浙江省嘉兴市2025届高三数学上学期基础测试题

浙江省嘉兴市2025届高三数学上学期基础测试题

留意事项：

1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密

封线内填写学校、班级、学号、姓名；

2.本试题卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共6页，全卷满

分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

假如事务46互斥，那么

V=-/r(S1+A/S1S2+S2),

P(A+B)=P(A)+P(B).

其中Sj,S分别表示台体的上、下底面积，h

假如事务46相互独立，那么2

表示台体的高.

P(AB)=P(A)P(B).

球的表面积公式

假如事务A在一次试验中发生的概率是p,

S=4成2,

那么n次独立重复试验中事务4A恰好发

其中〃表示球的半径.

生化次

球的体积公式

的概率

P”(储=C：pkd-p)n-k(k=0,1,2,.V=-TTR3,

3

其中印表示球的半径.

柱体的体积公式

V=Sh9

其中S表示柱体的底面积，人表示柱体的

高.

锥体的体积公式

V=-Sh,

3

其中S表示锥体的底面积，无表示锥体的

高.

台体的体积公式

第I卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1.已知集合人=口]1]}(i是虚数单位)，B={1,-1},则4口5=

A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.0

2."20=2"”是“lna=ln2”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图，函数/(x)(XG(-1,2])的图象为折线ACB,则不等式/(x)Zlog2(x+l)的解集为

A.{x|-1<x<0}B.{x|O<x<l）,21^

D.{x|-l<x<2}/

C.{x|-1<X<1}

__

x-y<03iO\2X

4.已知满意条件《x+y42,则z=x+2y的最大值为（第3题图）

x>0

A.2B.3

C.4D.5

5.袋中有形态、大小都相同且编号分别为1,2,3,4,5的5个球，其中1个白球，2个红

球，2个黄球.从中一次随机取出2个球,则这2个球颜色不同的概率为

3

A.-B.

54

74

C.—D.

105

=a-^Xi,则向量2与1的夹角为

6.已知向量a与疗不共线，且。工工0,若c二

ab

A.—B.兀

27

C.—D.(

3

7.如图，已知抛物线G：/=4x和圆。2：(x-l)2+y2=l,直线/经过Ci的焦点尸，自上而

则获•丽的值为/I

下依次交g和C?于4B,C,，四点,

A.-B.-C1D.2:

42

(第7题图)

8.若a./cl-g,1],且asina-尸sin/>0.则下列结论正确的是

A.a>PB.a+/3>Q

C.a</3D.a2>p2

9.已知各棱长均为1的四面体中,E是AD的中点，P为直线CE上的动点，则

|8尸|十|0尸|的最小值为

AY1+V3

C.

2

10.已知〃，力eR，关于x的不等式|x3+〃/+加:+1区1在％e[0,2]时恒成立，则当b取得

最大值时，〃的取值范围为

3

A.[--^4,-2]

D.[-[，-2]

C.

[-1^4,-1]2

第n卷

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则俯视图的面积为▲cn?,该几何

体的体积为▲cn?.

12.已知｛册｝是公差为-2的等差数列，S〃为其前"项和,

若〃2+1，%+1，%+1成等比数列，则4=▲

当〃=▲时,取得最大值.

13.已知函数/(x)=(l+cos2x)sin2x(XGR),则f(%)的最小正周期为▲;当

%£[0,刍时，/(X)的最小值为▲.

4

14.二项式(6+j)6的绽开式中，全部有■掌项(系数为有理数，X的次数为整数的项)的

系数之和为▲;把绽开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有

▲种.(用数字作答)

15.△ABC中，AB=5,AC=2后,5c上的高A£>=4,且垂足O在线段5c上，H为八

ABC的垂心且石=+y就(x,jeR),则.=▲.

y

2222

16.己知P是椭圆・+2=1(9>d>0)和双曲线=1(a2>0,Z>2>0)的一个交

%b142”2

点，居，B是椭圆和双曲线的公共焦点，勺，0分别为椭圆和双曲线的离心率，若

/"尸尸2=：，贝Iei•02的最小值为▲.

x—4,x>2,

17.已知；IwR,函数/(x)=<,若函数/(x)恰有2个不同的零点，则；I的

x-4x+22,x<2.

取值范围为▲.

三、解答题(本大题共5小题，共74分)

18.(本题满分14分)已知a,6,c分别为△ABC三个内角A,3,C的对边，且满意

(a+Z>)-(sinA-sinB)=(c-/>)-sinC.

(I)求角A的大小；

(II)当a=2时，求△ABC面积的最大值.

19.(本题满分15分)如图，四棱锥尸一ABCD中，AB//CD,ABA.AD,BC=CD=2AB=2,

△B4Z>是等边三角形，〃，N分别为的中点.

(I)求证：〃平面B4B；

(II)若二面角尸一AD-C的大小为色，求直线MN与平面E40所成角的正切值.

3

20.(本题满分15分)已知数列｛%｝的前“项和为S“，且满意2S“=3%-1(neN*).

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)设d」°g3%+2,T”为数列｛超｝的前"项和，求证：r„<—.

4

21.(本题满分15分)已知椭圆C:1+与=1(a>Z»>0)的焦距为2百，且过点4(2,0).

crb2

(I)求椭圆C的方程；

(II)若点3(0,1),设P为椭圆C上位于第三象限内一动点，直线24与y轴交于点M,

直线尸5与x轴交于点N,求证：四边形452VM的面积为定值，并求出该定值.

22.(本题满分15分)已知函数”x)=e2x-ax+b(«,Z>eR,其中e为自然对数的底数).

(I)若。>0,求函数/(x)的单调递增区间；

(II)若函数/(X)有两个不同的零点与，々・

(i)当。=方时，求实数a的取值范围;

(ii)设/(x)的导函数为，'(x),求证：/'(%上)<0.

2

2024年高三教学测试(2024.9)

数学参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1.C；2.B；3.C；4.C；5.D；

6.A；7.C；8.D；9.B；10.A.

10.提示：当工=0时，不等式明显成立.

222

当x£(0,2］时，-1V炉+ax+bx+l<l,-x<ax+b<-x，

X

即直线y=ax+b夹在曲线段j=-x2--,XG(0,2］和

x

y=-，,xe(0,2］之间.由图像易知，。的最大值为0,此时。的最

大值为-2,最小值为一°柄.

2

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.6,8；12.19,10；

13.0；14.32,144；

2

273

15.16.~T；17.(0,2)

17.提示：由已知可得/(x)=/-4x+2；l在区间(一照㈤上必需要有零点，^A=16-8A>0

解得：2<2,所以x=4必为函数/(*)的零点，故由已知可得：/(x)=--4x+2；l在区间

(-oo,2)上仅有一个零点.又/(x)=x2-4x+22在(-OQ,2)上单调递减，所以

/(2)=22-22<0,解得；le(0,2)

三、解答题(本大题共5小题，共74分)

18.(本题满分14分)已知a,6,c分别为△A5C三个内角A,3,C的对边，且满意

(«+&)•(sinA-sinB)=(c-b)-sinC.

(I)求角A的大小;

(II)当。=2时，求△ABC面积的最大值.

18.(I)由正弦定理(〃+6)・(51114-§1118)=(。一力)・§111。等价于(〃+力)(。-力)=(。一))0,化

»2,2_2[

简即为"+c2-a2=》c,从而cosA=------------=—,所以A=生.

(II)由。=2,贝!]4=必+。2-k2加，故小。=:msinA<Vi,此时△ABC是边长为2

的正三角形.

19.(本题满分15分)如图，四棱锥尸一ABCD中，AB//CD,AB±AD,BC=CD=2AB=2,

△B40是等边三角形，M,N分别为3C,PD的中点.

(I)求证：MN〃平面巴45；

(II)若二面角P—4£>一。的大小为生，求直线MN与平面e40所成角的正切值.

3

19.(I)取A0中点E,连接EN、EM.

由于EN〃AP,EMUAB,AP^AB=A,EMC\EN=E,从而平面〃平面EMN.

又MNq平面EMV,从而MN〃平面MB.

(II)法一：连接7W.由于PE_LA0,ME±AD,则NPEM是二面角尸―AO-C的平面

3

角，NPEM=60。，APEM是边长为—的正三角形，且AD_L平面PEM.

2

又ADu平面巴4£),则平面PEM_L平面240.

过点M作拉F_L理于b，则知歹=、一,MFJ■平面jR4。，NMNF是直线MN与平面

24£)所成角的平面角.

由于N,尸分别是PD,2E的中点，则NF=3OE=宁，从而tanNMNF=标=3,即直线

MN与平面PAD所成角的正切值为3.

法二：连接PU.由于ME±AD,则是二面角尸一AD-C的平面角，

3

ZPEAf=60°,即APEM是边长为一的正三角形，且AZ>_L平面FEM.

2

又ADu平面A5CD,则平面PEM_L平面

ABCD.

过点P作尸O_LME于。，则POJ■平面4BCD.

过点。作OQ//AD,交CD于点0,则

OQVOM.

以点。为原点，OM,O0,OP分别为x,y,z轴，建

立空间直角坐标系。一个z,则尸(0,0,迈)，

33百

-X++zo

V23-4-

fn•PA=04

设平面ew的法向量为〃=(x,y,z),则、一，即'

33石解得

n•PD—0-XV23+一zo

4--4-

v=0f

l，令z=l，则”=(一,3,0,1).

x=-v3z

\n-MN\3

设直线MN与平面R40所成角的平面角为。，则sin®=ini=—j=,tan6=3,即直线

M阿|;V10

MN与平面PAD所成角的正切值为3.

20.(本题满分15分)已知数列｛%｝的前"项和为S“，且满意2s“=3%-1(neN*).

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)设或=史国4±1,T“为数列也｝的前“项和，求证：北<?

an4

20.(I)当〃=1时〃i=l.

当〃N2时，,"",两式相减得：an=3an_1.

[2Sn_1=3an_1-l

故｛%｝是以3为公比的等比数列，且%=1,

所以%=3"T.

(II)由(I)得：吗,

n33i

由错位相减法

_»»,23n+1/1、

北=々+%+…+0=3+3+…⑴

1小23nn+1”、

-T=——H——H1-4-------(2)

331323“-13〃

两式相减得：g,=2+(g+:+…击)一三?52n+5

22.3"

21.(本题满分15分)已知椭圆C:1+q=l(a>Z>>0)的焦距为2石，且过点4(2,0).

a2b2

(I)求椭圆。的方程；

(II)若点3(0,1),设P为椭圆C上位于第三象限内一动点，直线24与y轴交于点M,

直线尸5与x轴交于点N,求证：四边形的面积为定值，并求出该定值.

21.(I)由2c=2-\/3,且a=2,求得c=V3,所以8=1.

丫2

所以椭圆C的方程为三+/=1；

4

(II)设尸(Xo，%)(x0<0,j0<0),则x：+4y：=4.

又A(2,0),5(0,1),所以直线E4的方程为y=」一(*一2).

-V#-2

令x=0,得加=一^2_,从而15Ml=1M=1+^L.

-Vo-2*0-2

直线M的方程为)=叁匚"+1.

与

令y=0，得小=——，从而|AN|=2-=2d———・

%TJo-1

所以四边形的面积

5」.|.|刖%+上).(1+卫)-+434/8%+4

22y0-lx0-22(x0y0-x0-2y0+2)

2(x0j0-x0-2yo+2)

所以四边形ABNM的面积S为定值2.

22.(本题15分)已知函数/(x)=e2，_ox+b(a,fteR,其中e为自然对数的底数).

(I)若。>0时，求函数/(*)的单调递增区间；

(II)若函数/(x)有两个零点X1,x2.

(i)假如求实数。的取值范围;

(ii)假如/(*)的导函数为/■'(*)，求证：/'(匕5)<0.

2

22.(I)由题意得/'(x)=2e2*-a,当a>0时，令/'(x)>0,x>—In—,函数/(x)的

22

单调递增区间为(；ln1,+8)；

(II)(i)方法一：由(I)知,r(x)=2e2x-a,

当时，，(x)>0,函数/(x)在R上单调递增，不合题意，所以a>0.

又,「Xf—00时，/(%)f+8;Xf+8,/(x)f+8,

二・函数/(X)有两个零点均，盯，函数/(X)在(-8」111巴)递减，函数/(X)在

22

(工1119,+00)递增，・，・/(—In—)<0>

2222

「‘II〃、