奔驰定理与四心问题（五大题型）（解析版）-2025数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

重难点突破01奔驰定理与四心问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：奔驰定理...............................................................3

题型二：重心定理...............................................................9

题型三：内心定理..............................................................13

题型四：外心定理..............................................................17

题型五：垂心定理..............................................................21

03过关测试....................................................................25

1/48

技巧一.四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理一解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点/(西，乂)，B®，y2)，C(x3,y3),贝！IAABC的重心坐标为

+工2+%%%%.

3'3

注意：(1)在八＜8。中，若。为重心，贝D+历+*=0.

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=0,则△/(»、zuoc、A8OC的面积之比等于

%-A

奔驰定理证明：如图，令45=两，4砺=函，^pc=ocx,即满足Ci+砺i+。匕=o

技巧三.三角形四心与推论：

(1)。是A4BC的重心：S^BOC:S^COA:S^0B=1-A:1^OA+OB+OC=6.

(2)。是AA8C的内心：S.„„.S.=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=6.

Z-AxJt/cVrnA

(3)。是△/BC的外心：

：SCCA：S/\ACR-sin2A:sin2B:sin2C=sin2/CM+sin+sin2coe=0.

SAAUMC2、_XCCZ4LSAUD

(4)。是的垂心:

2/48

SA50C:SACOA:=tan4:tanB:tan。«tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常见结论

ABAC

(1)内心：三角形的内心在向量同网所在的直线上.

|Z8|.PC+|5c|-PC+|c3|-PS=bP为A43c的内心.

(2)外心：|莎卜|而卜P为zMBC的外心.

(3)垂心：沙•丽=丽・定=京・莎o尸为ZUBC的垂心.

(4)重心：⑸+而+元=0o尸为△/3C的重心.

题型一：奔驰定理

【典例1-1】已知。为“BC内一点，且满足力+力幅+(/-1)双=6,若ACUB的面积与ACMC的面积的比值

为!，则X的值为()

4

341

A.—B.—C.-D.2

432

【答案】B

［解析】^OA+XOB+(X-V)OC=Q,^Z(OB+OC)=OC-OA=AC,

如图，分别是的中点，

贝！］2MD=AC,

所以O在线段DE上，且2/OD=/C=2DE,

得4=次，设00=1,则。£=4，所以OE=4-1,

3/48

田％S^OAB_°E_4_1_C——

内&s_nr_1，％o/c='AZQC_7‘AZBC，°AABD~^^^ABCF

b"BDDb九22

所以S40Ac=S,ABE),则好丝=—r-=)，解得2=g.

S.OAC243

故选：B

【典例1-21点。在“BC的内部，且满足：AO=^AB+^AC,则"BC的面积与小。3的面积之比是

()

取/C中点为点。，

LIU1LlUUlLILIUI______k

则CU+OC=2O。，SP4OD=-OB

4

所以O在中线BQ上，且05=^3。

过O,。，分别作边N5上的高，垂足为〃,N,

0MOB4

则nl——二——一，

DNBD5

4_1

所以S.AOB1S&ABD'S.ABD=3S4ABC'

2

所以S4A0B-大S4ABC，

匕匕I、IS-BC—5

所以^----J，

,△AOB乙

故选：C.

【变式1-1】设“是小3。内一点，且篇•就=2®N5/C=30°,定义/'(〃■)=(%",P),其中私",。分

14

别是A〃BC,AMG4,AM4B的面积，若=则一+一的最小值是(）

xy

A.9（百+1）B.18C.16D.9

4/48

【答案】B

【解析】设。8C中，角4氏。的对边分别为。力,c,

_____,巧

ZBAC=30°,由万•X=6ccosZ8/C='c=26,得加=4,

2

S.ABC=^bcs'mABAC=\,若/'(")=［；,x,y］,则x>0,y>0,

有邑ABC-S4MBe+邑〃a+冬.8=<+x+y=l,得x+y=：,

z乙

%；=2@+4>；］=21+4{=45+2x3E,

y4x

当且仅当上=一,即X=1=：]时等号成立，

Xy63

14

则一+一的最小值是18.

xy

故选：B

【变式1-2】设前=g（益+农），过G作直线/分别交（不与端点重合）于尸,0,若不=4次,

uuurL1LIUK,,__,,2

AQ=〃AC,若A/〃G与A0/G的面积N比为则4=

12「35

A.-B.-C.-D.—

3346

【答案】D

【解析】连接/G并延长，则通过BC的中点”，过P,0分别向/G所在直线作垂线，垂足分别为。，

E,

如图所示

AP4G与△/G的面积之比为:

PD_2

PG2——2—

根据三角形相似可知y=工，则尸G二二尸。

0。55

5/48

:.AG=AP+PG=AP+^（AQ-AP^

__3__2______3__.2__.

即/G=1/尸

由平行四边形法则得就=；而=；（方+%）

根据待定系数法有92〃=1;,则〃=52

536

故选。

【变式1-3］（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结

论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是

八四

“3C内一点，ABMC,4AMC,A/的面积分别为臬，SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC=O.以下命题正确的有（）

A.若冬鸟：%=1:1:1,则M为AWC的重心

B.若M为AABC的内心，则8c.7+/C・施+48.荻=0

C.若/切C=45。，ZABC=60°,M为“3C的外心，则邑：邑：S©=6：2:1

D.若"为AA8C的垂心，3MA+4MB+5MC^0^贝！Jcos/4WS=-"

6

【答案】ABD

【解析】对A选项，因为j：%：%=1」：1，所以祝5+标+就=G，

取3C的中点。，则赤+荻=泗，所以2砺=_而，

故A,M,O三点共线，且|A划=2的胃，

同理，取NB中点E,NC中点尸，可得8,M,尸三点共线，C,M,E三点共线,

所以Af为AA8C的重心，A正确；

对B选项，若M为。8c的内心，可设内切圆半径为小

6/48

则邑=；8C-r，SB=~^ACR-sc=^AB'r,

1-1----|---------

所以一BC7-M4+—+—A8〃.MC=0,

222

BC-MA+AC-MB+AB-MC=6，B正确；

对C选项，若/B/C=45。，乙43c=60。，Af为413c的外心，则4c5=75。，

设。8c的外接圆半径为R,故/及WC=2/a4c=90。，4MC=2N/3C=120。,

ZAMB=2ZACB=150°,

故邑=」尺,吊90。=工尺2,1C1,1,

S„=-R2sinl20°=—7?2,S=-7?2sinl50°=-7?2,

2224c24

所以SJSB：SC=2：K：1，C错误;

对D选项，若M为“3C的垂心，3MA+4MB+5MC^Q^

则与：SB:7=3:4:5,

如图，ADIBC,CE1AB,BF1AC,相交于点M,

又S"=SA+SB+S-

S.31

-.......=77=Z，即AM:MD=3:1,

'△ABC4

SB41

《/一=不=.，即MF:5M=1:2,

,△ABC12J

S’5

三9-=不，即ME:MC=5:7,

MABC12

设AZD=加，MF=n,ME=5t,则4A/=3加，BM=2n,MC=71,

rim

因为/CAD=/C5/，sinACAD=—,sinZC5F=—

3m2n

所以9=F，即加=逅〃，

3m2n3

V6

（兀一ZBMD）=T，D正确;

/EMSM3”迷，贝!Jcos/NA/S=cosi

cosNBMD=—=——=——

2n2n6

故选：ABD.

7/48

【变式1-4］（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是内的一点，ABOC,AAOC,

“08的面积分别为打邑,”,则有邑・万+，・砺+品・历=0・设。是锐角。3C内的一点，NBAC,

ZABC,//C3分别是AABC的三个内角，以下命题正确的有（）

B.若方+切+3无=6，则臬：邑：7=上2：3

UU1LlULfl571__►__„__.9

c.若IGUHO8H2,ZAOB=—,2OA+3OB+4OC=0^贝！|5“g=彳

62

D.若。为的垂心，贝Utan/BNC•次+tan//BC•砺+tan//C3•反=0一

【答案】ABD

【解析】对于A：如下图所示，

假设。为48的中点，连接OD,则厉+赤=2历=函，故共线，即。在中线C。上,

同理可得。在另外两边BC,/C的中线上，故O为的重心，即A正确;

对于B：由奔驰定理。是“3C内的一点，小。。，/。口一微的面积分别为月,％,凡，

贝（I有Sj区+月•赤+Sc-3=。可知，

若方+加+3反=6，可得其：凡；：&=1：2：3,即B正确；

UULLIUUI5兀15兀

对于C：由|04|=|08|=2,NAOB=—可知与■=—x2x2xsin—=1,

X20A+30B+40C=0^所以邑：S§:S°=2:3:4,

8/48

13

由7=1可得邑=,%="

139

所以%。=邑+&+7=5+尸="即0错误；

对于D：由四边形内角和可知，ZBOC+ZBAC=n,

则砺•反=|砺||芯|cosZBOC=-\OB\\OC\cosABAC,

同理砺击工函旧cosZBCM=-|丽函cos/BC/,

因为。为AA8C的垂心，则砺•冠=丽•（灰^刀]砺•灰-砺-E/=0,

所以|OC|cosABAC=|OA|cosZ5G4,

同理得|OCIcosZABC=|OBIcosZBCA,\OA\cosZABC=\OB\cosZBAC，

则|0/|061:|OC|=cosZBAC:cos/ABC:cosZBCA,

令|CM|二加cosZBAC,\OB\=mcosZABC,\OC\=mcos/BCA,

1—,—►

由S%=耳I05IIOCIsinZBOC,

1，.»2

则邑=]|0811OC|sinNB/C=彳cosZABCcosZBCAsinZBAC,

同理：SB=^\OA\\OC\sinZABC=ZBACcosZBCAsinZABC,

1----►-----W72

Sc=-\OA\\OB\smZBCA=—cosZB^CcosZABCsinZBCA,

.0c0sinZBACsinZABCsinZBCA/力

综上，S'.S:S=-------------:--------------:--------------=tanABAC-tan/ABC•tanNBCA,

BRr

'ccosZBACcosZABCcosZBCA

根据奔驰定理得tan/A4C•厉+tan//BC•砺+tan/4C5•方=0一，即D正确.

故选：ABD.

题型二：重心定理

【典例2-1】己知。是所在平面内-•定点，动点尸满足

(___、

__»__4A~4C

OP=04k+%L——+=——，4e[0,+8),则动点尸的轨迹一定过“的.(选填：外心、内

|叫sing|^C|sinCJ

心、垂心、重心)

【答案】重心

【解析】过A作力垂足为取5C中点为。，连接如下所示：

9/48

A

贝Ij网sinB=\AH\=|^c|sinC,

f______\

nriTTn77-5°4BACn.__、,ABAC

则QP=O4+21——..F1——..,则/尸二X।——>1HI——.1,

|^C|sinCJqsinB|/。卜足。

后［尚Tj^］=/君+明亮版乂京为非负实数，

故善,75共线，也即4尸,。三点共线，又/。为三角形/8C中线，故尸的轨迹过三角形/8C的重心.

故答案为：重心.

【典例2-2］（2024•高三・陕西渭南•期末）如图所示，08c中G为重心，尸。过G点，AP=mAB，

【答案】3

【解析】设方=%就=B

根据题意，AG==—（—AB+-AC）=+-/）；

••-AP=mAB,AQ=nAC,P,G,。三点共线，则存在力，使得而=4同，

BPAQ—AP=A（AG—AP）,即nb-ma=%（；万+—ma）=,

\2.

-m=---mA

311

二」,整理得3加〃=加+〃，所以—F—=3；

mn

n--A

I3

故答案为：3

【变式2-1］（2024•陕西西安・模拟预测）在平行四边形/BCD中，G为△BCD的重心，AG=xAB+yAD,

贝l］3x+y=.

【答案】1/21

33

【解析】如图，设/C与5。相交于点。，又G为△3C。的重心，

10/48

所以。为8。的中点，CG=2GO,

•»—►‘”—►1,4—►41/““”\2—►2•»

则/G=4O+OG=ZO+—OC=—ZO=—x—/B+m=—/B+—/。，

3332、)33

28

则工=>=§,故3x+>=§.

故答案为：I

【变式2-2］（2024・高三•上海普陀・期中）在春3C中，过重心G的直线交边45于点尸，交边力。于点。

（尸、。为不同两点），且刀=4%，AQ=juAC,则几+〃的取值范围为.

43

【答案】Pi

【解析】由题意5<几<1,

延长4G交BC于。，则。是5C中点，

uuir7uuur21uurtoriuuriuuir

AG=-AD=-x-(AB+AC)=-AB+-AC,

33233

,LllAILILU----►----►~,—7；1—7；1—T；

又尢，,所以=弁/尸+「

AP=ABAQ-=*/dAC46AAAll40,

11;

又尸,G,0三点共线，所以7T+丁=1,〃=*

323〃3A-1

。04

/l+Ll-/vH,

34—1

32—1—323A(3Z-2)

设f（丸）二丸---则--/⑷=1+

34—1(34-1)2(32-1)2

1?2

时，rv）<o,/（%）递减，时，rw>o,/（㈤递增,

24133

/U)min=/(§)=§，又/(')=/⑴=5,BP/(A)max=-,

所以〃的取值范E围是［于4学3,

_43

故答案为：

11/48

A

【变式2-3】在“BC中，角4AC所对的边分别为。，b,c,已知“=1,/=60。，设。，G分别是

△48C的外心和重心，则酢.就的最大值是（）

A.—B.—C.—D.—

2346

【答案】B

【解析】设D为3c边中点，连接0D,作于//,即〃为ZC中点，

因为前•就=|市KIcos/GUC=1m:H就tgk?,

”》'》.1・»2

同理/O-/B=|/OW/B|COSNOA8=5A8,

贝I]同刀=而.序5、|■而.g傍+K）

1----*/--►,\1•21----1/°O\

=-AO4AB+AC]=-AB+-AC=-（b2+c1],

3'>666V7

在“5C中，”=1,/=60。，

由余弦定理得/=Z?2+c2-2bccos60°,b2+c2=1+bef

由均值不等式，1+bc=〃+C2>2bc，

所以bcWl（当且仅当b=c=l等号成立），

所以就•就=ld+/）=_L（6c+l）V」（l+l）=L

6'7663

故选：B.

【变式2-4]（2024•全国•二模）点。，尸是“3C所在平面内两个不同的点，满足苏=a+砺+0心，则直

线。尸经过。BC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】A

【解析】设BC的中点为点。，所以赤+双=2砺,

贝④-方=方=2比，

12/48

若4尸,四点共线时，即点尸都在中线/。上，所以。经过三角形的重心,

若4尸,。,。四点不共线时，APHOD,且/P=2O。，连结“2OP,交于点G,

如图，

综上可知，。尸经过的重心.

故选：A

题型三：内心定理

【典例3-1】已知。为“8C的内心，cos/48c=；,且满足丽—西+y瑟，贝”+了的最大值为.

【答案］史也

【解析】设“8c内切圆半径为r,延长8。交/C于D,则的=4而=彳茄+＞元，即丽=:0+J就,

-A/I

由/,C,D三点共线，得手+：=inx+y=2,

AA

g

A.,v-A,°L〈西二i.i

BD\\BC\+\O[\-\B(\+r小二1+sinJ?.

\BO\2

.B〔I—cosBV68-276

sma工'X+y-^^-

当r=|DO|,即6DL/C,亦即24=3C时等号成立，故(x+人、=8-2&.

BC

13/48

故答案为：引2区.

5

【典例3-2］在△4SC中，cos/A4C=g,若。为内心，且满足而=x^+y就，则x+y的最大值为.

【答案】U

2

【解析】延长49交5C于。，设5C与圆。相切于点E,4C与圆O相切于点尸，则OE=OR贝lj

OE4OD,

^AD=AAO=AxAB+AyAC,

因为5、。、。三点共线，

1AOA0,AO1

所以〃+右=1,即JXADAO+OD~AO+OE1।0E

~0A

1

1+sin—

0A2

因为cosZ=l-Zsin?—=—,0<A<7i,0<—<—,所以sin4=,

232223

【变式3-1】已知点。是边长为灰的等边A43C的内心，则（诙+石＞（况+砺）=_.

【答案】-1

【解析】设。为8c的中点，因为点。是边长为前的等边A42c的内心，

所以刀，OB，历两两夹角为120。,

___22c

S.\OA\=\OB\=\OC\=-\AD\^-X^X46=e.

332

14/48

所以（反+可.@+砺）=而+历方+诙砺+方砺

=2-2x--2x--2x-

222

="1.

故答案为：-1.

【变式3-2］（2024•高三•山东聊城・期中）已知。是AABC的内心，AB=9,5C=14,CA=13,则

AO-AB^•

【答案】36

【解析】如图所示：

以。为圆心作AABC的内切圆，分别与BC、C4、43相切于点。、E、F,

设AF=x,

根据切线长定理得4E=x,

BD=BF=9-x,

CD=CE=CA-AE=13-x,

所以5C=BD+DC=9-x+13-x=14,

BP22-2x=14,解得x=4,即4尸=4,

由题意可得OFJ_AB,

所以AOcosBOAB,

所以万.万=|就|W^cos/O48=眄MSNO/B,

=网/尸=9义4=36.

故答案为：36.

【变式3-3】已知RM/8C中，AB=3,/C=4,BC=5,/是“BC的内心，尸是A/8C内部（不含边界）

的动点.若办=力易+〃介（A,〃eR）,则彳+〃的取值范围是.

【答案】（；1）

【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则

）（0,0）,5（3,0）,C（0,4）,

因为/是三角形48c的内心，设三角形A8C内切圆半径为「，

15/48

则;（|/。|+|48|+|3。＞厂=9|/8冈/。|,解得厂=1.

所以1（1,1）,公=（3,0）,々=（0,4）.

依题意点尸（x,y）在三角形小C的内部（不含边界）.

AP=AAB+]uAC（2，〃eR）,

所以（龙/）=2（3,0）+〃（0,4）=（344〃），

[x=3A2=1x

所以，二:,

U=4〃1

If

,,11

^z=/L+jU=—x+—yf

,4

则y=--x+4z,

由图可知，当）=_；x+4z过时，z=；xl+；xl=5.

当歹=—gx+4z,过C（0,4）,即为直线5c时，z=；x0+；x4=1.

所以〃的取值范围时

故答案为：（]」）

16/48

题型四：外心定理

【典例4-1】已知点。在所在平面内，满足网=|西=|阿，则点O是的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】A

【解析】因为|德卜|砺卜pq,即点0到4B,c的距离相等，

所以点。是AABC的外心.

故选：A

【典例4-2】。为28C所在平面内一点，且满足（刀+砺）.丽=（砺+反）•与=（反+况）.%，则。是

“BC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】依题意，（方+砺）•诙=（日+砺）-（万-砺）=|厉砺『，

（OB+OC\CB+OC}（OB-OC}=|O5|2-|0C|2,

（OC+04）-AC^（OC+a4）-（OC-a4）=|OC|2-|O4|2,

贝！l|而F-\OB^\OB^-|OC|2=|OC|2-|O4|2,于是|E|=|砺|=|反|,

所以。是“3C的外心.

故选：B

【变式4-1］（2024•天津北辰三模）在ABC中，|洞=2后，。为“8C外心，且前.％=1，则

//8C的最大值为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

1__.

【解析】由。为418。外心，可得就在次方向上的投影向量为^NC,

则方,就=；就2=1,故西=亚,

又画=2/,设因=。,

2

则cos/48C=6+a

2x2后a4缶

当且仅当〃二指时等号成立,

17/48

由0°<ZABCV180°可知，0°</ABC<30°,

故ZABC的最大值为30。.

故选：A.

【变式4-2］在"BC中，AC=25,。是“3C的外心，M为的中点，AB-AO=8,N是直线

.一,,,,uuuiLima

上异于M、O的任扇一点，则/N-8C=()

A.3B.6C.7D.9

【答案】B

【解析】因为。是“3C的外心，M为3c的中点，设NC的中点为。，连接OD,

一—,、rUUUUUUJ.

所以（W，3C,OD1AC,^ON=WM,

则示反三（割+而）灰=而就+XJM-'BC

=AO-BC=AO-（BA+AC^

_____kk.ULimLlUULLlLimLlUUl

=AOBA+AOAC=-AOAB+AOAC，

又O是AABC的外心，所以亚•衣=|同/CAO=（|^o|cos/C4O）•|^c|

=||^C|2=1X（2V7）2=14,

UL1I1UUULlUULLlUJlUUUILILlli

所以4N-5C=—ZO-/5+4O・/C=—8+14=6.

故选：B

IULU'i

【变式4-3】已知。为小5。的外心，k可二4,则而.标=()

A.8B.10C.12D.1

【答案】A

【解析】如图，。为“5C的外心，过。作于E

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A

E.

因为OEL4B,所以|彳耳=布|

7g

则而方=|砌.网.cosZBAO142=8.

=网网行2

故选：A.

【变式4-4］在“8C中，AB=e,NACB=45°,。是“8c的外心，则%.前+1・赤的最大值为

【答案】3

【解析】由题知，记AA8C的三边为。也c,

因为。是AA8C的外心，记中点为。，

=C4-CS-|（C4+C5）-Z8=G4-C5-1（C3+C5）-（CS-G4）

=G4-C5+|（|c3|2-|cs|2j=b-a-cosZACB+^b2-a2）

在AABC中，由余弦定理得：cosB/C8="+"」=士

2ab2

a1+b2-c1=41ab»a1+b2-2=42aby

代入①中可得：AC^C+OCAB=b2-\^

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a_b_c_V2_

在中，由正弦定理得：sin/一sing一sinC一矣一，所以b=2sin8W2,

了

所以就•就+而•刀=〃-143，

当b=2,4=c=后,N=C=45°,8=90°时取等，

故就•希+瓦・方的最大值为3.

故答案为：3

【变式4-5］已知内一点。是其外心，sin/=亨［o<N<S，且前=加次+〃彳乙则加+〃的最

大值为.

3

【答案】-/0.75

4

【解析】如图所示，延长40交于。，

A

©

令方=2屈=翔=限守+

2

•:B,C,。三点共线，

mn..

...-1—=\=>m+n=A,,

4A

775

.•：取最大值时，加+〃取最大值，则人当

AD

•••画为外接圆的半径（定值），

二当力取得最小时,力取最大值,此时40IBC,

・•.”BC为等腰三角形，且sin/=Z

312；

J6A1

cos/=《，贝ljsin—=—，cos—=—,tan-=—r=,

323232V2

a

y/la

112sm/4V2।「an：«一2，

20/48

3Q

7.40一3

"1逅="

2

3

故答案为：—

4

【变式4-6】在中，44=60。，BC=G，。为ABC的外心，D,E,b分别为BC,C4的

中点，S.OD2+OE2+OF2=4，则为.砺+砺•反1+反.刀=—.

3

【答案】

【解析】如图,

DR=---=——=?

设“8C的外接圆半径为R,由正弦定理sin/一6一，则夫=1，

又因为。，E,尸分别为BC,C4的中点，

所以丽=:胸+砺），OE=^OC+OB'）,OF=1（04+OC）,

三式平方相加可得近2+OE+OF2=-（2OA+2OB+2OC2+2OAOB+2OCOA+2OBOc\=-,

4\/4

又因为15H砺卜°心|=1，代入得结果为次•赤+砺•反+反•厉=-[.

3

故答案为：-].

题型五：垂心定理

—►1—»1—►

【典例5-1】已知的垂心为点。，面积为15,且//5C=45。，则丽.比=—；若双）=5氏4+§5C,

则画卜—.

【答案】305

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【解析】如图,

加;是"5c的3C边上的高，则初.反1=（）；设石=2而，

因为乙43c=45。，面积为15,所以』丽U数卜in45。=15,即|加||四卜30板；

丽.就=（0+珂.就=国+彳初）.就

=BA"BC+AAHJC=^4||ec|cos453=30.

由第一空可知丽・数=30,所以而•而='切+；就:就=处•前+辆2=30；

所以就2=45，由|四|就|=30后可得|四=29，即函z=40；

—►1—►1―►

因为8。=—A4+—BC,

23

------k21---»21---»21---»---►1---»21---»2

所以=-BA+-BC+-BABC=-BA+-BC+10=10+5+10=25,

49349

阿|=5.

故答案为：30;5.

【典例5-2］若H是“BC的垂心，且2切+2麻+3阮=6，贝UtanC的值为—.

【答案】―/7V2T

22

【解析】由2瓦1+2而+3辰=6，得2（京+间+2（沅+而）+3玩

所以7国=2（3+Q）=4①，故垂心a在中线上，即高线与中线重合，故。=6,

又2包+2（血+方）+3（旬+就）=6,所以7而=2万+3就，

又因为初•前=0，JC^AC-AB＞得（2荔+3%）.（就-万）=0,

^^2AB-AC-2AB2+3AC2-3AC-AB=Q'即-2希+3就2-而方=0，

得到2c2-3b2+bccosA=0,由余弦定理得cosA="。一一一=变二至，

2bcbe

又a=b,所以5c2=6/,

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得至UtanC=叵.

2

故答案为：叵.

2

【变式5-1］在AA8C中，三个内角分别为B,C,48=4,AC=3,BC=2,〃为的垂心.若

AH=xAB+yAC,贝—.

【答案】-y

【解析】因为45=4,AC=3,BC=2,所以

16+9—47

由余弦定理可得cosZ=------------=—〉0,

248

由sin?/+cos24=1以及A为锐角，可得sin/=避5,故tan/=避5.

87

tan/+tan5

同理，tanB=3"^.于是tanC=-tan（4+5）=

11tanAtanB-l

接下来证明定理4：O是“BC(非直角三角形)的垂心=(tanZ)02+(tan8)砺+(tanC)芯=0.

证明：O是（非直角三角形）的垂心

<^OAOB=OBOC=OCOA

<=>|a4||o5|cos（7i-C）=|o