车。熟练工人哓云一月份领工资900多元，她记录了如下表所示的一些数据。

小狗玩具个数/个小汽车玩具个数/个总时间/分总工资/元

11352.15

22704.30

32855.05

一月份做小狗和小汽车的数目没有限制，从二月份开始，厂方从销售方面考虑逐月调整为：k月份每个工人每

月生产的小狗的个数不少于生产的小汽车的个数的k倍(k=2,3,4,12),假设晓云的工作效率不变，且服从

工厂的安排，请运用所学数学知识说明厂家广告是否有欺诈行为？

2.幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人。老师给小孩分枇杷，甲班每个小孩比乙班每个小

孩少分了3个枇杷，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枇杷，结果甲班比乙班总共多分了3个枇杷，乙班

比丙班总共多分了5个枇杷，三个班总共分了多少个枇杷？

竞赛强化

1.一个分数约分后是当如果将这个分数的分子减少124,分母减少11,所得的新分数约分后是士。那么原分数

59

是。

2.八个自然数排成一行，从第三个数开始，每个数都等于它前面两个数的和。已知第一

个数是3,第八个数是180,那么第二个数是。

3,180

3.一个长方形的长与宽之比是14：5,如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米。原长

方形的面积是平方厘米。

4.光明厂家的缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为2：3：4o他用19个工时能做成1

件衬衣、2条裤子和3件上衣。那么他要做成15件衬衣、12条裤子和3件上衣，共需要_工时。

5.小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买

来的铅笔比小强多。小华比小强多买来铅笔_支。

6.有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。

问：大、小油桶各几个？

7.从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小

时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需7.5小时，问：甲、乙两地公路有多少千米?从甲

地到乙地需行驶多少千米的上坡路？

8.某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分钟就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分钟就有一辆从背后超过此

人。如果人与公共汽车均为匀速运动，那么公共汽车站每隔几分钟发一班车？

9.有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班

的学生开始步行，车到中途某处，让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两

班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车时车速为每小时

50千米。甲班学生应步行全程的几分之几?（学生上、下车时间不计）

第16讲二元一次方程（组）的应用

思维训练1

1.设租住单人间x间，租住两人间y间。根据题意，有

(-x+2y=55,

(85%+2x65y=3915,

%=17,

解得

y=I9o

答：单人间租了17间，两人间租了19间。

2.设x张纸皮做盒身，y张纸皮做盒底。根据题意，得

cx+y=250,

(2x10x=3Oy,

解得］x=150,

y=100o

答：150张纸皮制成盒身，100张纸皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子。

思维训练2

1.设负了x场，平了y场，胜了2x场。

(6x+y=20,

(3x+y=11,

(x=3,

解得c

(y=2。

则2x=6o

答：这支球队胜了6场，负了3场。

2.设汽车的速度是x千米每小时，卡车的速度是y千米每小时，根据题意，得

士(%+y)=160,

\3

22

(x—90,

解得ty=30o

汽车行驶的路程：(2+工)X90=165(千米)，

32

卡车行驶的路程：(±+3)X30=85(千米)。

32

答：汽车行驶了165千米，卡车行驶了85千米。

思维训练3

1.设长裙的成本是x元，短裙的成本是y元。

x+y=500,

0.9(1+50%)%+0.9(1+40%)y-500157,

解得］x=300,

y=200o

答：长裙的成本是300元，短裙的成本是200元。

2.设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗(10—x—y)次。

根据得61分可列方程:9x+5y+2(10—x--y)=61,化简后得7x=41-3y。显然y越小,x越大。将y=l代入得7x=38,

无整数;若y=2,7x=35,得x=5,所以小明至多套中小鸡5次。

思维训练4

1.设制作一个小狗玩具用了ti分钟，可得工资X元，制作一个小汽车玩具用了12分钟，可得工资y元。依题

意，得

t+t=35,

3、+2t2=85,解得匕=15/=20,x=0.75,y=1.4。就二月份来讲，设二月份生产小汽车玩具a件，则生产小狗

,3x+2y=5.05,

玩具2a件，此时可得工资M=1.4a+0.75x2a+100=100+2.9a。又因为工人每月工作8x25x60=12000(分)，由20a+15x2a

=12000,得a=240。故二月份可领工资796元，小于计件工资的最低额，所以厂家的广告有欺诈行为。

2.设甲班有x人，则乙班有(xT)人，丙班有(x—8)人；甲班每人分得y个枇杷，则乙班每人分得(y+3)个，丙

班每人分得(y+8)个。那么甲班共分得xy个枇杷，乙班共分得(x—)(y+3)个枇杷，丙班共分得(x-8)(y+8)个枇杷。

xy=(x-4)(y+3)+3,

xy=(x-8)(y+8)+8;

整理得\3x—4y解得x=19,

y=i2o

因此，甲班有19人，每人分得枇杷12个；乙班有15人，每人分得枇杷15个；丙班有11人,每人分得枇杷2

0个。19x12+15x15+11x20=673(个)，所以，三个班总共分了