2024年山东省泰安市新泰市中考数学三模试卷

2024年山东省泰安市新泰市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出

来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（4分）下列各数中最小的数是（)

A.-nB.-3C.-V5D.0

2.(4分)下列运算结果正确的是()

A.=B.(-3=-a3b6

C.(2a-3b)2=4片-9b2D.(4a2+2a)+2。=2片

3.（4分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）

4.（4分）如图，直线a〃6,△48C的顶点C在直线6上，交/C于点尸，若/1=150°,则/2的度数

是（）

5.（4分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示

为（）

A.7义10-9B.7X10-8C.0.7X10-9D.0.7X10-8

6.（4分）如图，3。是OO的直径，点AB=AD-AC交BD于点、G.若//G3=114°,则N/OC的

度数为（)

第1页（共30页）

D

B

A.76°B.69°C.56°D.66°

7.（4分）如图是泰安市2024年3月上旬的每天气温绘成的折线统计图，则下列四个结论:

①3月上旬某天最大温差为9℃；

②3月上旬最高气温的众数是5；

③3月上旬最低气温平均数是2.8℃；

④3月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差.

其中，正确结论的个数是（）

OI2345678910日期（日）

A.1B.2C.3D.4

8.（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七

两分之多四两，如果每人分七两，则剩余四两，则还差八两，问有多少人（注：明代当时1斤=16两,

故有“半斤八两”这个成语）.设有x人，银子有y两（）

A（7x=y-4口（7x=y+4

A.」D.」

（9x=y+8（9x=y-8

zz

x写-4x=y+4

C.<D.<

x=+8x=y-8

9.（4分）如图，在△NBC中，NBAC=90°,以NC长为半径作弧交8C于点。，再分别以点C,以大于

▲■CD的长为半径作弧，作射线/尸交于点E,若NC=3,连接4D,贝！IS&IBD=（）

2

第2页（共30页）

A.丝B.HC.丝D.^L

552515

10.（4分）一次函数的图象如图所示，则二次函数＞=机，+外的图象可能是（）

11.（4分）如图，正方形/BCD中，E是上一点，点/的对应点是点尸，直线4F与DE交于点H,

连接8G,下列说法：

①DH=GH；

②N/G3=45。；

③若连接CG,则CG1AG；

④若正方形边长为2,£为的中点，则匠

5

其中正确的个数是（）

第3页（共30页）

12.（4分）如图，矩形48CD,4B=2,AD=2百，尸为边2C上的动点，BF=24E,作BH_LEF于H点、,

连接则线段C"的最小值为（）

A.2B.2C.2^3-2D.2A/6-2

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）已知关于x的一元二次方程依2一（4左-1）x+4左-3=0有两个不相等的实数根，则实数左的取

值范围是.

14.（4分）如图，在Rt448C中，ZACB=90°,以。为圆心，为半径的圆与48相交于点。，且CD

—AC.若ZC=4,CE=2.

15.（4分）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C,无人机在空中点尸处，点N处俯角为

60°,楼顶C点处的俯角为30°（点42,GP在同一平面内），则大楼的高度3C=米.（结

果精确到0.1米，参考数据：加比1.732）.

第4页（共30页）

p

宫

16.（4分）如图，已知菱形/BCD,连接NC,NC=6,点尸在上，连接£RDE,则。£+尸£的最小

17.（4分）如图，在矩形/BCD中，以点。为圆心，以点C为圆心，CD长为半径画弧，现从矩形内部随

机取一点，若48=1_______________________

18.（4分）细心观察下面图形，其中S,表示图中第"个三角形的面积，认真分析各式：

0A山（71）2+12=2,S尸率OA|=12+（V2）2=3-S2=~

0A^=l2+（V3）2=4So=—=……若一个三角形的面积是巾，则说明这是第________个三角形.

432

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

19.（10分）（1）计算：-l2-2sin60°+||+T-（2）2;

第5页（共30页）

2

（2）化简：（x-l+史+工^

'Xx+2，x+2

20.（11分）某校为了解七、八年级学生对泰山文化的了解程度，组织了一次泰山文化知识测试，七、八

年级各抽取10名学生参加比赛（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（分）表示）（/：80Wx<

85,B-,85WxV90,C：90<x<95,D95WxW100）.下面给出了部分信息:

七年级抽取学生八年级抽取学生

测试成绩扇形统计图测试成绩条形统计图

人数

5

4

40%/\3

2

D

1

0

CD等级

七年级参赛的学生C等级的成绩为：92、92、93、94

八年级参赛的学生。等级的成绩为：95、95、95、97、100

七八年级抽取的学生测试成绩统计表：

班级平均分中位数众数

七年级92a92

八年级9294b

请根据相关信息，回答以下问题：

（1）填空：a=,b=；

（2）七年级参赛学生成绩扇形图中。等级的圆心角度数是；

（3）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是93分，于是小明说：“我在七年级

参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次."你同意小明的说法吗？并说明理由.

（4）小明和小红各自打算随机选择周日的上午、下午或者晚上去泰山景区游玩.求他们两人中至少有

一人选择晚上游玩的概率.

21.（11分）如图，一次函数y=ax+6（aWO）的图象与反比例函数y=X"WO）,B,且该一次函数的图

x

象与y轴正半轴交于点C,过N,垂足分别为£,D,且&BOD=2.已知/（〃，1）,AE=4BD.

（1）填空：n=；k=；

（2）求3点的坐标和一次函数的解析式；

（3）将直线N5向下平移％（m>0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点

第6页（共30页）

22.（10分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大

脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品.在前期询价时，钢笔的价格比自动铅笔贵60%,

且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支.

（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？

（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%,而钢笔则按

之前询问价格的9折出售.若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，则学校最多购买了多少支钢笔

作为奖品？

23.（11分）如图1,在正方形/BCD中，E为对角线/C上一点（AE>CE）,DE.

（1）求证：BE=DE；

（2）如图2,过点E作跖，/C交3c于点尸，延长3c至点G,连接DG.证明DG=&BE-

图1图2

24.（11分）已知：如图，在菱形/BCD中，点E是边DC上的任意一点（不与点。、。重合），过点£作

EG〃BC交BD于■点、G.

（1）问题探究：求证：DF1=FG'BFy

（2）迁移运用：当/E_LZ>C时，求证：BD'DF=2.AD'DE.

第7页（共30页）

A

BC

25.（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线＞=-工，与y轴交点C,抛物线y=-L2+H+C经过3,

24

C两点，与x轴交于另一点/.如图1

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；

（3）若点P是直线上方抛物线上一动点（不与2、。重合），过点P作/轴的平行线交直线2C于

点作尸NL8C于点N,请在x轴上找到一点°,使△尸0c的周长最小

第8页（共30页）

2024年山东省泰安市新泰市中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出

来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（4分）下列各数中最小的数是（）

A.-TTB.-3C.-V5D.0

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得

-TT<-3<-V5<4,

...各数中最小的数是-TT.

故选：A.

2.（4分）下列运算结果正确的是（）

A.a2+a4=a6B.（-ab2）-a3b6

C.（2。-36）2=4/-9庐D.（4/+2a）^2a=2a2

【解答】解：/、片与04不是同类项，所以原计算错误；

B、（-砧8）3=-f序，原计算正确，故符合题意；

。、（2a-36）5—4a2-12ab+3b2,原计算错误，故不符合题意；

D、（4.6+2a）4-2a=8<2+1,原计算错误；

故选：B.

【解答】解：/、是轴对称图形而不是中心对称图形;

B,既是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，故本选项不合题意；

第9页（共30页）

。、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：A.

4.（4分）如图，直线a〃从△48C的顶点C在直线6上，交/C于点尸，若/1=150°,则/2的度数

是（）

【解答】解：过2作直线c〃直线a,直线c交/C于点D,

VZ1=15O°,

：.ZABD=3Q°,

,：/4BC=48°,

：.ZCBD=]S°,

:直线a〃4

直线6〃c,

.,./5=NC3r>=18°,

故选：A.

5.（4分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示

为（）

A.7X09B.7X10-8C.0.7X10-9D.0.7X10-8

【解答】解：数0.000000007用科学记数法表示为7X10-2.

第10页（共30页）

故选：A.

6.（4分）如图，3。是。。的直径，点A,AB=AD，/C交8。于点G.若//GB=114°,则N/DC的

度数为（）

B

【解答】解：是。。的直径,

，4840=90°,

AB=AD)

；.NB=NADB=45°，

：.ZC=ZB=45°,

：/£>GC=//GB=114°，

：.ZBDC=\80°-114°-45°=21°,

：.N4DC=NADB+/BDC=66°，

故选：D.

7.（4分）如图是泰安市2024年3月上旬的每天气温绘成的折线统计图,则下列四个结论:

①3月上旬某天最大温差为9℃；

②3月上旬最高气温的众数是5；

③3月上旬最低气温平均数是2.8℃；

④3月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差.

其中，正确结论的个数是（）

第11页（共30页）

O12345678910期（日）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由图中信息可知，3月1日，5月10日，最大温差不是9℃；

由图中信息可知，3月上旬最高气温的众数是4和7；

3月上旬最低气温平均数是-“X（5+5+2+2+3+7+3+1+7+2）=2.2℃,故③符合题意；

10

由图中信息可知，3月上旬最高气温比最低气温的波动性大，故④不符合题意；

故正确结论的个数是1.

故选：A.

8.（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七

两分之多四两，如果每人分七两，则剩余四两，则还差八两，问有多少人（注：明代当时1斤=16两,

故有“半斤八两”这个成语）.设有x人，银子有y两（）

A（7x=y-4口（7x=y+4

A.1D.J

I9x=y+8[9x=y-8

zz

x写-4x=y+4

C.<D.<

【解答】解：•.•如果每人分七两，则剩余四两，

.\7x=y-4；

・・•如果每人分九两，则还差八两，

3x=y+8.

根据题意可列出方程组[7x=y-6

[9x=y+8

故选：A.

9.（4分）如图，在△NBC中，ZBAC=90°,以NC长为半径作弧交8C于点。，再分别以点C,以大于

•1。的长为半径作弧，作射线/尸交8c于点E,若/C=3,连接贝IJS&IBD=（）

2

第12页（共30页）

552515

【解答】解：由作图过程可知：4万垂直平分C。，

・・・CE=DE,

VZBAC=90°,4B=4,

BC=VAB2+AC5=VS2+82=5'

•：LBC-AE=X,

24

.,.AE=^-,

5

：.BD=BC-2CE=5-

45

:&ABD=Lx^,^=—X—><—=—.

265425

故选：c.

10.（4分）一次函数>=冽x+〃的图象如图所示，则二次函数>=冽/+内的图象可能是（）

第13页（共30页）

【解答】解：由一次函数y=mx+〃的图象可得：m<0,n>0,

所以，二次函数y=mx5+〃x的图象开口向下，对称轴为直线x=-2L.3正确，

2m

故选：B.

11.（4分）如图，正方形/BCD中，E是48上一点，点/的对应点是点F，直线AF与DE交于点、H,

连接8G,下列说法：

①DH=GH；

②N/G3=45。；

③若连接CG,贝ijCG1AG；

④若正方形边长为2,£为的中点，则HG©&.

5

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：根据翻折可知/40月=/即£点4和点尸关于。E对称,

ZAHD=90°.

•:DG是NCDF的平分线，

・•・ZFDG=ZCDG.

・・•四边形43C。是正方形，

ZADC=ZDAE=ZABC=90°,AB=AD,

：.ZHDG=45°,

AZDGH=ZHDG=45°,

：.DH=GH.故①正确；

第14页（共30页）

如图所示，连接3D,

:四边形是正方形，

/.AABD=ZAGD=ZADB=45°,

；./、D、G、3四点共圆，

：.ZAGB=ZADB=45°,故②正确；

如图所示，连接/C,

VZACB=ZAGB=45°,

；./、B、G、。四点共圆，

...//GC=NA8C=90°,

：.CG±AG,故③正确；

:正方形/BCD的边长为2,点£是N3的中点，

•'-AD=AB=2.AE=-|-AB=1,

在RtA4DE中，

由勾股定理得DEWAD3+AE2=Z，

7

SAAnF=T-AD-AE=4-DE-AH7-X6Xl=-^xV5AH-

JR匚/JN0

AH-^-DH=VAD2-AH2

bo

•••哈2媚=粤口故④正确；

，正确的有4个，

故选：D.

12.（4分）如图，矩形48。，AB=2,AD=2«，/为边8C上的动点，BF=2AE,作3"，所于，点,

连接CH.则线段CHr的最小值为（）

第15页（共30页）

A.3B.2C.273-2D.2V6-2

2

【解答】解：延长氏4、交于K,以N为圆心4g长为半径作圆，

:四边形/2C。是矩形，

C.AE//BF,BC=AD=M，

：.△KAEs^KBF,

：.AK；KB=AE：BF,

；BF=2AE,

：.AK=KB,

:.AK=AB=2,

.♦.BK是圆的直径，

■:/BHK=90°,

在圆上，

.•.当/、H、C共线时，最小值为NC-/8,

在Rt^/DC中，由勾股定理得：盘=4024＜：口2=7,

.•.CH的最小值=4-2=5,

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）已知关于x的一元二次方程依2一（4后-1）x+4后-3=0有两个不相等的实数根，则实数人的取

值范围是左＞一1~且左W0

4

第16页（共30页）

【解答】解：•.•一元二次方程自2-（4左-5）x+44-3=2有两个不相等的实数根,

.（k00

’（4k-8）2-4k（7k-3）>o'

解得k>-工且/力0.

4

故答案为：k>-三且%#0.

4

14.（4分）如图，在中，ZACB=90°,以。为圆心，08为半径的圆与相交于点。，且C。

【解答】解：连接。。，则。£>=03,

：.ZODB=ZB,

*：CD=AC,

：.ZCDA=ZA,

VZACB=90°,

/.ZODB+ZCDA=ZB+ZA=90°,

.\ZODC=180°-CZODB+ZCDA）=90°,

：.OD2+CD2=OCS,

\'CD=AC=4,CE=2,

：.OC=OE+3>=OD+2,

:.OD1+41=（or>+2）6,

解得OD=3,

.•.圆。半径的长为3,

故答案为：7.

第17页（共30页）

A

15.（4分）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度C,无人机在空中点尸处，点/处俯角为

60°,楼顶C点处的俯角为30°（点、A,B,C,P在同一平面内），则大楼的高度（C=69.3米.（结

果精确到0.1米，参考数据：73^1.732）.

P

育

【解答】解：如图所示:

P

宫

£□_

口

□口

吕

口

口

口

口B

过尸作PHA.AB于H,过C作CQ1PH于Q,

则四边形C0汨是矩形,

：.QH=BC,BH=CQ,

由题意可得：4P=100米，ZPAH=60°,/2=80米，

：.PH=APsm60°=100X2/1_=5078>AH^APcos6Q°=50（米）,

2

：.CQ=BH=S0-50=30（米），

：.PQ=CQ'ian30°=10愿（米），

：.BC=QH=50如-10西煦心69.3（米）,

第18页（共30页）

，大楼的高度BC约为69.2米.

故答案为:69.3.

16.（4分）如图，已知菱形48CD,连接NC,NC=6,点尸在上，连接昉、DE,则。£+尸£的最小

是菱形ABCD的对角线，

：.BE=DE,

：.DE+FE=BE+FE^BF^BH,

J.DE+FE的最小值是BH的长，

连接AD交/C于点0,

:四边形/BCD是菱形，ZABC=120°,

：.BD±AC,N4B0=/CBO=60°,

：.0B=―=V3>BC=—2/^,

tan60sin60

：.BD=2OB=

•S菱形45CZ）=BC・BH=LC・BD,

2

Q

■fX6X2V3

BH=£-----------------=3,

2V2

：.DE+FE的最小值是3.

故答案为：6.

17.（4分）如图，在矩形/2C。中，以点。为圆心，以点。为圆心，CD长为半径画弧，现从矩形内部随

第19页（共30页）

【解答】解：在矩形48c〃中，CD=CE=1,

••.〃£=、F+]2="

/ADC=/BCD=9Q°,AB=DC=1,

:.AD=BC=近,ZADE=45°,

2

：.S2=^-jrX8-AxiXl=2L-A,

4252

V—45兀•（加）2—兀

3604

...阴影部分的面积为：—-2L+1=1,

8452

矩形48CD的面积为：BCXCD=a，

...改点取自阴影部分的概率为：?=返_,

V64

故答案为：

4

18.(4分)细心观察下面图形，其中S,表示图中第"个三角形的面积，认真分析各式：

0A?=(V1)2+12=2JS1=-OA3=12+(V2)2=3>S2=~

若一个三角形的面积是小，则说明这是第28个三角形.

第20页(共30页)

【解答】解：由S1=YL,S2=近，$3=近……

734

得S尸在，

2

由一个三角形的面积是小，

得=即n=28.

2

故答案为：28.

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

19.(10分)(1)计算：-l2-2sin60°+|1-V3|+VZ-

2

(2)化简：(片1+史3)小三二.

“1x+2)x+2

【解答】解：(1)-l2-2sin60°+|1-V3|+V4-(^-)7

=-1-2X运+我-7+2-4

2

=-7-/3+V3-7+2-4

=-2；

2

(1x+6J-x+3

_[(x-1)(x+2)+x+3].x+2

x+8x+2(x+1)(x-1)

_(J+x-2.x+7)•x+2

x+2x+2(x+2)(x-1)

2

=x+4x+l•x+5

x+2(x+1)(x-1)

=(X+7)2.X+4

x+2(x+1)(x-l)

=x+6

x-1

20.(11分)某校为了解七、八年级学生对泰山文化的了解程度，组织了一次泰山文化知识测试，七、八

年级各抽取10名学生参加比赛（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（分）表示）（出80Wx<

85,B；85Wx<90,C：90Wx<95,D95WxW100）.下面给出了部分信息：

第21页（共30页）

七年级抽取学生八年级抽取学生

测试成绩扇形统计图测试成绩条形统计图

七年级参赛的学生C等级的成绩为：92、92、93、94

八年级参赛的学生。等级的成绩为：95、95、95、97>100

七八年级抽取的学生测试成绩统计表：

班级平均分中位数众数

七年级92a92

八年级9294b

请根据相关信息，回答以下问题：

（1）填空：a=92.5,b=95；

（2）七年级参赛学生成绩扇形图中。等级的圆心角度数是108°；

（3）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是93分，于是小明说：“我在七年级

参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次.”你同意小明的说法吗？并说明理由.

（4）小明和小红各自打算随机选择周日的上午、下午或者晚上去泰山景区游玩.求他们两人中至少有

一人选择晚上游玩的概率.

【解答】解：（1）七年级成绩N等级人数为10X10%=l（人），8等级人数为10X20%=2（人），

所以其成绩第4、6个数分别为92,

则其成绩的中位数（92+93）+2=92.8（分），

八年级成绩中/等级人数为10-（1+2+4）=2（人），

则其成绩中95出现次数最多，

所以八年级成绩的众数6=95分，

故答案为：92.5、93；

（2）七年级参赛学生成绩扇形图中。等级的圆心角度数是360°X（2-10%-20%-40%）=108°,

故答案为：108°；

（3）同意，理由如下：

•••七年级参赛学生成绩的中位数是92.5分，八年级学生成绩的中位数是94分，

第22页（共30页）

••・小明的成绩93分在七年级参赛小队中是前五名，在八年级参赛小队中排名后五名.

，同意小明的说法.

（4）列表如下:

上午下午晚上

上午（上午，上午）（上午，下午）（上午，晚上）

下午（下午，上午）（下午，下午）（下午，晚上）

晚上（晚上，上午）（晚上，下午）（晚上，晚上）

共有9种等可能的结果.由表格可知，晚上），晚上），上午），下午），晚上），

...他们两人中至少有一人选择晚上游玩的概率为5.

9

21.（11分）如图，一次函数y=ax+6（aWO）的图象与反比例函数>=区（左WO）,B,且该一次函数的图

x

象与y轴正半轴交于点C,过/,垂足分别为E,D,且&BOD=2.已知/AE=4BD.

（1）填空：n=4；k=4；

（2）求3点的坐标和一次函数的解析式；

（3）将直线N3向下平移〃？（%>0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点

2

・•・左=4,

...反比例函数解析式为：夕=生

X

・・•点4在反比例函数图象上，

；.6=国

n

第23页（共30页）

・"=4,

故答案为：7,4；

(2)・・•点/(4,4),

；・4E=4,

9：AE=4BD,

：.BD=1,

...点8横坐标为1,

..•点2在反比例函数图象上，

:.点B(1,5),

■:一次函数y=ax+b(aWO)的图象过点/，点2,

.(4=k+b

l6=4k+b

•••解得产-1

lb=5

，解析式为：y=-x+5

(3)设直线48向下平移后的解析式为y=-x+5-7”，

(_7

联立：yX

y=-x+5-iR

可得：/+Cm-8)x+4=0,

:一次函数与反比例函数图象有唯一交点，

(m-5)2-16=0,

7〃=7或1.

22.(10分)2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大

脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品.在前期询价时，钢笔的价格比自动铅笔贵60%,

且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支.

(1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？

(2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%,而钢笔则按

之前询问价格的9折出售.若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，则学校最多购买了多少支钢笔

作为奖品？

【解答】解：(1)设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为(1+60%)x元，

根据题意得：些=,240+io,

x(1+60%)x

第24页(共30页)

解得：x=2,

经检验，x=5是所列方程的解,

，(1+60%)x=2.6X5=8,

答：前期电话询问时钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元；

(2)设学校购买了y支钢笔作为奖品，则购买了(200-y)支自动铅笔，

根据题意得：2X(1+20%)(200-y)+8X7.9^1308,

解得：yW90,

答：学校最多购买了90支钢笔作为奖品.

23.(11分)如图1,在正方形/8CZ)中，E为对角线NC上一点(AE>CE),DE.

(1)求证：BE=DE；

(2)如图2,过点E作成U/C交8c于点尸，延长3C至点G,连接。G.证明DG=J5BE-

图1图2

【解答】(1)证明：：四边形/BCD是正方形,

：.BA=DA,ZBAE=ZDAE,

在和△£>/£中，

，AB=AD

<ZBAE=ZDAE,

LAE=AE

:.LBAE出ADAE(SAS),

图1图2

第25页(共30页)

(2)解：连接EG,

VZFCE=45°,NFEC=90°,

:・/CFE=NECF=45°,

:・EF=EC,/BFE=/GCE,

又•：BF=CG,

：.ABFE^AGCE(SAS),

:・BE=GE,/BEF=/GEC,

由(1)AEAB义AEAD,

：.BE=DE,/AEB=NAED,

：・DE=GE,

VZAEB+ZBEF=90°,

AZAED^ZGEC=90°,

:・NDEG=90°,

：.DE2+EG2=DG5,

：.2DE2=DG5,

•1•DG=V2BE.

24.(11分)已知：如图，在菱形48。中，点£是边DC上的任意一点(不与点。、。重合)，过点£作

EG〃BC交BD于点、G.

(1)问题探究：求证：DF2=FG'BF；

(2)迁移运用：当/E_LDC时，求证：BD・DF=2AD,DE.

【解答】证明：(1)•.•四边形/BCD是菱形,

C.ED//AB,AD//BC,

AEFDsAAFB,

•DF_EF

"BF"AF'

,JEG//BC,AD//BC,

：.EG//AD,

第26页（共30页）

AEFGsdAFD,

•••FG=EF,

DFAF

•••DF~FG,

BFDF

:.DF2=FG-BF；

(2)连接/C交8。于点，，则如图所示,

：.BD=2DH,

'JAELDC,

:./DEF=NDHC=90°,

:ZFDE=ZCDH,

：.