2025高考数学一轮复习：随机变量及其概率分布、期望与方差 专项训练【含解析】

第52讲-随机变量及其概率分布、期望与方差■专项训练【原卷版】

[A级基础达树

1.已知离散型随机变量X服从两点分布，且P（X=0）=3-4P（X=1）=a,则a=

111

c

---

B.23D.4

2.[2023•黑龙江哈尔滨模拟]（多选）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,

3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4

个球，则下列结论中正确的是（）

A.取出的最大号码X服从超几何分布

B.取出的黑球个数丫服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为工

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为2

3.[2023•黑龙江齐齐哈尔模拟]在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱

子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法

一：在20个箱子中各任意摸出一个小球；方法二：在10个箱子中各任意摸出两个小

球将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为Pi和P2，则（）

A.pi=p2B.pi>p2

C.P1<p2D.以上三种情况都有可能

4.（多选）设随机变量彳的分布列为Pk=§=ak（k=1,2,3,4,5），则（）

A.15a=1B.P（0.4<己<0.8）=0.2

C.P（0,1<m<0.6）=0.2D.P（《=1）=0.3

5.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为彳，已知P6=

1）=工，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（）

A.10%B.20%C.30%D.40%

6.某射击选手射击环数的分布列为：

X78910

P0.30.3ab

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为.

7.［2023•福建龙岩模拟］袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标

号为2号的球2个，标号为3号的球3个，....标号为n号的球n个.现从袋中任

取一球，所得号数为随机变量X，若P(X=n)=0.2，则n=.

8.［2023•天津耀华中学模拟］袋中装有4只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取

到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量孑，贝岐28的概率

为.

9.［2023•山东滨州模拟］某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动

次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代

表参加座谈会.

(1)设事件4为“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件4发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.

［B级综合运用］

10.［2023•江苏无锡模拟］(多选)口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n个白

球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共

摸球3次.设所得分数为随机变量孑，若P6=3)=2,则随机变量孑的取值可能为

()

A.2B.3C.4D.5

11.(多选)设随机变量X表示从1到律这n个整数中随机抽取的一个整数,K表

示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数,记P(X==b)表示

X=a,丫=匕同时发生的概率，贝！］()

A.当71=3时，P(X=2,丫=1)=；

B.当n=4时，P(X+Y-4)

24

C.当n=k(fc>2S.kEN*)时，P(X-k,Y=1)=专

D.当律=2时，P(Y=1)=3P(Y=2)

12.［2023•河南三门峡模拟］已知集合4={123,4},B={1,2,3,4,5},从集合4中

任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素,

其中最大的元素用b表示，记X=b-a，则P(X=3)=.

13.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为

孑，若取出的两个球都是红球的概率为:，一红一黄的概率为?，则7M-n=I.

14.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口

遇到红灯的概率分别为?

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

IC级素养提升］

15.［2023•湖北武汉模拟］某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球,

一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止.设学生一次发球成功的概率为

P，且PC［级］,发球次数为X，则P(X=3)的最大值为.

16.一颗拥有完美正八面体晶形的钻石的示意图如图.设S为随机变量，从棱长为1的

正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时，孑=0；当2条棱平行时,孑的值

为2条棱之间的距离；当2条棱异面时3=2.

(1)求P(3=0)；

(2)求彳的分布列.

第52讲-随机变量及其概率分布、期望与方差•专项训练【解析版】

［A级基础达标］

1.已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=3-4P(X=1)=a，贝！］a=

2111

A艮c

----

323D.4

［解析］选c.因为X服从两点分布,所以P(X=0)+P(x=1)=1，则P(X=0)=

3—4P(X=l)=3—4［l—P(X=0)］,解得P(X=0)=；，所以a=g.故选C.

2.［2023•黑龙江哈尔滨模拟］(多选)袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,

3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4

个球，则下列结论中正确的是(BD)

A.取出的最大号码X服从超几何分布

B.取出的黑球个数丫服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为白

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为2

［解析］选BD.对于A,根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此

可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算

概率，故A错误；

对于B,取出的黑球个数丫符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第

二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；

对于C,取出2个白球的概率为3=,，故C错误；

对于D,若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最

C4-1

大，所以总得分最大的概率为/=白，故D正确.故选BD.

C1O14

3.［2023•黑龙江齐齐哈尔模拟］在一次“概率”相关的研究性活动中,老师在每个箱

子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法

一：在20个箱子中各任意摸出一个小球；方法二：在10个箱子中各任意摸出两个小

球将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为Pi和P2，贝U(C)

A.pi=p2B.pi>p2

C.P1<p2D.以上三种情况都有可能

［解析］选c.对于方法一：每箱中的黑球被选中的概率为;,所以至少摸出一个黑球的

q

zo\20

概率PI=i—(£).

对于方法二：每箱中的黑球被选中的概率为座=I，所以至少摸出一个黑球的概率

C42

10z-i\10zn\20z-ix10/Q\10

©.Pl—P2=(J-Q)=(5)-y<0,则P1<P2.故选C.

4.(多选)设随机变量孑的分布列为P«=§=ak(k=1,2,3,4,5)，则(ABC)

A.15a=1B.P(0.4<^<0.8)=0.2

C.P(0,1<m<0.6)=0.2D.P(S=1)=0.3

［解析］选ABC.由已知可得，a+2a+3a+4a+5a=1，即15a=1，故A选项正

确；P(0.4<Z<0.8)==0.6)=3a=2=0.2，故B选项正确；P(0.1<?<

0.6)=P6=0.2)+P(：=0.4)=「卜=0+「(孑=|)=2+2=0.2,故C选项正确；

P6=1)=卷X5="0.3，故D选项错误.故选ABC.

5.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为孑，已知P(S=

1)=卷，且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为(B)

A.10%B.20%C.30%D.40%

［解析］选B.设10件产品中有x件次品，则P(S=1)=曜口=笔1=器，解得

J。4b4b

%=2或%=8.因为次品率不超过40%，所以％=2，所以次品率为卷X100%=

20%.

6.某射击选手射击环数的分布列为：

X78910

P0.30.3ab

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为40%.

［解析］由分布列的性质得a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射击一次的优秀率为40%.

7.［2023•福建龙岩模拟］袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标

号为2号的球2个，标号为3号的球3个......标号为n号的球n个.现从袋中任

取一球,所得号数为随机变量X，若P(X=n)=0.2，则ri=9.

［解析］由题意可知，所有球的个数为1+2+3+…+九=妁罗,

由古典概型的概率公式可得P(X=n)=』=言=0.2，解得n=9.

2

8.［2023•天津耀华中学模拟］袋中装有4只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取

到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量孑，贝*28的概率为

53

70,

［解析］依题意,U8的事件是彳=8,孑=10,孑=12的三个互斥事件的和，

C2c21o

孑=8的事件是取出2只红球、2只黑球，P(3=8)=安=票,

L835

.C3clQ

孑=10的事件是取出3只红球、1只黑球，P6=10)=营=£,

孑=12的事件是取出4只红球，P(8=12)=12,

L8/U

因此28)=PG=8)+P(?=10)+P(S=12)=!|+卷+5=II,所以孑28的

概率为M

9.［2023•山东滨州模拟］某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动

次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代

表参加座谈会.

(1)设事件4为“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件4发生的概率；

［答案懈：4=1+3=2+2，所以PQ4)=誓

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.

［答案］X的可能取值为0,1,2

C+C+C

l34.C3C3+C3C4.5,P(X=2)=警4

P(X=0)=卷，尸(X=l)=

15

10b10

所以随机变量X的分布列为：

X012

p474

151515

［B级综合运用］

10.［2023•江苏无锡模拟］(多选)口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n个白

球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共

摸球3次.设所得分数为随机变量孑，若=3)=幕，则随机变量孑的取值可能为

(BCD)

A.2B.3C.4D.5

［解析］选BCD.由题意得摸到红球的概率是Pi=京,白球的概率是P2=右，而己=

3即得3分，表示这3次摸的都是白球且=3)=言,所以(公)=条，解得

n=3，所以孑的可能取值为3,4,5,6.故选BCD.

11.(多选)设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数,K表

示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数,记P(X=a,r=b)表示

X=a，丫=b同时发生的概率，则(BCD)

A.当n=3时，P(X=2,丫=1)=[

B.当律=4时，P(X+

Z4

C.当7i=/c(fc>2S.kEN*)时，P(X=k,Y=1)=专

D.当ri=2时，P(Y=1)=3P(r=2)

［解析］选BCD.对于A，当九=3时，P(X=2)=|,P(Y=1|X=2)=［，则P(X-

2,y=l)=P(X=2)・P(y=l|X=2)=［x；=：，选项A错误；对于B,当n=4时,

由X+Y=4,x>r，可得x=3,y=1或X=2，丫=2，所以P(X+Y=

11115

对

2于

-=-X-+-X---c

4)=尸(X=3,y=1)+尸(X=24342

24

当71=々(左22且kwN*)时，P(x=k)=工，P(y=1|X=k)=工，则尸(X=

kk

k,y=l)=专，选项c正确；对于D,当九=2时，丫的可能取值为1,2，则P(Y=

1112

1)=P(x=1,丫=1)+P(X=2,丫=1)=：X1+：X£=；,P(Y=2)=P(X=2,Y=

2)=[x；=；，贝(JP(Y=1)=3P(Y-2),选项D正确.故选BCD.

ZZ4

12.[2023•河南三门峡模拟]已知集合4=[1,2,3,4},B={1,2,3,4,5},从集合2中

任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素,

其中最大的元素用b表示，记X=匕一a，则P(X=3)=|.

O

[解析]根据题意,从集合2中任取3个不同的元素有4种结果：(1,2,3),(1,2,4),

(1,3,4),(2,3,4),其中最小的元素a的取值分别为1,2.

从集合B中任取3个不同的元素有10种结果：

(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),

(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中最大的元素b的取值分别为3,4,5.

由X=5-a，得随机变量X的可能取值为1,2,3,4，故X=3对应

{(a,b)|(1,4),(2,5)},

所以3x34-1x6_3

P(X=3)=4x10—8

13.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为

孑，若取出的两个球都是红球的概率为，，一红一黄的概率为3，则n=L

C212

［解析］由题意可得，p6=2)=L-=7，化简得⑺+nA+

L4+m+n(4+m+n)(3+m+n)o

4m

7(m+n)-60=0，得m+n=5,取出的两个球一红一黄的概率为P-c2-

^4+m+n

黑=：，解得m=3，故n=2.所以m-n=1.

DO3

14.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口

遇到红灯的概率分别为:5

N34

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；

［答案］解：随机变量X的可能取值为0,1,2,3，则

1111111

P(X=1)=Ix1-汴―£)+(1-一3X———

4.32.424

1111

X-X-+-XX-,11_1

3424+-X-X

23-4

1111

---X-X---

p((X3)234

24

所以随机变量X的分布列为

X0123

p11111

424424

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

［答案］设丫表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求

事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P