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文档简介
浙江省嘉兴市2025届高三数学上学期基础测试题
留意事项:
1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密
封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2.本试题卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分,共6页,全卷满
分150分,考试时间120分钟.
参考公式:
假如事务46互斥,那么
V=-/r(S1+A/S1S2+S2),
P(A+B)=P(A)+P(B).
其中Sj,S分别表示台体的上、下底面积,h
假如事务46相互独立,那么2
表示台体的高.
P(AB)=P(A)P(B).
球的表面积公式
假如事务A在一次试验中发生的概率是p,
S=4成2,
那么n次独立重复试验中事务4A恰好发
其中〃表示球的半径.
生化次
球的体积公式
的概率
P”(储=C:pkd-p)n-k(k=0,1,2,.V=-TTR3,
3
其中印表示球的半径.
柱体的体积公式
V=Sh9
其中S表示柱体的底面积,人表示柱体的
高.
锥体的体积公式
V=-Sh,
3
其中S表示锥体的底面积,无表示锥体的
高.
台体的体积公式
第I卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.已知集合人=口]1]}(i是虚数单位),B={1,-1},则4口5=
A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.0
2."20=2"”是“lna=ln2”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.如图,函数/(x)(XG(-1,2])的图象为折线ACB,则不等式/(x)Zlog2(x+l)的解集为
A.{x|-1<x<0}B.{x|O<x<l),21^
D.{x|-l<x<2}/
C.{x|-1<X<1}
__
x-y<03iO\2X
4.已知满意条件《x+y42,则z=x+2y的最大值为(第3题图)
x>0
A.2B.3
C.4D.5
5.袋中有形态、大小都相同且编号分别为1,2,3,4,5的5个球,其中1个白球,2个红
球,2个黄球.从中一次随机取出2个球,则这2个球颜色不同的概率为
3
A.-B.
54
74
C.—D.
105
=a-^Xi,则向量2与1的夹角为
6.已知向量a与疗不共线,且。工工0,若c二
ab
A.—B.兀
27
C.—D.(
3
7.如图,已知抛物线G:/=4x和圆。2:(x-l)2+y2=l,直线/经过Ci的焦点尸,自上而
则获•丽的值为/I
下依次交g和C?于4B,C,,四点,
A.-B.-C1D.2:
42
(第7题图)
8.若a./cl-g,1],且asina-尸sin/>0.则下列结论正确的是
A.a>PB.a+/3>Q
C.a</3D.a2>p2
9.已知各棱长均为1的四面体中,E是AD的中点,P为直线CE上的动点,则
|8尸|十|0尸|的最小值为
AY1+V3
C.
2
10.已知〃,力eR,关于x的不等式|x3+〃/+加:+1区1在%e[0,2]时恒成立,则当b取得
最大值时,〃的取值范围为
3
A.[--^4,-2]
D.[-[,-2]
C.
[-1^4,-1]2
第n卷
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则俯视图的面积为▲cn?,该几何
体的体积为▲cn?.
12.已知{册}是公差为-2的等差数列,S〃为其前"项和,
若〃2+1,%+1,%+1成等比数列,则4=▲
当〃=▲时,取得最大值.
13.已知函数/(x)=(l+cos2x)sin2x(XGR),则f(%)的最小正周期为▲;当
%£[0,刍时,/(X)的最小值为▲.
4
14.二项式(6+j)6的绽开式中,全部有■掌项(系数为有理数,X的次数为整数的项)的
系数之和为▲;把绽开式中的项重新排列,则有理项互不相邻的排法共有
▲种.(用数字作答)
15.△ABC中,AB=5,AC=2后,5c上的高A£>=4,且垂足O在线段5c上,H为八
ABC的垂心且石=+y就(x,jeR),则.=▲.
y
2222
16.己知P是椭圆・+2=1(9>d>0)和双曲线=1(a2>0,Z>2>0)的一个交
%b142”2
点,居,B是椭圆和双曲线的公共焦点,勺,0分别为椭圆和双曲线的离心率,若
/"尸尸2=:,贝Iei•02的最小值为▲.
x—4,x>2,
17.已知;IwR,函数/(x)=<,若函数/(x)恰有2个不同的零点,则;I的
x-4x+22,x<2.
取值范围为▲.
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本题满分14分)已知a,6,c分别为△ABC三个内角A,3,C的对边,且满意
(a+Z>)-(sinA-sinB)=(c-/>)-sinC.
(I)求角A的大小;
(II)当a=2时,求△ABC面积的最大值.
19.(本题满分15分)如图,四棱锥尸一ABCD中,AB//CD,ABA.AD,BC=CD=2AB=2,
△B4Z>是等边三角形,〃,N分别为的中点.
(I)求证:〃平面B4B;
(II)若二面角尸一AD-C的大小为色,求直线MN与平面E40所成角的正切值.
3
20.(本题满分15分)已知数列{%}的前“项和为S“,且满意2S“=3%-1(neN*).
(I)求数列{%}的通项公式;
(II)设d」°g3%+2,T”为数列{超}的前"项和,求证:r„<—.
4
21.(本题满分15分)已知椭圆C:1+与=1(a>Z»>0)的焦距为2百,且过点4(2,0).
crb2
(I)求椭圆C的方程;
(II)若点3(0,1),设P为椭圆C上位于第三象限内一动点,直线24与y轴交于点M,
直线尸5与x轴交于点N,求证:四边形452VM的面积为定值,并求出该定值.
22.(本题满分15分)已知函数”x)=e2x-ax+b(«,Z>eR,其中e为自然对数的底数).
(I)若。>0,求函数/(x)的单调递增区间;
(II)若函数/(X)有两个不同的零点与,々・
(i)当。=方时,求实数a的取值范围;
(ii)设/(x)的导函数为,'(x),求证:/'(%上)<0.
2
2024年高三教学测试(2024.9)
数学参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.C;2.B;3.C;4.C;5.D;
6.A;7.C;8.D;9.B;10.A.
10.提示:当工=0时,不等式明显成立.
222
当x£(0,2]时,-1V炉+ax+bx+l<l,-x<ax+b<-x,
X
即直线y=ax+b夹在曲线段j=-x2--,XG(0,2]和
x
y=-,,xe(0,2]之间.由图像易知,。的最大值为0,此时。的最
大值为-2,最小值为一°柄.
2
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.6,8;12.19,10;
13.0;14.32,144;
2
273
15.16.~T;17.(0,2)
17.提示:由已知可得/(x)=/-4x+2;l在区间(一照㈤上必需要有零点,^A=16-8A>0
解得:2<2,所以x=4必为函数/(*)的零点,故由已知可得:/(x)=--4x+2;l在区间
(-oo,2)上仅有一个零点.又/(x)=x2-4x+22在(-OQ,2)上单调递减,所以
/(2)=22-22<0,解得;le(0,2)
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
18.(本题满分14分)已知a,6,c分别为△A5C三个内角A,3,C的对边,且满意
(«+&)•(sinA-sinB)=(c-b)-sinC.
(I)求角A的大小;
(II)当。=2时,求△ABC面积的最大值.
18.(I)由正弦定理(〃+6)・(51114-§1118)=(。一力)・§111。等价于(〃+力)(。-力)=(。一))0,化
»2,2_2[
简即为"+c2-a2=》c,从而cosA=------------=—,所以A=生.
(II)由。=2,贝!]4=必+。2-k2加,故小。=:msinA<Vi,此时△ABC是边长为2
的正三角形.
19.(本题满分15分)如图,四棱锥尸一ABCD中,AB//CD,AB±AD,BC=CD=2AB=2,
△B40是等边三角形,M,N分别为3C,PD的中点.
(I)求证:MN〃平面巴45;
(II)若二面角P—4£>一。的大小为生,求直线MN与平面e40所成角的正切值.
3
19.(I)取A0中点E,连接EN、EM.
由于EN〃AP,EMUAB,AP^AB=A,EMC\EN=E,从而平面〃平面EMN.
又MNq平面EMV,从而MN〃平面MB.
(II)法一:连接7W.由于PE_LA0,ME±AD,则NPEM是二面角尸―AO-C的平面
3
角,NPEM=60。,APEM是边长为—的正三角形,且AD_L平面PEM.
2
又ADu平面巴4£),则平面PEM_L平面240.
过点M作拉F_L理于b,则知歹=、一,MFJ■平面jR4。,NMNF是直线MN与平面
24£)所成角的平面角.
由于N,尸分别是PD,2E的中点,则NF=3OE=宁,从而tanNMNF=标=3,即直线
MN与平面PAD所成角的正切值为3.
法二:连接PU.由于ME±AD,则是二面角尸一AD-C的平面角,
3
ZPEAf=60°,即APEM是边长为一的正三角形,且AZ>_L平面FEM.
2
又ADu平面A5CD,则平面PEM_L平面
ABCD.
过点P作尸O_LME于。,则POJ■平面4BCD.
过点。作OQ//AD,交CD于点0,则
OQVOM.
以点。为原点,OM,O0,OP分别为x,y,z轴,建
立空间直角坐标系。一个z,则尸(0,0,迈),
33百
-X++zo
V23-4-
fn•PA=04
设平面ew的法向量为〃=(x,y,z),则、一,即'
33石解得
n•PD—0-XV23+一zo
4--4-
v=0f
l,令z=l,则”=(一,3,0,1).
x=-v3z
\n-MN\3
设直线MN与平面R40所成角的平面角为。,则sin®=ini=—j=,tan6=3,即直线
M阿|;V10
MN与平面PAD所成角的正切值为3.
20.(本题满分15分)已知数列{%}的前"项和为S“,且满意2s“=3%-1(neN*).
(I)求数列{%}的通项公式;
(II)设或=史国4±1,T“为数列也}的前“项和,求证:北<?
an4
20.(I)当〃=1时〃i=l.
当〃N2时,,"",两式相减得:an=3an_1.
[2Sn_1=3an_1-l
故{%}是以3为公比的等比数列,且%=1,
所以%=3"T.
(II)由(I)得:吗,
n33i
由错位相减法
_»»,23n+1/1、
北=々+%+…+0=3+3+…⑴
1小23nn+1”、
-T=——H——H1-4-------(2)
331323“-13〃
两式相减得:g,=2+(g+:+…击)一三?52n+5
22.3"
21.(本题满分15分)已知椭圆C:1+q=l(a>Z>>0)的焦距为2石,且过点4(2,0).
a2b2
(I)求椭圆。的方程;
(II)若点3(0,1),设P为椭圆C上位于第三象限内一动点,直线24与y轴交于点M,
直线尸5与x轴交于点N,求证:四边形的面积为定值,并求出该定值.
21.(I)由2c=2-\/3,且a=2,求得c=V3,所以8=1.
丫2
所以椭圆C的方程为三+/=1;
4
(II)设尸(Xo,%)(x0<0,j0<0),则x:+4y:=4.
又A(2,0),5(0,1),所以直线E4的方程为y=」一(*一2).
-V#-2
令x=0,得加=一^2_,从而15Ml=1M=1+^L.
-Vo-2*0-2
直线M的方程为)=叁匚"+1.
与
令y=0,得小=——,从而|AN|=2-=2d———・
%TJo-1
所以四边形的面积
5」.|.|刖%+上).(1+卫)-+434/8%+4
22y0-lx0-22(x0y0-x0-2y0+2)
2(x0j0-x0-2yo+2)
所以四边形ABNM的面积S为定值2.
22.(本题15分)已知函数/(x)=e2,_ox+b(a,fteR,其中e为自然对数的底数).
(I)若。>0时,求函数/(*)的单调递增区间;
(II)若函数/(x)有两个零点X1,x2.
(i)假如求实数。的取值范围;
(ii)假如/(*)的导函数为/■'(*),求证:/'(匕5)<0.
2
22.(I)由题意得/'(x)=2e2*-a,当a>0时,令/'(x)>0,x>—In—,函数/(x)的
22
单调递增区间为(;ln1,+8);
(II)(i)方法一:由(I)知,r(x)=2e2x-a,
当时,,(x)>0,函数/(x)在R上单调递增,不合题意,所以a>0.
又,「Xf—00时,/(%)f+8;Xf+8,/(x)f+8,
二・函数/(X)有两个零点均,盯,函数/(X)在(-8」111巴)递减,函数/(X)在
22
(工1119,+00)递增,・,・/(—In—)<0>
2222
「‘II〃、
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