预习08圆的方程（七大考点）

预习08圆的方程一、圆的标准方程1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程．3．几种特殊位置的圆的标准方程条件方程形式过原点圆心在原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系：（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内.三、圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为:（1）若点在圆外,则;（2）若点在圆上,则;（3）若点在圆内,则.综上,.四、圆的一般方程1．圆的一般方程当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程．2．对方程的说明对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表：条件图形不表示任何图形表示一个点表示以为圆心,以为半径的圆考点01 求圆的标准方程【方法点拨】确定圆的标准方程的方法：（1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程；（2）待定系数法：①设——设所求圆的标准方程为；②列——由已知条件，建立关于的方程组；③解——解方程组，求出；④代——将代入所设方程，得所求圆的标准方程.【例1】写出下列圆的标准方程：(1)圆心为，半径是；(2)圆心为，且经过点.【答案】(1)(2)【详解】（1）圆心在，半径长是，故圆的标准方程为．（2）圆心在，且经过点，故半径为，故圆的标准方程为．【例2】圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为，又，解得，所以圆的方程为.故选：D【变式11】过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由圆可知，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故以为直径的圆的方程为，故选：D【变式12】过和两点的面积最小的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设过和两点的圆的圆心为，半径为，则，故，当且仅当为中点时等号成立，故过和两点的圆的面积最小时直径为，此时圆的圆心为，故其标准方程为，故选：C.【变式13】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】圆的圆心为，半径为，关于直线的对称点是，所以圆的圆心是，半径是，所以圆的方程为.故选：D考点02 点与圆的位置关系【方法点拨】判断点与圆的位置关系的方法：（1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可；（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断．【例3】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B.【例4】已知点，圆C的标准方程：，若点M在圆C上，则a的值为；若点M在圆C的内部，则a的取值范围为．【答案】【详解】由题意知，点M在圆上，则，解得．点M在圆内，则，即，解得．故答案为：；.【变式21】（多选）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（

）A．在圆P上 B．在圆P内C．在圆P内 D．在圆P外【答案】AC【详解】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，易知，，，，所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内．故选：AC．【变式22】点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是．【答案】【详解】设与关于直线对称，则，解得，即，因为在圆的内部，所以，解得，即实数的取值范围是．故答案为：．【变式23】点与圆的位置关系如何？【答案】答案见解析【详解】圆心为．因为，所以点在圆上；因为，所以点在圆外；因为，所以点在圆内．考点03 二元二次方程是否表示圆【方法点拨】判断二元二次方程是否表示圆，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数．【例5】如果方程表示一个圆，那么实数k的取值范围是什么？与圆是怎样的位置关系呢？【答案】答案见解析【详解】因为方程表示圆的条件是，所以方程表示圆的条件为，即，则k的取值范围是．将的坐标代入方程的左边，得，可知点在圆外．【例6】已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为，所以，若曲线是圆，所以，所以或，所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件.故选：A.【变式31】（多选）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（

）A．－1 B．0 C． D．1【答案】BC【详解】因为方程表示一个圆，令，所以由，化简得，解得.故选：BC.【变式32】（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】AC【详解】解：由圆的一般方程形式知，的系数相同，则，∴或3，当时，方程为表示一个圆；当时，方程为表示一个圆.故选：AC.【变式33】若点在圆的外部，则实数a的取值范围为．【答案】【详解】由在圆的外部，得，解得，或，故答案为：考点04 求圆的一般方程【方法点拨】用待定系数法求解圆的方程，选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程．【例7】已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设圆C的方程为，则圆心，则有，解之得,则有圆C的方程为，即故选：C【例8】过，，三点的圆与轴交于，两点，则（

）A．3 B．4 C．8 D．6【答案】D【详解】设圆的方程为，代入点，，，则，解得，可得，整理得符合题意，所以圆的方程为，令，可得，解得，所以．故选：D.【变式41】过三点的圆的方程为．【答案】(或者写成)【详解】设圆的方程为，将代入得，，解得，故圆的方程为.故答案为：【变式42】已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为.【答案】【详解】方法一：设所求圆的标准方程为，由题意得:，解得：故所求圆的方程为，即.方法二：线段的中点坐标为，即，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，即，由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心，联立，得交点坐标，又点到点的距离，即半径为，所以圆的方程为，即.故答案为：【变式43】圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.考点05 圆的轨迹问题（直接法）【方法点拨】根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．【例9】若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为．【答案】3【详解】以所在直线为x轴，以线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设，因为，即，所以，整理为：，则点的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，所以点到距离的最大值是，所以面积的最大值是.故答案为：3【例10】已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为.【答案】【详解】设，所以，因此由，所以点P的轨迹方程为，故答案为：【变式51】动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是.【答案】（）【详解】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外），即以的中点为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹方程是.故答案为：.【变式52】已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程．【答案】坐标系见解析，【详解】

如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两定点为、．设动点的坐标是，则，．因为，所以，化简得．这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程．反过来，设平面上一点的坐标也满足方程，即有，则．从而以方程的解为坐标的点都在轨迹上．综上所述，方程就是所求的动点的轨迹方程．【变式53】已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍.(1)求点的轨迹方程；(2)如果把倍改成倍，求点的轨迹.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）设点的坐标为，由，得，化简得，即.（2）设点的坐标为，由，得，化简得，当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线；当且时，方程可化为，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.考点06 圆的轨迹问题（代入法）【方法点拨】如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程．【例11】线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【详解】，设为线段中点，，设，则，即．则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.故选：D【例12】已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设线段中点的坐标为，且点，又由，可得，解得，又由，可得，即，故选：A【变式61】已知点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹方程：(2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程；【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，设点，又，因为，即，化简可得，即，所以动点P的轨迹方程为；（2）设，又，因为，所以，即，得，由（1）知，所以，整理得动点Q的轨迹方程为.【变式62】已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，，由得是线段中点，∴，又在圆上，，即，∴点轨迹是半径为1的圆，面积为，故选：A．【变式63】从定点向圆任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹．【答案】轨迹方程为（在已知圆内的部分），即轨迹为以为圆心，5为半径的圆（在已知圆内的部分）.【详解】由题意知，取中点，则，，由圆的定义知其轨迹方程为，则的轨迹是以为圆心，5为半径的圆（在已知圆内的部分），

考点07 圆的最值问题【方法点拨】已知点在圆上，求的最值问题的处理方法如下：（1）求圆心与定点间的距离（2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，；②当点M在圆内时，.【例13】若实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为表示圆心为，半径为的圆，则表示圆上的点到点的距离的平方，所以的最大值为.故选：D【例14】已知P是过，，三点的圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．20【答案】B【详解】依题意，，则，因此线段是圆的直径，且，而点是该圆上的点，所以的最大值为.故选：B【变式71】已知圆，求圆上的点到点的距离的最大值与最小值．【答案】最大值为，最小值为【详解】由圆可化为，可得圆心为，半径，如图所示，点P与点E距离的最大值为，点P与点E距离的最小值为，又因为，所以圆上的点P到点E的距离的最大值为，最小值为．【变式72】.已知是圆上的一点，则的最小值是【答案】【详解】表示圆上的动点到点的距离，由可化为，则圆心为，半径为，点到圆心的距离为，所以点到点的距离的最小值为，即的最小值是.故答案为：.【变式73】已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为．【答案】【详解】因为，所以，又知直线，可得直线恒过定点，直线，可得直线恒过定点，所以点在以AB为直径的圆上，且，所以半径为，圆心C为AB的中点，即，即所在的圆的方程为：，可得，所以O到圆上点P的最小距离．故答案为：．一、单选题1．过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为，则有，解得，故该圆方程为.故选：D.2．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】圆化成标准方程为，点在圆O外，则有，即，解得或.故选：D．3．圆恒过的定点为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】圆的方程化为，由得或，故圆恒过定点．故选：D．4．已知圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】圆的圆心为，半径为，设点关于直线的对称点为，因为线段的中点在直线上，则，即，又因为，且直线的斜率为，则，解得.故所求圆的方程为.故选：C.5．过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．【答案】A【详解】由题意设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入中，即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A二、多选题6．设直线：，：，则（

）A．与平行 B．与相交C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外【答案】BC【详解】由题意，直线，两直线斜率分别为，，故两直线相交，选项A错误，B正确；联立，解得，故两直线交点为，由，得交点在圆上.故C正确，D错误.故选：BC.7．已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对于A，，显然的轨迹是线段，故A错误；以中点为原点，建立平面直角坐标系，设,，设，则，，对于B，已知，则，所以，点的轨迹是圆，故B正确；对于C，由两点间距离公式得，，代入中化简得，即，故的轨迹是圆，故C正确；对于D，代入中化简得，显然的轨迹是一个点，故D错误.故选：BC三、填空题8．在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为．【答案】.【详解】设，则由可得，化简得.故答案为：.9．已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为.【答案】【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称，又由，可得，且的中点为，所以直线的方程为，即.故答案为：四、解答题10．已知点，，，直线与轴交于点.(1)求点的坐标；(2)求的外接圆的标准方程.【答案】(1)(2).【详解】（1）由题意，，故直线的斜率，所以直线的方程为.因为点在轴上，令，得，所以点的坐标为.（2）因为的顶点坐标分别为，，，所以，所以的外接圆是以为直径的圆.又中点为，所以外接圆的圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.11．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.(1)求圆的标准方程；(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为，∴圆的标准方程为.（2）设，.由，可得，则，又点在圆上，所以，即，