2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷（附答案解析）

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合A={x『og3（尤+2）＞1},2={4《x-2）＜0},则A低3）等于（）

A.0B.(0,1)C.(1,2)D.[2,-HM)

2.已知复数z满足（z-D（l-2i）=5i,则复数1在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a=（m,l）,b=（;n,-l）,若3a-6与6垂直，则卜|等于（）

A.72B.73C.3D.6

4.已知数列{4}满足弓=2,则“{4}为等比数歹『'是"%,・%=4+“（\7加，〃€河）”的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

5.在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知

道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15,10,由此估计样本的方差不可

熊为（）

A.11B.13C.15D.17

6.若sin（a-夕）+cos（a-尸）=20sin]a-：jsin尸，则（）

A.tan（a-/7）=-lB.tan（a-尸）=1C.tan（6z+/?）=-lD.tan（＜z+0=l

7.如图，假定两点P,。以相同的初速度运动.点。沿直线CD做匀速运动，CQ=x；点P沿线段A8

（长度为IO,单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y）.令P与。同时分别

从A,C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是

77

y=10j1°（e=2.71828L）,当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）.

R

34

A.In2B.In3C.In-D.ln-

23

22

8.设双曲线C：=-与=1（fl＞0,b＞0）的左焦点为尸，过坐标原点的直线与C交于A,3两点,

ab

1

|AB|=2V7a,=120°,则C的离心率为()

A.V2B.73C.75D.々

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=」一+二一,贝U()

sinxcosx

A./(x)的最小正周期为7=兀B.“X)的图象关于(兀,0)对称

C.“X)在上单调递减D.当口时，/(%)>272

10.已知A,B,C是一个随机试验中的三个事件，且0〈尸(A)<1,0<P(B)<l,下列说法正确的是

()

A.若A与B互斥,则可与石不相互独立

B.若A与8相互独立，则A与B不互斥

C.若尸(A怛)•尸(叫A)=尸(AB),且P(AB)w。，则A与3相互独立

D.若尸(ABC)=P(A)・P(B)・P(C),则A,B,C两两独立

11.已知正方体的棱长为1,点p满足APu/lAD+4M,其中&eR,〃eR,则()

A.当4=〃时，则GP+尸。的最小值为后二^

B.过点尸在平面AOAA内一定可以作无数条直线与C尸垂直

C.若G尸与AD所成的角为;，则点P的轨迹为双曲线

D.当4=1,0』时，正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为]坐，忘

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若(2x—

展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x的系数为.

13.已知圆G：x2+y2=2和圆C2：(x_3)2+(y-4)2=16,过圆C2上一动点尸作圆C2的切线，交圆G

于A,8两点，当，AOB(点。为坐标原点)面积最大时，满足条件的切线方程为.(写出一条即可)

14.已知函数/(x)=(x—2)e*+lnx,g(x)=ax+b,对任意ae(-oo,l],存在xe(0,l)使得不等式

/(x)Zg(x)成立，则满足条件的》的最大整数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.在直角坐标平面内有线段44，已知点4是线段44上靠近4的三等分点，点人4是线段44上靠

近4的三等分点，……，点4M是线段4-4(n>2,〃wN*)上靠近4的三等分点，设点4的横坐

标为%.

(1)求证：数列｛。用-q｝为等比数列；

⑵若q=l,a2=5,求｛。“｝的通项公式.

16.在四棱锥P—ABCD中，ABLAD,AB//DC,AD=DC=^AB=2,尸C=2应，E、尸分别为直线

DC,DP上的动点.

P

(1)若异面直线AD与PC所成的角为45。，判断尸3与AD是否具有垂直关系并说明理由；

⑵若PB=PA=20,EF//PC,求直线AC与平面所成角的最大值.

17.将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒(一种具有随机属性的玩具盒子)，现从中

不愁㈣取球.

(1)若每次取一个球，求：

(i)前两次均取到红球的概率；

(ii)第2次取到红球的概率；

(2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：

(i)另一个也为红球的概率；

(ii)若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出

发，你是选择换还是不换？试说明理由.

18.在平面直角坐标系xOy中，已知点4(1,0),4-60),g(石,0),P为动点，满足归£日产周=2.

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵已知过点7(3,-1)的直线/与曲线C交于两点M,N,连接A",AN.

(i)记直线AM,AN的斜率分别为％,k2,求证：2左他+勺+网为定值；

(ii)直线AM,AN与直线y=-；x分别交于3,C两点，求忸。的最小值.

19.莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用〃(〃)作为莫比乌斯

函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数〃都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形

式：〃=p；pf…P2(左为〃的质因数个数，P,为质数，户1,，=1,2,…,左)，例如：60=22x3x5,

3

对应k=3,0=2,〃2=3,〃3=5,{=2,马=1,4=1.现对任意〃EN*,定义莫比乌斯函数

l,n=l

1）,石=4"=L

0,存在位＞1

⑴求M68）,〃（985）；

（2）已知心1,记〃=（左为”的质因数个数，P,为质数，样1,i=l,2,…水）的所有因数从

小到大依次为外,出，…，am-

（i）证明：|〃（1）|+|〃（。2）|+…+|〃（4）卜2、

（ii）求巫）+巫）+…+曲J的值（用心（i=l,2,…水）表示）.

4%am

1.D

【分析】首先解对数不等式求出集合A,解一元二次不等式求出集合8,再根据补集、交集的定义计算

可得.

【详解】由Iog3（x+2）＞1,gpiog3（x+2）＞log33,即x+2＞3,解得尤＞1,

所以A={x|log3（x+2）＞1}={x|x＞1）,

由x（x-2）＜0,解得0＜x＜2,所以B={xk（x-2）＜0}={x|0＜尤＜2},

所以3B=（-W,0]U[2,4W）,

则A(4孙=［2,y).

故选：D

2.C

【分析】由复数的除法运算可得z=-l+i,再由共朝复数可知问题的结果.

［详解］由(z_l)(l_2i)=5i得：z—l=怎5i(l+2i)5i-10

(l-2i)(l+2i)-5

即z=-L+i,所以三=故复数』在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C.

3.B

【分析】根据3a-6与6垂直，可得（3a-46=0,即可求出加，再根据模的坐标公式即可得解.

【详解】3a-Z＞=（2m,4）,

4

因为3a-6与b垂直，

所以（3a-今6=2病-4=0,解得病=2,

所以卜|=y/m2+1=A/3.

故选：B.

4.B

【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若｛«„｝为等比数列，则«„=2/1,

所以%。=24Tx2产=4/+"-2,小=2qET,

当/2时见,故充分性不成立;

若4,4=a*”(Vm,neN*),不妨令m=l,贝!]%•%=%+“，又％=2,

所以2%="用，即&"=2,所以｛4｝为公比为2的等比数列，故必要性成立；

an

故"｛%｝为等比数列”是“册9=%.（V加，〃cN*）”的必要不充分条件.

故选：B

5.A

【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为"女生的平均数为亍，总体的平均数为京，方差

为结合方差的公式，分析选项，即可求解.

【详解】设男生体质健康状况的平均数为"女生的平均数为亍，总体的平均数为京，方差为

80-120-2-3-

贝!J卬二------------x+y=—x+—V

80+12080+12055

§2=80口5+或_而2]+12000+丘_菊2]

80+12080+120

2Q——34——6——

=-[15+—(x-y)2]+-[10+—(x-y)2]=12+—(x-y)2>12,

结合选项，可得A项不符合.

故选：A.

6.C

【分析】利用和差角公式展开，即可得到sinacos尸+cosacos/7=sinasin/7-cosasin/7,再两边同除

COS6ZCOS/?,最后结合两角和的正切公式计算可得.

【详解】因为sin(a—/)+cos(a—m=20sin[a—Tsin〃,

所以sin6zcosp—cosasm/3+cosorcos+sincrsin/3=2^2(sinacos:-cosasin：卜in[3,

即sinacos0—cosasin分+cos67cos尸+sinasin尸=2sinasin/3—2cosasin/3f

即sinacosp+cosacos/3=sinasin13—cosasm/3,

5

两边同除cosacos月可得tana+1=tanatan0-tan0,

tana+tan（3

所以tan（a+/?）=

1-tanatan0

故选：C

7.D

in

【分析】易知，它们的初速度相等，故。点的速度为107,然后可以根据＞=1()7d)0,求出P在中点、三

e

等分点时的X,则。点移动的距离可求，结合速度、时间可求.

【详解】解：由题意，P点初始速度107即为。点的速度.

当尸在靠近A点的三等分点时：-X1O7=1O7(-)^-解得：x=10Tn。，

3e2

当尸在中点时:-xl07=107(-)107,解得：x=107ln2,

2e

34

所以经过的时间为：[107(ln2-ln])]+107=lng.

故选：D.

8.B

【分析】设|AF|=X,结合已知条件和双曲线的定义求得忸目，利用余弦定理列方程，解方程求得

由此求得离心率.

【详解】如图，设双曲线C的右焦点为耳，连接A4，BF{.

由双曲线的对称性可得：|AF|=|班AFHBFX,

则四边形Aq月是平行四边形，又因为NAF3=120。，则/E46=60。，

^\AF\=x,由双曲线的定义可得：\BF\=\AF\=2a+x,

在△AFB中，由余弦定理可得：

\ABf=|AF|2+|BF|2-2\AF\-\BF\-COSZAFB

以（2^7°）uf+Qa+x）—2x（2q+x）.（―万），

整理可得：3d+6or-24/=0,解得：x=2a或x=-4。（舍去），

^\\AF\=\B^\=2a,\BF\=\AF^=4a,

在AW中，由余弦定理可得：

22

\FFtf=|AF|+1Af；|-21AF|•||•cosZFAF1

所以Re）?=（2a）2+（4a）2-2.（2a）.（4a）.1,

整理可得：°2=3/,所以e=£=g.

a

6

故选：B.

【分析】由/（X+兀）w/（%）,可判定A不正确；由/（%+兀）=一"％）,可判定B正确；设1=sinx+cosx,

Of

得到了（无）=吉，利用导数求得函数/（X）的单调性和最值，可判定C正确、D正确.

【详解】对于A中，由〃x+7i）=—--+—J_-=-----L所以A不正确;

sin（x+71）cos（x+7T）sinxcosx

对于B中，由/（尤+兀）=＜一一-+—Y_;=一（」一+」一）=一/（尤），

sin（x+7i）cos（x+兀）sinxcosx

可得函数/（X）关于（兀,0）对称，所以B正确;

、t2-l

对于C中，设/=sinx+cosx,可z得sinxcosx=----

2

贝°/（%）=——h—-~sinx+cosx_2t

=g"），

smxcosxsinxcosxt2-1

当）£（一匕0）时,可得％+；£（一1,二）,贝|J/=sinx+cosx=AZ^sin（x+C）e（-l,1）,

24444

2（？-l）-2r2r-2r-2-2,+2）（o

又由g'⑺=———■—

产一1

所以函数g⑺在（-1,1）上单调递减,

又f=0sin（x+2）在xe（_£（））上为单调递增函数，

42

所以由复合函数单调性，可得函数/（X）在xe（-/0）上为单调递减函数，所以C正确;

对于D中，当xe（0,3时，可得x+工©（色,生），贝打=0sin[x+r]e（l,0],

又由g«）＜0,g⑺在（1,拒]为递减函数，

当W）时，即xe（0,f）时，函数f=0sin1+M单调递增；

4424k4J

当抖：6邑当时，即xe（；,g）时，函数"四sin[x+（单调递减，

42442＜4J

由复合函数的单调性，可得函数/（X）在xe（o令单调递减，在了呜1）上单调递增，

7

所以2%）=2五，所以D正确.

故选：BCD.

10.ABC

【分析】由互斥事件和相互独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,若A与B互斥，则A与B不能同时发生，即尸（Afi）=0,

因为Nc看表示A与8都不发生，则Nc豆的对立事件为A与8至少有一个发生，

所以尸（Zc电=l-P（AcB）,

而P（A＜JB）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）,

所以尸（Zc耳）=1-尸⑷-尸⑻,

因为尸（孙尸（可=口-尸（人）］口-尸（3）］=1—尸⑷一尸⑻―尸（A）.尸⑻

所以尸（Zc百）wP（孙P㈤，由此可知，可与否不相互独立，故A正确;

对于B,若A与B相互独立，则尸（AB）=尸（A）•尸（3）,因为0＜尸（A）＜1,0＜P（B）＜l,

所以0（尸（A）•尸（3）＜1,贝|尸（AB）wO,所以A与B不互斥，故B正确；

对于C若尸（A⑻尸（叫勾=尸（AB）,

因为尸（A忸”（叫力=干胃.需LPG㈣，

因为尸（AB）wO,则有P（AB）=P（A）•尸（3）,所以A与8相互独立，故C正确;

对于D,抛掷一枚质地均均的骰子，事件A表示出现点数为1,3,4,

事件8表示出现点数L5,6,事件C表示出现点数L2,3,5,

事件ABC表示出现点数为1,尸（ABC）=，，

满足尸（ABC）=P（A）・尸⑻•尸（C）,

事件表示出现点数为1,P（AB）=J,

O

133

但尸（A5）=%wP（A）•尸（5）=zx%

4

则A,5不相互独立，故D错误.

故选：ABC.

11.ACD

8

【分析】对A,将平面AR。展开到与RA3G同一平面，由两点间线段最短得解；对B,当尸在2时,

过尸点只能作一条直线与CP垂直，可判断；对CD,以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P

坐标，利用向量的坐标运算即可判断.

【详解】对于A,当彳=〃时，AP=^AD+AA^=XADx,

所以点尸在线段AR上，

如图，将三角形AD.D与矩形1ABCi沿CD,展成平面图形如下所示，

则线段DQ即为QP+PD的最小值,

i—

237r

利用余弦定理可知QD=QD；+DD；-2C1D1-DD1-cos—=2+72,

所以cp=h+6，即cz+尸口的最小值为也+0，故A正确;

对于B,当尸在2时，过点尸在平面A。2A内只可以作一条直线与CP垂直，故B错误;

对于C,以。为原点，分别以ZM,DC,OR为无轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),£(0,1,1),A(l,0,0),2(1,1,0),P(x,0,z),得QP=(x,-1,z—1),AD=(-1,0,0),

囱fa

厂诃网一行:

整理得f-(z-l)2=l,为双曲线方程，故C正确.

对于D,当;1=1时，AP=AD+〃AAin£»P=〃A4i,故点尸在线段上运动,

正方体经过点A、尸、G的截面为平行四边形A尸GH,

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

9

则a（i,o,。）,q（0,1,1）,A（I，。1），尸（0,0,4），

所以尸£=（0,1,1-〃），AQ=（-1,1,1）,PG-Ag=2-〃，

pq=Ji+（i一〃）2,|AC|=A/3,

所以点P到直线AG的距离为1=

于是当〃=；时41M=走，PAG的面积取最小值，此时截面面积为变x^=逅；

2222

当〃=0或1时4Mx=,，PAC1的面积取最大值，此时截面面积为9、出=夜，

所以正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为］乎，应，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉

及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹（定义），要么

通过计算（建系）求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有

四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.

12.280

【分析】先由二项式系数和为128,求出〃，再求出［工-9］展开式的通项，令7-1厂=1,即可得出

答案.

【详解】hx-4=］展开式的二项式系数之和为2"=128,解得：n=7,

r/\r7---V

I展开式的通项为：&|=G（2XT7r

所以卜一2=C；-2-(-l)%2

3.

令7-]r=1,解得：r=4,

所以展开式中x的系数为：C:23（-1）4=35x8=280.

故答案为：280.

10

35725

13.x=-l^y=--x+-^y=--x---(写出一条即可)

442424

【分析】由圆的弦长公式求出45=2亚=F，再利用三角形面积公式求出面积最大时的d=l，然后由

圆心到直线AB的距离分别等于半径列方程组，解出即可.

【详解】

设圆C1的圆心0(0,0),半径「后；圆C?的圆心G(3,4),半径4=4；

设。到直线AB的距离为d,则4?=2,2-/,Q＜d＜也,

14222

贝JSAOB=^AB-d=d^2-d-=yj-d+2,d=(^-1)+1,

所以当d=l时，A08的面积最大，

当直线4B的斜率不存在时，x=-1满足题意，

当直线A8的斜率存在时，设AB：y=kx+m,

同

①

则由题意可得

3^+m-4|

V?TT

化简可得|3左+加一4|二|4两,

即3左一3〃z=4或3左+5m=4,

I」k=i

代入①可解得，,4或＜

25

m=—m=---

I4

所以满足条件的切线方程为x=T或y=-3+］5或y7■尤-。三5，

442424

故答案为：*=一1或丁=一3=工+】5或＞=三7尤一§25.(写出一条即可)

442424

14.-4

【分析】依题意存在xe(O,l)使得(x-2)e，+lnxNx+6,参变分离可得(x—2声+lnx—xM,令

F(x)=(x-2)e"+lnx-x,xe(0,l),利用导数说明函数的单调性，求出尸⑴而,则bWP(x)1mx,即可

求出6的最大整数.

11

【详解】依题意对任意a£(-℃」］,>x>OWg(x)=ax+b<x+b,

因为存在xG(0,1)使得不等式“X”g(%)成立,

所以存在无£(0,1)使得(％-2)e"+\nx>x+b,即(x-2)ex+lnx-x>Z?,

令产(x)=(x-2)e"+lnx-x,(0,1),

则/(x)=(x-l)e'+：-l=(x-l)卜一J,

令m(x)=e*-Lxe(O,I),则见x)在(0,1)上单调递增,

<m(l)=e-l>0,mQ^|=eI-2<0,

所以玉使得相(%o)=e"，，=。，即e&=，，x0=-lnx0,

所以当0<%<%0时/(x)>0，当％o<%<1时方'(x)<0，

所以厂(%)在(0,%。)上单调递增，在(%。,1)上单调递减,

x-2(1'

所以b(x)max=产(%。)=(%—2)e"+ln%—/=」----2X0=1-2X0+—,

%o\xoJ

因为所以毛+Je(2,3),

(1、

所以凡无心=尸1)=1一2x0+-e(-4,-3),

kx0J

依题意6WF(x)1mx,又b为整数，所以6W-4,所以》的最大值为-4.

故答案为：—4

【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为存在xe(O,l)使得(x-2)e'+lnx2x+b,即

15.(1)证明见解析

⑵…+［』

【分析】(1)根据题意得册+「“”=2进而证得""「"向=-；,即可证得数列｛%+「4｝是等比数歹！J；

aaaa3

n+l-n+2n+l-n

2

(2)根据题意，求得出-％=4,求得““一4_=4［一gj2,结合累加法，得至|J〃22时，an=4+(-^\,

12

进而求得数列的通项公式.

【详解】⑴解：由题意得=2所以3«„=2«„+a,可得3G„-3a=a-a,

aa+2+1n+2n+inn+x

n+\~n+2

1

又由%—qW。，所以——^=--

aa

n+l-„3

所以数列｛〃「4｝是首项为%-%，公比为一;的等比数列.

(2)解：因为6=1,%=5,所以%—%=4,

因为数列是公比为一;的等比数列,所以〃22时,

由累加法可得“22时,

经检验,4=1满足上式，所以数列｛〃,｝的通项公式为=4+

16.(1)答案见解析，理由见解析

(2)60°

【分析】(1)取A8的中点G,连接CG,PG,即可说明CG〃4D,则/PCG(或其补角)为异面直线

AD与PC所成的角，分NPCG=45。和/PCG=135。两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可;

(2)以G为坐标原点建立空间直角坐标系，设E«,2,0),求出平面BEF的法向量，利用空间向量法求

出线面角的正弦值，即可求出线面角的最大值.

【详解】(1)取的中点G,连接CG,PG,

因为AB〃DC,AD=DC=-AB=2,所以AG=OC且AG〃DC,

2

所以四边形AGCD为平行四边形，

所以CG〃AD,所以/PCG(或其补角)为异面直线AO与PC所成的角,

①当/PCG=45°时，在,PCG中，PC=2近,CG=2,

由余弦定理可矢口PG=j2?+(2虎『一2x2x2夜x曰=2，

13

所以CG2+PG2=PC2,所以CGLPG,所以ADLPG,

又ABPG=G,AB,PGu平面P4B,

所以AD_L平面24B,又PBu平面R4B,所以AZ）_LPB.

②当/PCG=135。，假设AD_LPB,则由①有"＞_L平面R4B,

因为PGu平面P4B,所以AT＞，PG,CG1PG,

这与/PCG=135。相矛盾，故此时AO与PB不垂直.

综上所述，当/PCG=45。时，ADA.PB；当/PCG=135。时，AD与尸3不垂直.

（2）由PB=PA=20，点G是AB中点，可得PGLAB,

从而由置=；48=2可得依=2,

又GC=AD=2,PC=2。

所以GC?+GP2=8=尸。2,即尸G_LGC,

因为AD2AB,由（1）有GC//AD,

所以GBLGC,

所以G3,GC,G尸两两互相垂直，

故可以G为坐标原点，GB,GC,GP分别为x轴，,轴，z轴建立空间直角坐标系.

故4（-2,0,0）,5（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,AC=（2,2,0）.

n-BE=0,

因为EFI/PC,设平面班户的法向量为〃=（x,y,z）,则有V

n-PC=0,

设E（r,2,o）,则成=（/一2,2,0）,又PC=（O,2,-2）,所以有＜

令x=2,则y=z=2一,故平面BEF的一个法向量为〃=（2,2-f,2T）,

AC.77

设直线AC与平面3跖所成的角为，，则Sine=cosAC,〃=

,।AC,"

（

”4]_"4f

25,2产-8f+122,产-4/+62t2-4t+6

令r-4=s,贝！lsine=，M,s2

2V2+45+6

当s=0时，sin8=0；

14

11

当SHO时,

(当且仅当s=—3,f=l时取“=").又0”又V90°,所以0°46V60°.

综上所述，直线AC与平面BEF所成角的最大值为60。.

12

17.(1)(i)—।(ii)y

(2)(i)|；(ii)选择交换，理由见解析

【分析】(1)不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：P(A5)=P(A)P(B|A),第2次

取到红球可由两互斥事件计算得到，即尸(4)=尸(44)+尸(片人)；

(2)条件概率公式:尸(B|A)=尸(“'),其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可

P(A)

求出结果，对于是否交换，只需要比较两种情形的概率就可以得到判断.

【详解】(1)记事件A,(i=l,2,3,4,5)为第i次取到红球，事件(7=1,2,3,4,5)为第i次取到白球.

o11

(i)前两次均取到红球即为事件A4,P(A4)=^(A)^(A|4)=^X-=—.

(ii)尸(4)=尸(A4+44)=P(A4)+P(44)=P(44)+P(A|4)尸(4)=历+二'==

(2)(i)事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件为82，

P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=-X-=-)

1

W1

所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率尸=丁4黑工-

77-

1-尸(修制W

(ii)若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为耳=；;

若换：换后取到红球的概率记为£=gxO+：xg=m；

由于£＜乙，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.

18.(l)x2-^=l⑵(i)证明见解析；(ii)晅

431

【分析】(1)由双曲线的定义求解即可；

2

222

(2)(i)设直线脑V：m(x-l)+ny=l,x=l^nT^4(x-l)+8(x-l)-y=0,两式联立,

设左=*,可知*&是方程左2-8成-(8加+4)=0的两根，由根与系数的关系即可得出答案.

15

（五）设直线A"：y=K（x-1）与>=-联立求出台,同理求出％,由此表示出忸q,由基本不等式

求解即可.

【详解】⑴因为|尸耳|一|尸闾|=2<|可段,

所以根据双曲线的定义可知点尸的轨迹为以F?为焦点，实轴长为2的双曲线,

2

由2a=2,c=V5,得。=1,b2=c2-a2=4,所以C的方程为V-21=1.

4

(2)(i)设直线MZV：根(％-1)+羽=1(m2+n20)

因为直线过定点（3,-1）,所以=

-.2

/_?=1变形可得4[(x一1)+1]-/=4,即4(x—1)+8(x-l)-/=0

整理得(8m+4)(%—1)2+8n(x-l)y-y2=0(*)

设左二―贝！！（*）式除以（4—1）8m+4+Snk—k2=0

k=8n

此时左，网是方程左2-8/加-（8机+4）=0的两根，所以2

=-8m-4，

所以2左/a+K+左2=—16冽-8+8〃二一16,得证.

y=k^x-i)

/二一

(ii)设直线AM：y=kl(x-l)f由＜1,可得

y=——xK+l;

22

葭

所以忸。=乎1T7155

H--------------

k,+-313131

22

231一1土四时取等号,故忸。的最小值为运.

当且仅当［左2+g亍，即e=

231

16

【点睛】关键点点睛：设直线AM：y=%(x-l)与y=联立求出乙,同理求出％,由此表示出忸。，

由基本不等式求解即可.

(1V1A(1>

19.⑴〃(68)=0,//(985)=1(2)(i)证明见解析；(ii)1一一1一一…1一一

I△人Pi)IPk)

【分析】(1)由68=22x17,985=197x5,根据所给定义计算可得；

(2)(i)依题意只考虑"，必，…，中的若干个数的乘积构成的因数，从七个质数中任选i«=l,2,…,左)

个数的乘积一共有C：种结果，再由组合数公式计算可得；

(ii)由(i)分析可知，因此w=…式的所有因数除1之外，只考虑A，P2,P&中的若干

个数的乘积构成的因数，即可推导出丑=1-工，最后利用累乘法计算可得.

%Pk

【详解】⑴因为68=22x17,因为2的指数2>1,所以〃(68)=0；

又985=197x5,易知％=2,A=197,p2=5,苒=1,r2=l,

所以〃(985)=(-1)2=1；

(2)(i)%[=1,2,…，㈤的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，〃(a,)=0,