三角函数的图象与性质-2025年高考数学备考复习

第四章三角函数

第5讲三角函数的图象与性质

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.借助单位圆能三角函

画出三角函数数的定

本讲每年必考，主要考查三

（正弦、余义域

角函数的定义域、值域（最

弦、正切）的三角函

值）、周期性、单调性、对

图象，了解三数的值

2021全国卷乙T4称性和奇偶性，有时与函数

角函数的周期域（最

零点和极值点综合命题，题

性、单调性、值）

型以选择题和填空题为主，

奇偶性、最大2023新高考卷IT15；2023全

难度中等.预计2025年高考

（小）值.国卷乙T6；2023天津T5；

命题趋势变化不大，备考时

2.借助图象理解三角函2022新高考卷IT6；2022全国

要注意区分正弦函数和余弦

正弦函数、余数的性卷乙T15；2022全国卷甲

函数的图象与性质，不要混

弦函数在［0,质及应T11；2022北京T5；2021新

淆，另应关注新角度、新综

2兀］上，正切函用高考卷IT4；2020全国卷

合问题.

数在T?IIIT16；2019全国卷IT11；

上的性质.2019全国卷IIT9

。学生用书P080

1.用“五点法''作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数尸sinx,x£［0,2n］的图象上，起关键作用的五个点是（0,0）,（pI）,

①（兀，0）,（y,-1）,②（2兀，0）.

在余弦函数y=cosx,xe［0,2兀］的图象上，起关键作用的五个点是（0,1）,（p0）,

③（兀，一1）,（y,0）,⑷（2兀，1）.

五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

三角y=sinxy=cosxy=tanx

函数

图象

-

定义

RR⑤{xX，左兀+],>£Z}

域

值域©r-i,11⑦[—1，1]R

周期是2E（左GZ且周期是2E"ez且周期是加（左£2且

周期

际0）,最小正周期是⑧—胖0）,最小正周期是⑨—k丰0）,最小正周期是⑩—

性

271.27t.匹_.

对称轴方程是⑪%=左兀+楙对称轴方程是⑬x=hi

对称无对称轴，对称中心是

1ez）,对称中心是⑫—（左ez）,对称中心是⑭_

性@（1,0）（左QZ）.

（Mr+乌，0）&GZ）.

（祈，0）（左ez）.2

奇偶

⑯奇函数⑰偶函数⑱奇函数

性

在⑲〔一［+22兀，

在㉑「2版一兀，2fati

2痴］（左GZ）上单调递在㉓（一已+而，J+

单调（左£Z）上单调递增，在

增,在⑳号+2E,）+kit）（左£Z）上单调递

性㉒［2痴,2左兀+兀］

2E］（左GZ）上单调递增.

"GZ）上单调递减.

减.

注意y=tanx在其定义域内不单调.

常用结论

1.三角函数的对称性与周期7的关系

（1）相邻的两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为《；

（2）相邻的对称中心与对称轴之间的距离为:；

（3）相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T.

2.与三角函数奇偶性有关的结论

（1）若函数y=/sinQcox+（p）（x£R）是奇函数，贝的=E（左£Z）；若为偶函数，贝服

=左兀+三（左£Z）.

2

（2）若函数y=/cos（sr+夕）（x£R）是奇函数，贝Ug=左兀+］（左£Z）；若为偶函数，

则（=加（后£Z）.

(3)若〉=4311(cox+p)为奇函数，贝!]夕=左兀"ez).

1.设/是△NBC最小的内角，贝ijsin/+cos/的取值范围是(D)

A.(-V2,V2)B.[-V2,V2]C.(1,V2)D.(1,V2]

解析..,/是△48C最小的内角，，0</芸，.•/</+峻，/.^<sin(/+巴)<1,贝I

3441224

sinA+cosA=V2sin(/+；)£(1,V2],故选D.

2.函数/(x)=tan(-4%+^)的最小正周期为(A)

A.-B.三C.兀D.27i

42

解析函数/(x)=tan(-4%+?)的最小正周期=；.

J6I3I|—4I4

3.[全国卷n]若％1=；,X2=,是函数/(X)=sincox(①>0)两个相邻的极值点，则①=

(A)

3I

A.2B.-C.lD.-

22

解析依题意得函数/(x)的最小正周期T=*=2x年一?=兀，解得Q=2,选A.

4.函数/(x)=sin(工一会的图象的一条对称轴的方程是(C)

A.x=-B.x=-C.x=~-D.x=~-

4242

解析函数歹=sinx的图象的对称轴方程为(左£Z),令1—：=左兀+三(左£Z),

242

得工=E+早(左ez),故函数/(x)=sin(X—»的图象的对称轴方程为工=E+空

(左£Z).令k=—1,得'=一二故选C.

4

5.[易错题]函数尸2sin(―x+巳)小引一兀，0])的单调递增区间是(A)

A.[—兀，-J-JC.[-p0]D.[-^,0]

解析令—x+g三?+2左7i,左GZ,则一——2kn<x<一弓一2kn,左GZ.又xG[—n,0],

所以所求单调递增区间为[一兀，-J].

6.函数/(x)=tan(3x+?)的图象的对称中心为(妈一打，0)"GZ).

66

解析令3x+m=，，左ez,解得户萼一总FZ,

oZolo

所以/(x)的图象的对称中心为(把一三，0),左GZ.

618

西学生用书P082

命题点1三角函数的定义域

例1函数y=lg(sinx)+Jcos%一；的定义域为止I2EVx^+2Mt,

sinx>0,(2kn<x<n+2fcn(keZ),

解析要使函数有意义,则1所以2左兀

cosx-->0,H_|_2kn<%<+2ku(kEZ),

<x<^+2kn(左£Z),所以函数的定义域为{xI2EVx3+2左兀，kGZ}.

方法技巧

求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.

训练1函数/(X)=ta"tan2x的定义域为5|灯黑心21.

tan2x-tanx4

xHm+kn，

解析tan2x,tanx有意义，贝必2_kRZ,又tan2x—tan/0,即——4_一

2x^-+/cn,—tan"

2

tanx^O,则tanHO,即#桁，kGZ,综上可得，#”，kRZ,则函数/(x)的定义域为

4

{XI/空后GZ}.

4

命题点2三角函数的值域(最值)

例2(1)[2021全国卷乙]函数/(x)=sing+cos?的最小正周期和最大值分别是

(C)

A.3兀和夜B.3兀和2C.6兀和夜D.6兀和2

解析因为函数/(x)=sin：+cos：=V^(sin：cos；+cos5sin；)=V2sin(：+；),所以函数

33343434

f(x)的最小正周期7=竽=6兀，最大值为VI故选C.

3

(2)已知函数/(x)=cos⑵+g)+2的定义域为[a,7i],值域为停，3],贝！la的取值范

围是(C)

A.[y,7T]B.[0,y]C.[y,y]D.[py]

解析由题意知，2x+=e[2a+p争，且-cos⑵+学在[a,利上的值域为停，1],

；.2a+智，且2(/+92%，解得恐a庭，，a的取值范围是件，—],故选C.

3333636

方法技巧

三角函数值域的不同求法

1.把所给的三角函数式变换成y=4sin(①x+9)+6的形式求值域.

2.把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.

3.利用sinx土cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.

训练2(1)[2023四川省模拟]已知函数/(x)=cos2x+sinx-J的定义域为[0,仞，值域

为41]，则实数%的最大值为(A)

A.7tB.—C.—D.—

632

角星析由已知，得/(x)=cos2x+sinx--=1—sin2x+sinx-—sin2x+sinx+-,令，=

sinx,函数/(x)可转换为产一户+―3=—(r-1)2+1,因为歹£a，1],所以根据二次

函数的图象与性质可得££[0,1],即sinx£[0,1],又x£[0,m],所以根据三角函数的图

象与性质可得加£碎，7i],所以实数冽的最大值为兀，故选A.

(2)函数y=sinx—cosx+sinxcosn的值域为[—遍一]1].

解析令sinx—cosx=£,贝【J/=V^sin(了一；),V2,V2],Z2=sin2x+cos2x—

i—+2i-4-2-1

2sinxcosx,iksinxcosx=—^―,所以歹=/+—^—=—5(f—1)2+l,所以当£=1时，函数

有最大值1;当/=一遮时，函数有最小值一V2-1-,即值域为[一四一1].

命题点3三角函数的性质及应用

角度1三角函数的周期性

例3(1)[2023天津高考]已知函数/(%)图象的一条对称轴为直线x=2,/(x)的一个周

期为4,则/(x)的解析式可能为(B)

A/(x)=sin(夕)B/(x)=cos(今)

C.f(x)=sin(3)D/(x)=cos(%)

解析对于A,/（x）=sin（殳），其最小正周期为争=4,因为/（2）=sin兀=0,所以

函数/（x）=sin（殳）的图象不关于直线％=2对称，故排除A;对于B,/（x）=

COS（夕），其最小正周期为争=4,因为/⑵=COS7l=—1,所以函数/（X）=

cos（手）的图象关于直线％=2对称，故选项B符合题意；对于C,D,函数y=sin（%）

和〉=3$（3）的最小正周期均为至'=8,均不符合题意，故排除C,D.综上，选B.

（2）［全国卷ni］函数/（X）=3急的最小正周期为（c）

A.-B.mC.7iD.271

42

sinx

角星析f（x）=tan%=cos%=s;n-os%=sin%C0S工=%112x,所以/（X）的最小正周期T

l+tanzx］।sm。coszx+sinzx2J

cos2x

=与=兀故选c.

方法技巧

1.求三角函数周期的基本方法

（1）定义法.（2）公式法：函数＞=4sin（GX+夕）（或＞=4cos（s+夕））的最小正周

期丁=47，函数歹=/tan（。x+夕）的最小正周期7=7彳.（3）图象法：求含有绝对值符

I3|I0）I

号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.

2.有关周期的2个结论

（1）函数歹=I/sin（5+9）I,y=I/cos（s+夕）I,y=I^4tan（5+9）I的最

小正周期7均为

I0）I

（2）函数y=I^4sin（①x+9）+bI（b?0）,y=IAcos（①x+夕）+bI（b，0）的最小

正周期T均为丹.

I3I

角度2三角函数的单调性

例4（1）［2022北京高考］已知函数/（x）=cos2x-sin2x,则（C）

A.f（x）在（-p—上单调递减

B/（x）在（一^上单调递增

C.fG）在（0,2）上单调递减

D.f(%)在q,工)上单调递增

解析依题意可知/(x)=cos2x—sin2x=cos2x,对于A,因为—7),所以

2x£(—7i,--),函数/(x)=cos2x在(一；，--)上单调递增，所以A不正确；对

326

于B,因为X©(一：,少，所以2xG(一［,7),函数/(x)=cos2x在(一？，白)上

不单调，所以B不正确；对于C,因为xG(0,学，所以2xG(0,作)，函数/(x)=

cos2x在(0,三)上单调递减，所以C正确；对于D,因为xd(p强，所以2xG号，

y),函数/(X)=cos2x在《，争上不单调，所以D不正确.故选C.

(2)［全国卷n］若/(x)=cosx—sinx在［―q,上是减函数，则。的最大值是(A)

A.-B.-C.—D.n

424

解析f(%)=cosx—sinx=V2cos(x+-),因为函数y=cosx在区间［0,兀］上单调递

减，则由OSr+券兀，得一%烂票.因为f(x)在［―Q,上是减函数，I一B।<季所以

解得aU.又区间［―〃，有意义时，Q>0,所以OVagU,所以〃的最大值是三.

4444

方法技巧

三角函数单调性问题的常见类型及求解策略

常见类型求解策略

(1)将函数化简为“一角一函数”的形式，如歹=Zsin(5+9)+b(A>0,co>

已知三角0)；

函数解析(2)利用整体思想，视“①为一个整体，根据》=sinx的单调区间列不等式

式求单调求解.对于y=Acos(Gx+夕)，y=Atan(Gx+9),可以利用类似方法求解.

区间注意求函数y=4sin(GX+夕)+6的单调区间时要先看4和①的符号，尽量化

成0>0的形式，避免出现增减区间的混淆.

已知三角(1)求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间的子集，列不等

函数的单式(组)求解.

调性求参(2)由所给区间求出“ox+w”的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单

数调区间的子集，列不等式(组)求解.

角度3三角函数的奇偶性与对称性

例5⑴[2022全国卷甲]将函数/(x)=sin(cox+y)(«>0)的图象向左平移於单位

长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则。的最小值是(C)

A.-B.—C.—D.-

6432

解析记曲线C的函数解析式为g(x),则g(x)=sin[o(x+y)+^]=sin[®x+($。+

[因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以*GdZ),得0=2后+1

(左GZ).因为0>0,所以CUminM/攵选C.

(2)[2022新高考卷I]记函数/(x)=sin(cox+J)+b(O>0)的最小正周期为T.若与<T

<7t,且y=/(x)的图象关于点(手，2)中心对称，则/(；)=(A)

A.lB.|3C.5；D.3

22

解析因为gvy兀，所以gv詈H解得2〈①V3.因为y=/(x)的图象关于点号，

2)中心对称，所以6=2,且sin(y(o+^)+6=2,即sin号①+,)=0,所以小y+冲

kTi(正Z),又2VG<3,所以詈广等，所以手G+£=4兀，解得①=|,所以

f(x)=sin(|x+：)+2,所以/(])=sin(|x^+^)+2=sin1+2=1.故选A.

方法技巧

1.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：对于函数/(%)=4sin(cox+(p)

(co#)),令5:+9=祈+],kGZ,求出对称轴方程；令①式+夕=左兀，kGZ,求出对称中

心的横坐标(纵坐标为0).对于y=/cos(Ox+9),y=AtanQcox+cp),可以利用类似方

法求解(注意y=4tan(①x+9)的图象无对称轴).

说明选择题可以通过验证/(xo)的值进行判断，即/(xo)=±/Qx=xo是函数/(x)图

象的对称轴方程；f(xo)=0Q点(xo,0)是函数/(x)图象的对称中心.

2.三角函数中奇函数一般可化为y=/sin①工或y=/tan①x的形式，而偶函数一般可化为y

=Acoscox+b的形式.

训练3(1)[2023全国卷乙]已知函数/(x)=sin(ox+夕)在区间(g?)单调递增，直

63

线x=3和x=与为函数尸/(x)的图象的两条相邻对称轴，则八一患)=(D)

A.--B.~-C.-D.—

2222

解析由题意得白冬=§-5=9,解得I。I=2,易知x=9是/(x)的最小值点.若。=

2,则白2+9=—三+2E(左£Z),得9=—"+2E(左£Z),于是/(x)=sin(2x一"十

6265

24兀)=sin⑵一当,f(一沙=sin(一泮2—巧=sin(一$=$话=鸟若①=

612126332

—2,则(—2)+9=—5+2E:(左WZ),得夕=--+2^71(左£Z),于是/(x)=

626

sin(―2x—g+2E)=sin(—2%—；)=sin⑵一匕i),所以/(一步=筑故选D.

666122

(2)在函数Qy=cosI2xI,®y=IcosxI,(S)y=cos(2x+J),@y=tan(2x--)

64

中，最小正周期为兀的所有函数为(A)

A.①②③B.①③④

C.②④D.①③

解析对于①，j=cosI2xI=cos2x,其最小正周期为卑=兀；对于②，y=IcosxI的最

小正周期为兀；对于③，j=cos(2x+-)的最小正周期为?=兀；对于④，y=tan(2x—7)

624

的最小正周期为今所以最小正周期为71的所有函数为①②③.

(3)函数/(x)=3sin(2x—5+夕)+1,西(0,兀),且f(x)为偶函数，贝！|夕=_

y_,/(%)图象的对称中心为<+当1),YZ.

解析,:f(x)=3sin(2x—]+p)+1为偶函数，；.一]+0=阮+],左GZ,即0=等+

hr,左GZ.又夕e(0,兀),(x)=3sin⑵+])+l=3cos2x+l.由2x=1+

kit,4GZ,得x=：+M狂Z,：.f(x)图象的对称中心为q+写，1),kRZ.

1.[命题点2/2023福建模拟]若对任意都有/(sinx)=­cos2x+cos2x+2sinx—3,则

/(x)的值域为L4,0].

解析易知/(sinx)=2sin2x—1+1—sin2x+2sinx—3=sin2x+2sinx—3,所以/(x)=x2

+2x—3(—1<X<1),曲线y=N+2x—3的对称轴为直线％=—1,所以函数/(x)在区间

[-1,1]上单调递增，所以/(-1)9(%)9(1),即一49(x)<0,所以/(x)的值域

为[—4,0],

2.［命题点2/2023潍坊市高三统考］已知函数/（x）=3sinx+4cosx,且/（x）9（。）对任

意x£R恒成立，若角。的终边经过点P（4,m）,则m=3.

解析因为/（x）=3sinx+4cosx=5sin（x+夕），其中cose。，sin则sin（。+

（P）=1,所以。+9=］+2历i（左£Z）,所以夕=5一9+2历1（左£Z）,所以sin9=sin（］一

夕）=cos9=f＞同理cos夕=3，所以tane=：==?,所以加=3.

554cosO4

3.［命题点3角度1/多选/2023福建省福州市联考］如图所示，一个质点''

在半径为2的圆。上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转,\

圈.该质点到x轴的距离关于时间1的函数记为f⑺.下列说法正确

的是（AC）

A.f（/）=I2sin（。一巳）I

,34

B/（t）=2sin（争一；）

C.fQt）的最小正周期为|

D/G）的最小正周期为3

解析由题可知，质点的角速度为零rad/s,因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经

过人之后所成角为%则夕=竽一会根据任意角的三角函数定义有处=2sin（等一小，所

以该质点到x轴的距离为/（7）=I2sin（冬一工）I,故A正确，B错误；因为/«）

=I2sin（争一：）I,所以/（/）的最小正周期为表=|,故C正确，D错误.故选AC.

V

4.［命题点3/多选/2023河北名校联考］已知函数/（x）=2sin（cux+^）+b（。＞0）的最小

正周期7满足三＜7＜手，且尸（-J1）是/（x）图象的一个对称中心，则（AC）

22o

A.69=2

B,f（x）的值域是［—2,2］

C.直线x=］是/（x）图象的一条对称轴

D.f（%+;）是偶函数

解析对于A,因为尸(一三，1)是函数/(x)图象的一个对称中心，所以一九十三=左兀

884

OGZ),且b=l,得。=2一8左(左GZ).又己<7<孙，且。>0,Fp-<—<—,所以

222323

<4,所以0=2,故A正确.

对于B,由对A的分析得/(x)=2sin(2x+-)+1,因为一iWsin(2x+-)<1,所以

44

f(x)e[-l,3],故B不正确.

对于C,解法一由2%+；=析+三(左£Z),得x="+三(攵£Z),当左=0时，x=《，所

42288

以直线是函数/(x)图象的一条对称轴，故C正确.

8

解法二将苫=己代入/(x),可得/')=3(/(x)的最大值)，所以直线》=已是/(x)

图象的一条对称轴，故C正确.

对于D,因为/(x+1)=2sin[2(x+3)+：]+l=2sin(2工+]+2)+1=2cos(2x+?+

1,显然该函数不是偶函数，故D不正确.综上所述，选AC.

(--------------------、练习帮'：练透好题精准分层-----------------------------

口学生用书•练习帮P296

练—

1.函数/(x)=tan⑵+；)的定义域为(C)

A.{xIx我加+1,左GZ}B.{xIx¥2E+],左GZ}

C.{xIx#y+pk^Z}D.{xI尤#7i+5kQZ]

解析由2x+之也+工，左ez,得2x邦Tt十二k^Z,左GZ,

42428

函数y=tan(2x+-)的定义域为"|/把十7k^Z].

428

2.[2023天津新华中学统练]下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是(D)

A.y=sin(2x+^)B.y=tan2x

C.j=2sin(7i—x)D.y=tan(x+兀)

解析对于函数>=$111(2x+^)=cos2x,最小正周期为兀，是偶函数，排除A;对于函数

j/=tan2x,最小正周期为是奇函数，排除B;对于函数y=2sin(兀一x)=2sinx,最小

正周期为2兀，是奇函数，排除C;对于函数^=1211(兀+x)=tanx,最小正周期为兀，是奇

函数，故选D.

3.下列函数中，以方为周期且在区间《，母单调递增的是(A)

A/(x)=Icos2xIB.f(x)=Isin2xI

C.f(x)=cosIxID/(x)=sinIxI

解析A中，函数/(x)=Icos2xI的最小正周期为今当、£%])时，2X£(p

7i),函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)=Isin2xI的最小正周期为'，

当(；,1)时，2x£(p7i),函数/(%)单调递减，故B不正确；C中，函数/(%)

=cosIxI=cosx的最小正周期为2兀，故C不正确；D中，f(x)=sinIxI=

Isinxx>0

{‘一'由正弦函数图象知，在xK)和xVO时，/G)均以2兀为周期，但在整个

(—sin%,%<0,

定义域上/(x)不是周期函数，故D不正确.故选A.

4.已知函数/(x)=sin(cox+0)+V3cos(cox+0)(。£[一号自)是偶函数，贝！的值为

(B)

A.OB，7C.yDg

643

解析由已知可得/'(x)=2sin(ox+6+l),若函数为偶函数，则必有

(kO,又由于(9引一会故有0+1=]解得。=也经代入检验符合题意.故选B.

512023江西月考]已知函数/(x)=sin(ox+夕)(。>0,0<°后)的两个相邻的零点为

-p|,则/(x)的图象的一条对称轴方程是(B)

1512

A.x=--B.x=~-C.x=-D.x=-

6633

解析设/(x)的最小正周期为T,则!三一(V)=1,得了=空=2,所以①=兀，又因

233co

为一^+(p=kjt(左£Z),且0<9<],所以9=2，则/(x)=sin(兀r+2),由兀x+?=E+

7(左£Z),解得、=左+工(左£Z),取左=—1,得一•条对称轴方程为x=-

266

6.已知函数/(x)=-2tan(2x+p)的图象的一个对称中心是点脸，0),

则该函数的一个单调递减区间是(D)

解析因为函数/(x)=-2tan(2x+p)的图象的一个对称中心是点脸，0),所以2乂巳

+0==，4CZ,解得夕="一？，左CZ.又0<夕<三，所以°=三，所以/(x)=

22623

—2tan(2x+—).0——+ATT<2X+—<-+ATT,左GZ,解得——+—<%<—+—,左GZ,所以

3232''122122'''

函数/(x)的单调递减区间为(一行+g,"+骸,后GZ.当左=0时，得了(X)的一个单

调递减区间为(一工，白.

7.［全国卷I］设函数/(x)=cos(ox+表在［—71,兀］的图象大致如

图，则/(x)的最小正周期为(C)

.10n„7K八4n

A.B.—C.—D等

963

解析解法一由题图知，f(―y)=0,—与+左兀(左右Z),解得69=一~~~

(左£Z).设/(%)的最小正周期为T,易知TV2兀V2T,：.1<ItyI

IcoIIO)I

<2,当且仅当左=—1时，符合题意，此时(0=三，二7=空=如.故选C.

20)3

解法二由题图知，/(—约=0且/(—兀)<0,f(0)>0,...一与(。>

9962

0),解得°=三，经验证符合题意，：.f(x)的最小正周期7=空=空故选C.

20)3

8.［2024安徽铜陵模拟］已知函数f(x)=asin4x+cos4x的图象关于直线x=会对称，

则/脸)=(A)

A.V3B.—C.--D.-1

22

解析由题设/(x)=Va2+lsin(4%+夕)(存0)且tan9=：又函数图象关于直线x=

三对称，所以工+9=三+巧1,k^Z=>(p=-+kR,kRZ,则tang=tan(-+^7i)=tai4=L=a=

1232666a

V3,综上，/(x)=V3sin4x+cos4x=2sin(4x+£),故/(或)=2s靖=遮.故选A.

9.［多选/2023江苏南京模拟］已知xi,血是函数/(x)=2sin(ox—白(。>0)的两个不同

6

零点，且IX1-X2I的最小值是热则下列说法正确的是(ABD)

A.函数/(x)在［0,自上单调递增

B.函数/(x)的图象关于直线x=一已对称

C.函数f(x)的图象关于点(兀，0)中心对称

D.当xe碎,利时，函数/⑴的值域是［—2,1］

解析由题意可知，最小正周期7=空=兀，所以0=2,f(x)=2sin(2x--).对于选项

A,当xd［0,全时，2x—占［一,y］,所以/(x)在［0,申上单调递增，故A正确；对于

选项B,f(-^)=2sin［2x(-J)一白=2sin(一共=-2,所以/(x)的图象关于直线x

=一擀对称，故B正确；对于选项C,/(兀)=2sin(2兀一］)=一1知，所以/(x)的图象

不关于点(兀，0)中心对称，故C错误；对于选项D,当xG生利时，2L占年，争，

sin(2x--)e［-l,f(x)e［-2,1］,故D正确.故选ABD.

62

10.定义运算为：例如，1*2=1,则函数/(x)=sinx*cosx的值域为一

lb(a>b),

解析f(%)=sinx*cosx,当％£区+2析，,+2左兀］,kGZ,这时sinxNcosx,所以/(%)

=cosx,这时函数的值域为［—1,?］;当x引一牛+2版，：+2左兀］,让Z,这时sin立

cosx,所以/(x)=sinx,这时函数的值域为［-1,争.综上，函数的值域为［—1,y］.

11.［2023上海松江二中模拟］若函数y=sin(⑪一,)在［0,团上单调递增，则加的最大值为一

2

3•

解析由x£［0,m］,知世:一？£［一),冽兀一；］,因为函数在［0,加］上单调递增，所以一

6666

冽兀一*三，即ov冽所以加的最大值为;.

6233

12.［2024安徽合肥一中模拟］已知函数/(x)=sinxcos%—V3cos2x+y--

(1)求函数/(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数f(x)在区间［一/柒上的值域.

解析(1)因为/(x)=sinxcosx—V3cos2x+y-=|sin2x~^(14^os2x)+^y==^sin2x-

—cos2x=sin(2%—-),

23

所以函数/(X)的最小正周期为丁=与=兀.

由2E+餐2%一家2标+手(左£Z)可得历1+居3烂析+*(左£Z),

所以函数/(x)的单调递减区间为肉c+工，也+号］(左£Z).

(2)当一2T时，一空<2x—2t

则TSsin(2%—^)<1,

因此，函数/(x)在区间［一巳口上的值域为［-1,1］.

642

帔力练「关

13.设函数/(x)=2cos(|x-,若对于任意的都有f(xi)<f(x)<f(%2)成立，

则IX1~X2I的最小值为(C)

A.-C.2兀

2B.KD.4TI

解析函数/(x)=2cos(1-x—,若对于任意的x£R,都有f(xi)<f(x)<f(%2),

则f(xi)是函数的最小值，f(X2)是函数的最大值，IX\—X2|的最小值就是函数的半个

周期，故4*=271,故选C.

2

14J2023湘潭模拟］若函数/(x)=cos2x+sin(2x+^)在(0,cc)上恰有2个零点，则a

的取值范围为(B)

A©,争B.(-争

图拳与)D.(拳争

解析由题意得，函数/(x)=cos2x+sin(2x+?)=V3sin(2x+^),因为OVxVa,所

63

以三<2x+£<2a+=又由/(x)在(0,a)上恰有2个零点，可得2无<2。+*371,解得巴

33336

<a<^,所以a的取值范围为(手争.

15J2023福建龙岩模拟］已知函数/(%)=2IsinxI+cosx,则/(%)的最小值为

(C)

A.-V5B.-2C.-lD.0

解析解法一f(%)=2IsinxI+cosx,分别作出y=2IsinxI(图1)与^=(：05》

(图2)的部分图象，如图所示.

图1图2

从图中可以看出，当、=兀时，两个函数同时取得最小值，此时/(兀)=2Isin7iI+cos7i

=—1最小.

解法二因为/(一%)=2Isin(—%)I+cos(―x)=2IsinxI+cosx=/(x),所以

f