初中数学+++角的平分线的性质+课件+人教版数学八年级上册+

12.3角平分线的性质

学习目标：

1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．

2．探索并证明角的平分线的性质．3．能用角的平分线的性质解决简单问题．

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线1、角平分线的定义：回顾旧知：AOBC下图中能表示点P到直线L的距离的是线段垂线段的长度，叫做点到直线的距离

2、从直线外一点到这条直线的PC

的长度问题在纸上画一个角，怎样得到这个角的平分线？

用量角器度量，也可用折纸的方法．情景导入追问2如图是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线。你能说明它的道理吗？ADBCE追问3

借鉴角平分仪的原理，你能用直尺和圆规作一个角的平分线吗在△ABC和△ADC中AB=ADBC=DCAC=AC（公共边）∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠CAB=∠CAD（全等三角形的对应角相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）③画射线OC①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，OB于点NOAB已知:∠AOB求作∠AOB的平分线②

分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C探究活动一射线OC即为所求。3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等A练课本50页第1题（1）在探究活动一中我们作出∠AOB的平分线OC，请在OC上任取一点P，过点P向两边画垂线段PD、PE，垂足为点D、E（2）量得PD长为

PE长为发现PD

PE

探究活动二OAB求证角的平分线上的点到角的两边的距离相等这是个用文字描述的几何命题，得先搞清楚“题设”和“结论”，然后画出图形，把命题转化为用符号表示的形式.题设：角的平分线上一点到角的两边的距离结论：距离相等命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等证明：∵OC是∠AOB的角平分线

∴∠AOC=∠BOC∵PE⊥OA，PF⊥OB∴∠PEO=∠PFO=90°在△EOP和△FOP中∠AOC=∠BOC

∠PEO=∠PFOOP=OP∴△EOP≌△FOP（AAS)∴PE=PF

已知：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，OABEFPCPE⊥OA,PF⊥OB求证：PE=PF角的平分线上的点到角的两边的距离相等性质几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE推理的理由有“一角平分，两垂直”，共三个条件，必须写完全，不能少了任何一个。角的平分线的性质定理的作用是什么？

主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方

法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．明确命题中的题设和结论;根据题意，画出图形,写出已知和求证;经过分析，写出证明过程.123由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？例1(1)下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形()中一定有PD＝PE.解决简单问题

（2）如图，∵点P

在OC

上，

PD⊥OA于D，PE⊥OB于点E，∴PD

=PE．ABOPCDE（×）判断：解决简单问题

1、如图，OC

平分∠AOB，点P

在OC上，PD⊥OA，垂足为D．若PD

=3，则点P

到OB

的距离为

．ABOPCD练习E例题如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：BE=CF.AD平分∠BACDE⊥AB，DF⊥ACBD=CDDE=DFRt△DBE≌Rt△DCFBE=CF分析证明：∵AD是∠BAC的平分线，

DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°在Rt△DBE和Rt△DCF中

DE=DF

BD=CD∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴BE=CF如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：BE=CF.例1ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.D（3）求∆PDB的周长.由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，=典例精析例

已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE

≌Rt△CDF.4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？

在应用这一性质时要注意哪些问题？

课堂小结角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一角平分：角平分线上的点；二垂直：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向一边或两边作垂线段ABCNMPDEF证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=