2025高考数学专项复习：常考二级结论及其应用（含答案）

2025高考数学专项常考二级结论

及其应用（含答案）

常考二级结论及其应用

纵观中学数学教材,基本上是由题组成的（除了部分概念的介绍），而高考试题大部分都源于教

材.编教材离不开题，授课离不开题，学数学离不开题，考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过

对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的，不仅如此.试题的表现方式和语言表达也尽可能与

教材保持一致，使考生有一种似曾相识的感觉，所以我们要仔细琢磨*把教材上的题研究到位.结合高

考真题，最终我们独创了“题型+模型”的全新教学法，本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所

体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用，同时对演算结果有精准

的验证作用，以便同学们在解答高考题时做到准确、快捷.

雷结论*~r

1.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:AIB今AnB=AmuB=B^AAC=0OCU

B=/,其中/为全集.

（1）当A=B时，显然成立；

（2）当A基B时，Venn图如图2T所示，结论正确.

2.子集个数的问题：若一个集合A含有EN*）个元素*则集合A的子集有2"个，非空子集有

2"-1个.真子集有2"—1个，非空真子集有2"一2个.

理解:A的子集有2”个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n个元素共有

2"种选择.该结论需要掌握并会灵活应用.

御口设集合A=（（纪，”<,B={Gr,y）|y=3"},则A口8的子集的个数是（）.

v-------'（4IoJ

A.4B.3C.2D.1

变式1已知集合4={Z|x2—3x+2=0GR）={x|OVz<5,NGN），则满足条件A

SB的集合C的个数为（）.

A.lB.2C.3D.4

（例2）已知为集合/的非空子集,且M,N不相等，若N口则MUN=（）.

A.MB.NC.ID.0

变式1设集合A={了|x2-6x+5=0},B={rc|az—1=0},若A「B=B，则由实数a的所有可

能取值组成的集合C为（）.

b-{14}c-{o,i4}D,1044}

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雷结论二

交、并、补(且、或、非)之间的关系(德•摩根定律).

(1)集合形式：匕(AnB)=(C,A)u(C,B),Cf(AuB)=(C,A)n(C；B)；

(2)命题形式：r(pAq)=(rp)V(rq),r(p\Jq)=(rp)八(rg).

(例3)设全集U={a,6,c,d},集合A={a"}={6,c,d},则(C0A)U(C0B)=.

变式1已知全集U=AUB中有机个元素，(CuA)U(CuB)中有”个元素.若AAB非空，则

AAB的元素个数为().

A.mnB.m+C.n一mD.m一n

变式2写出下列命题的否定.

(1)命题力Vq：A=O或B=0；

(2)命题pAq：A=0且B=0.

雷结论三

奇函数的最值性质：已知函数/'(了)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的rceD,都有/■(£)+

/(—7)=0.特别地，若奇函数/(无)在定义域D/上有最值，则户无)mx+yCzOwMO,且若oeDf,

则/(0)=0.

证明：因为/(%)为奇函数，所以VxGD,一力GD,且f(—x)=—/(Z),即f(oc)+/(—x)=0.

若oeD,，令久=0,则有/xo)+/(—o)=o,即f(o)=0.

若奇函数/(之)在D/上有最值，设/(力)max=f(，0)，则/(，0))/(])(%GD),

所以/(—)=—/(£())&一/(£)=/■(—1)(一式GD),即/(N)min=/(—10).

由/(Xo)+/(—Z0)=0,得f(X)max+/(1)min=0.

gHJ设函数一了)=+D,；+匕皿的最大值为M,最小值为租,则M+根=.

变式1已知函数〃了—3x)+1，则4Ig2)+/(lgj=().

A.-1B.0C.1D.2

变式2对于函数/'(久)=Qsimc+6K+C(其中a,。GR,c6Z)，选取a,b,c的一组值计算/'(1)和

f(—1),所得出的正确结果一'定不可能是().

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

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雷结论四

若函数y=/(了)是定义在非空数集D上的单调函数，则存在反函数v=/T(z).特别地,y=ax与

y=logaj;(a〉0且a71)互为反函数，两函数图像在同一直角坐标系内关于直线y=x对称，即

(X0，f(式0))与(/(10)，]0)分别在函数)=/(忆)与反函数1y=fT(%)的图像上.

:例5)设点P在曲线'=9e"上，点Q在曲线y=ln(2工)上，则[PQ]的最小值为().

A.1-ln2B.V2(l-ln2)C.l+ln2D.A/2(1+ln2)

变式1若11满足+2①=5,久2满足2比+21og2(久一1)=5,则11+久2=().

57

A.yB.3C.—D.4

重结论五

函数周期性问题：已知定义在R上的函数/(了)，若对任意的zeR,总存在非零常数T,使得/■(了+

T)=/(_r),则称外了)是周期函数，T为其一个周期.

除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：

(1)如果/(工+a)W0),那么了日)是周期函数，其中的一个周期T=2a;

(2)如果/(z+a)=W0),那么/(了)是周期函数，其中的一个周期T=2a;

J\x)

(3)如果+a)+/(Z)=c(aW0),那么fCx)是周期函数，其中的一个周期T=2a；

(4)如果/■(£)=/(久+。)+/(久一。)(。70),那么了(支)是周期函数，其中的一个周期T=6a.

证明：(1),(2),(3)略.

(4)若/'(1)=/(尤+a)+/(久一a)①

则/(%+a)=/(1+2a)+/(力)②

①+②得，/(久)+/(2+a)=f(oc+□)+/(£—a)+f(oc+2a)+/(久)，

即f(x'—a)f(x+2Q)=0+2。)=一f(x一Q),所以f(x+6a)=/[(£+4a)+2a]=

—+4a)-a]=一f(jr+3d)=一/[(1+Q)+2Q]=/[(%+Q)-a~\=f{x}.

故/(1)是周期函数，其中的一个周期T=6Q._______________________________________________________________

(例6)已知函数/(1)满足"(5)=：,4/(%)/'())=f(x+、)+/(%—、)(1,、GR),

则/'(2015)=.

(log2(1一式)(久&0)

变式1定义在R上的函数—满足/(])=，则/(2017)=

—1)—f(x—2)(%〉0)

().

A.-1B.0C.lD.2

变式2已知定义在R上的函数/(2)满足了。+?)=—/日)，且/(—2)=/(—1)=—1,/(0)=

2,贝I」/(I)+f(2)+/(3)H----F/C2016)+/(2017)=().

A.-2B.—1C.OD.1

・

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雷结论六

复合函数单调性：已知函数y=f[g（x）]是定义在D上的函数，若—与g（x）的单调性相

同，则1y=/[g（z）]在。上是增函数；若/（%）与g（z）的单调性相反，则y=/[g（z）]在。上是减

函数，即“同增异减”.特别地了若/（久）是定义域。上的单调函数，且方程£在。上有解为

%0,贝U/（%0）=%0・,

题可对于定义域为[0,口的连续函数/（了），如果同时满足以下3个条件：

（1）对任意的z€[0,口总有了（了）>0；

（2）/（1）=1；

（3）若久1>0,比2>0,久1+久2&1，都有/（11+22））■（久2）成立.则称函数了（式）为理

想函数.若函数/（./）为理想函数，假定存在.NoG]。，1],使得/（力0）G[0,1],且/[/（1o）]=.No.求

证：f（lo）=1°.

变式1设函数了（久）=/二+4一a（QeR,e为自然对数的底数）.若曲线y=sinj:上存在点（2。,

了。）使得=y.，则。的取值范围是（）.

A.[l,e]B.[eT,l]C.[1,1+e]D.[e-\e+l]

变式2若函数3/=1。80（]2—。7+1）（“〉0且。/1）在（1,2）上为增函数，则实数Q的取值范围是

重结论七

二次函数解析式的三种表达式.

ax2+bx+c（一殳式）

/7\2A_72

二次函数/（了）=•QJC++（aNO,iGR）（顶点式）.

I2a）4a

a（JC一j?i）（JC—久2）（双根式）

二次函数的性质.

>0时，/（了）在（一8,-_b_~

（1）当a上为减函数，在,+上为增函数,

2a_r^J

T

且在X==--一处取得最小值为f-1=4。。—〃，无最大值;

）4（2

<0时"（]）在（-8,-_b_~十8；

（2）当Q上为增函数，在上为减函数,

2a

:处取得最大值为f「「，无最小值；

且在X=

CTa

（3）对称轴为X=1r,若f（工\）=了（久2）,则X1+JC2.

Laa

（4）抛物线y=/（工）与v轴的交点为（0,c）.

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瓯回已知a>0,则小满足关于z的方程型=6的充要条件是().

22

A.3JCGR,--ax-bx---ajco一bx0B.3JCGR?-^-ax-bx<-^-axo一bx0

22

C.V力GR,-ax—bx-^-axo—bx0D.VzgR,-^-ax—bx-^-axo—bx0

变式1若函数/(^?)=(1—J:2)(J:2+(2J7+Z?)的图像关于直线％=—2对称，则f(oc)的最大值

是.

"(1)5(1)Vw(i)

变式2定义min"(x),g(i)]=J"、,.若函数/(久)=久2+方式+5的图像经过两点

(g(无)"(£)〉g(1)

(11,0),(12，。)，且存在整数m，使得m<%i</2<Lm+1成立，则().

A.min[/(m),/(m+1)]<-,f(m+1)]〉:

D.min[/(m)9f(m+1)]D:

C.min[/(m),f(m+1)]I

变式3设max"(%)，g(]))=/':'[，若函数/i(i)=x2+pjc+qQp,qGR)的图

{g久)Wg(1)

像经过不同的两点(a,0),(f,0),且存在整数n，使得"<Q<£V"+1成立，则().

A.max{/i(n),h(n+1)}〉1B.max{A(n),h(n+1)}V1

C.max{A(7?)(/?+1)}>-~~D.max{7i(n),h(n+1)}V-

盟结论八

经典不等式.

(1)对数形式：In(况+1)>—1),当且仅当x=0时取等号；

(2)指数形式：e，>1+1(l6R),当且仅当久=0时取等号.

证明：(1)令/(1)=ln(久+1)一式(久>—1),贝4/'(1)——--r—1=--二.

丁+1力+1

令/'(z)=0,解得％=0./'(%),/(%)随式的变化如表2-1所示.

表21

X(-1,0)0(0,+8)

/'(])十0—

“支)/极大值

所以了(久)在(一1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，且当久=0时，/(支)有最大值为0.

即Vi〉一l,ln(久+1)-x(/1(0)=0,所以ln(jc+1)〉一1)恒成立，当且仅当x=0时

取等号.

(2)令g(z)=e“—x-1(力GR),则g'(z)=e"—1.令/(l)=0,解得％=0.

g'(z),g(z)随z的变化如表2-2所示.

表2-2

(—00,0)0(0,+8)

gS—0+

g(x)极小值

所以g(z)在(一8,0)上为减函数，在(0,十8)上为增函数，且当X=0时g(久)有最小值为0.

即VxGR,e*—x-1>g(0)=0.所以e*x+1(久GR)恒成立，当且仅当x=0时取等号.

・

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国已知函数阿)'&上)-,则的图像大致为(

).

D.

变式1已知函数/(])=—,ZGR.求证：曲线y=f(x)与曲线)+1+1有唯一公共点.

变式2设函数/'(z)=l—求证：当x〉一1时"(%))——

支十1

E0结论九

函数的对称性：已知函数/(JT)是定义在R上的函数.

(1)若/(Q+Z)=/(。一%)恒成立，则y=f(i)的图像关于直线％轴对称，

特别地，若/(Q+Z)=/(Q—Z)恒成立，则y=f(x)的图像关于直线％=a轴对称.

(2)若/(0+式)+/(6—k)=c,则y)的图像关于点中心对称，

特别地，若/(a+久)+/(a—久)=2。恒成立，则y=f{x)的图像关于点(a,6)中心对称.

例10)已知函数/(1)).

图2-2

・

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变式1已知函数V=g（1）的图像由）=sin2式的图像向右平移？（0＜中＜兀）个单位得到，这两

个函数的部分图像如图2-3所示，则cp=.

Jr7T

变式2设函数/（i）=Asin（3久+中）（A,3〜是常数,A＞0,3〉0）.若/'（久）在区间—上具

有单调性,且/用=/0=—W,则巾）的最小正周期为.

霞结论十

三点共线结论：设平面上O,A,B三点不共线，则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在

实数义与月，使得OA+^^'，且/+幺=1.特别地，当P为线段AB的中点时，方=£而+

jOB.

证明：先证必要性.如图2-4所示.因为P,A,B三点共线，所以蠢〃翁,即存在tER，

使得点=e族'，故存一加=1（苏一示），所以中=市+，适一/市=（1-1）市十力笳.

设1-t=/，t=么，则OP=AOA+fiOB，且/+产=1.

再证充分性.若5?=入而十〃诊，且久+幺=1,则。+2）5声=义加十"OB,

即/而一义质=〃而一〃法，也即^AP=ft丽.所以///呢，故A,P,B三点共线.

综上所述，P,A,B三点共线的充要条件1是存在s实数L义与么，使得标=入市+幺话，且;I=1.

A

o

图2-4

彳列n）在AABC中，魂=c,G=b.若点D满足就=2皮，则彷=（）.

变式1若在直线/上存在不同的三点A,B,C,使得关于实数了的方程-0彳+了。河+4=0有解

（点。不在直线上），则此方程的解集为（）.

A.0B.{-1,0}

—1+4^―1--/s-

C.{-1}

，2

变式2已知两个单位向量a,6的夹角为60°,0=伍+（1—的6,若。•。=0,则方=

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胡⑹良善式证辞

结论十i~r前羽=（丽十丽）而+甫）=（胪4书）（。，-丽=犷-犷

Z7T-77

1.若向量小£该不共线，且点P为线段AB的中点，则而'•质=\OP\2-\JA\2=\OP\2-\PB\2=

AB2

IOP|2

2.在矩形ABCD所在平面内，向量|OA|2+|OC|2=|OB|2+|OD|气点O为平面内一点）.

证明：1.如图2-5所示，在△OAB中，因为点P为线段AB的中点，所以前十前=0,故由•OB=

（OP+RA）•（OP+FB）=（QP+FA）•（OF-FA）=|OF|2-1FA|2=|OF|2-1FB|2=

AB

IOP]2

2.如图2-6所示，设矩形ABCD的对角线AC与BD的交点为点P,则点P为AC和BD的中点.

因为由+比=2方,而一反=示，则（/+反）2+（充一工）2=4|OP|2+|CA[2,

即2（15X2+1OC2）=4IOP2+1CA产，所以IOAI2+OC|2=2|OP|2+11".

同理，|布『GD|2=2|OP|2+।*『.又AC|=|ED|,所以|示『十|反『=|『+|说|2.

图2-5图2-6

（例12）在/XABC中，点M是BC的中点,AM=3,BC=10,则瓦再•AC=.

变式1在ZkABC中，设点Po是AB边上一定点，满足FoB=：AB,且对于AB边上任一点P,恒有

FB-FC>F7B-FTC.MC）.

A.ZABC=90°B.ZBAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

变式2点P是棱长为1的正方体ABCD-AIBICIDI的底面4&。为上一点，则前•前的取值

范围是（）.

A.—1,——B.——f——C.[-1,0]D.——（0

变式3已知圆河：了2+6—1）2=1,圆N：/+（y+i）z=1,直线A，/z分别过圆心M,N,且Z1与圆

y2工？

M相交于两点小与圆N相交于C,D两点，点P是椭圆?+至=1上的任意一动点，则

~PA-JB+PC的最小值为.

眄回在平面上，宙，祝，I函|=1血|=1,谶=而+若I和I<9,则1市|的取值

范围是（）.

AJ°<]C.g，HD."

・

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IpA12-1-1PR12

变式1在RtZsABC中，点。是斜边的中点，点P为线段CD的中点，则J——匕*L=().

II

A.2B.4C.5D.10

重结论十二

若数歹4｛<2〃｝为等差数列0(1门—an_x=d(%>2,7?GN*)O(2„+i~an=d(nGN*)=2Q〃+I=an-\-an+2

对任意/GN*恒成立O通项公式为常数，"GN*)为一次型㈡前％项和公式

S〃=An2+Bn(A,B为常数，〃6N*)为二次型㈡数列也为等差数列.

已知争差数列｛〃"，其公差为。，前n项和为S”，求证：］上］也为等差数列.

na

证明：由通项公式an=di+(72—V)d知，其前n项和为Sn='一~=i+"("2一~。=

4%2+(Q]一n(nGN*),所以&=~^n+"1—4①

NINJnZN

当k)2时，-S〃：=〈(n—1)+f(2i—②

式①一式②得，且——■=<(〃>2,/?eN*).所以数列(之)是以为首项，4为公差的

rin-12\n)12

等差数列.

例可已知等差数列｛%｝的前力项和为s“，且满足等一5=1,则数列｛七｝的公差是().

A4B.1C.2D.3

变式1已知等差数列｛明,｝的前〃项和为S“，且Si。=100,S.=10,则S110=

/利用通及公式证明学差数列有心nd十8血

画《生;令•+•左ftn十&=双十(四十n-N)d

"g=勃+2(t-l)o(=四十(.比

当m+n=On=

已知等差数列｛a〃｝的前％项和为S”，等比数列｛。〃｝的前"项积为T”，s"GN*.

Q什生

(1)若机+〃=21，则a+a„=2a,b•b=b2;(2/H)

mtmnt禹频为愿华==-

(2)Szi=(2%—1)・a〃，72"-1=b『；/bnb|Tbzn-l

s『一K

(3)等差数列{a“},{6“)的前〃项和分别为S“，T“，则等

OnT2„-1,T研

(例15)在等差数列｛a.｝中，已知。4+。8=16,则该数列前11项和Su=().

A.58B.88C.143D.176

变式1等差数列｛。〃｝的前n项和为S”.已知—a*=0,S2m-i=38,则m=.

变式2已知两个等差数列｛Q〃｝和也"的前〃项和分别为A”和瓦，且”=eN/),则使

Bwn+3

喷为整数的正整数〃的个数是().

A.2B.3C.4D.5

・

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EB结论十四

已知等比数列｛a*｝,公比为q,前n项和为S〃.

也为等比数列，其公比为工;

（1）数列

q

(2)若q=1,则SnHQ1,且｛Q〃｝同时为等差数列；

(2i(l—q")ai—aqai(21

nnn

(3)若gW1,则S,,•q=A-A-q\X1

1—q1一q1一q1一qI1—q）4%收相为杵

反数

画西已知｛Q"是首项为1的等比数列，S〃是的前〃项和，且9s3=S6,则数列的前5项和

为（）.

A.号或5B.3或531

C「-16

O16

31

变式1在等比数列｛a,J中,公比为q,其前〃项和为S,,.已知S『互，“3Y+—H---+--H---

164(21。2。3。4。5

（例17）等比数列｛七｝的前九项和为S〃，已知对任意的72eN*，点（％,s.）均在函数）=人+

r（b〉0且6K\,b,r为常数）的图像上，求r的值.

变式1已知等比数列｛%｝的前"项和S.二t•5”T—「eN’.则实数I）.

A.4B.5c—D

54

2w+9

变式2设”7?)=3+33+35+37H-------p3(nEN)，则/(%)

与差激列证明Sn=为4%+”4氏1/520f=均+%"“d电

QB结论十「、8一Gn）—。=0%+LQJ十©十”十（瓯—甸

=no（4>"十nd=

"项和为S",前”项乘积为T,尸寓闻

已知数列｛a“｝的后

(1)若｛a1｝为等差数列，公差为d,则S“，Sz”一S"，S3”一Sz“，…，仍为等差数列，公差为n2d；

(2)若｛%｝为等比数列，公比为q,则S〃，S2〃—S.S”—S2〃，…，仍为等比数列（当n为偶数时，

丰一1）,公比为qn;"核心思柢■琳组处理

q

(3)若｛a〃）为等比数列，公比为q,贝UTn,下丝，…，仍为等比数列，公比为q

I,〃

10马=丽2?”温=d心

“+n-/

Tn

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SS

例18设等比数列储“｝的前〃项和为S“.若好=3,则3=（）.

变式1设等比数列｛a0）的前n项和为S“，若S?=3,S4=15,则Ss=（）.

A.31B.32C.63D.64

S1s

变式2设S”是等差数列的前〃项和，若则会=（）.

>8§>16

2证幕吓:既切急切艮贝孤即为国。的切线的定曲即1线上.殴而不求见知

Y4晅线方特,优一叩（阳一加十0-n）（4一n）=£今（欠厂明冬一的+5—n）（XT）=无

7

,、61AMi方程1伙一仇）&$）十仆-n）①-n）=义今库-m）（与一咐十（为一。）［%—n）=尺"

均涉足力程二（&-m）伙一m）十（3—。）0-川=用,、怒直我方您为.

22

1.已知网/。的方程为（尤一m）（y一n）=_R?,点P（a,0）,直线/：（a—m）（JC—加）+（。-n）（y—

僮p-m）依刊十口厂八）*n）

自行江明二丈

（iy若点p在圆。上，则直线/与圆o相切，点p为切点，/为切线.

（2）若点P在圆O夕卜，则直线/与圆。相交，两交点分别为过点P作圆的两切线的切点，/为切点弦

所在的直线.

（3）若点P在圆O内（不是圆心），则直线/与圆。相离，圆心到直线/的距离d满足R2=|OP|-d.

2.过圆或圆锥曲线上一点P（z°,y。）的切线方程.

2

（1）过圆C：（_r-a）?十（>-6）2=R上一点P（xa,y0）的切线方程为

2

（xo-a）（z-a）+（y0-b）Cy—b）=R.

（2）过椭圆彳+誓=1上一点Plzo,'。）的切线方程为"。：+=1.

aba-b-

（3）过抛物线C：y2=2px（pNO）上一点P（£o,yo）的切线方程为yoy=p（x+x（））.

3.已知点M（；ro,yo）,抛物线C：y2=2px（p丰0）和直线I：y（）y=p｛x+z0）.

（1）当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切，其中点M为切点，/为切线.

（2）当点M在抛物线C外时，直线/与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切

线，即直线/为切点弦所在的直线.

（3）当点M在抛物线C内时，直线I与抛物线C相离.

理解：（1）求过圆锥曲线上（或外）一点的切线方程时，可以借助直线与圆锥曲线的位置关系的解题

套路（联立方程.看判别式）.

（2）在求过圆外一点尸包。，》。）的圆的切线方程时，应注意理解如下两点：

①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.___________

®［回过点（3,1）作圆（了一1）?+/=1的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为（）.

A・2%+）­3=0B.21一y一3=0C.一y一3=0D.4i+y-3=0

变式1已知点在圆O：/+/=1夕卜，则直线Q比+by=1与圆O的位置关系是（）.

A.相切B.相交C.相离D.不确定

变式2若椭圆（+4=1的焦点在z轴上，过点作圆i+/=l的切线,切点分别为A,B两

abI2J

点，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.

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高考教学

、临门一脚（含密押三套卷）（理科版）

雷结论十七

■jrV

1.在椭圆E：—+^=lCa>b>Q）中.

z

Q/b

（1）如图2-7所示,若直线WO）与椭圆E交于A,B两点，过A,B两点作椭圆的切线/,

有/〃设其斜率为短，则k-k=--r.

aa

（2）如图2-8所示，若直线y=反与椭圆E交于A,B两点，点P为椭圆上异于A,B的点，若直线

,A2

PA,PB的斜率存在，且分别为M/2,则ki•k=---

2a

（3）如图2-9所示，若直线J/=kx-\-m（k#0且a#0）与椭圆E交于A,