2024-2025学年七年级数学上册 数轴的三种常见考法（北师大版）

专题01数轴的三种常见考法

【知识点精讲】

1.数轴的概念

1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴

2）三要素：

①原点一参考点，正负数分界点；

②方向一一般选取向右为正方向；

③单位长度一同一条数轴上的单位长度应当一致

2.数轴的读数与画法

1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。

2）画数轴步骤：a.直线b.确定原点c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向）d.

选取单位长度（选取适当长度为单位长度,直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，

依次表示1,2,3,...；从原点向左，用类似方法依次表示一1,-2,~3,...）e.标数（用

实心点标数）.

3.数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）

1）数轴上的点并不是都是有理数

2）正方向可以不按照常规方向选取

3）a>0,与原点的距离是a,在数轴上可以是±a（存在多解的情况）

注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向

4.数轴与数的大小

1）正方向上，离原点越远，数越大

2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）

注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。

类型一、利用数轴比较大小

例.已知有理数。，6在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

Il111A

b-10a1

A.a+b>0B.a-b>0C.a-l>0D.Z?+l>0

【答案】B

【详解】解：根据图示知：b<-l<O<a<l,

「.b+lvO,〃+b<0,a-b>0,a-l<0.故选：B.

【点睛】本题考查了数轴的知识以及不等式的基本性质，解题的关键是利用数形结合的思想

得出〃，。与1,-1的大小关系.

【变式训练1】已知a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示,有以下4个结论：@a-b<0；

②-c>a>-b；③a+c>0；（4）abc<0；其中正确的结论的个数有（）个

I_________illa

cQab

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a,b,c的符号，再根据

数轴的位置关系逐一判断即可.

【详解】解：由数轴可知：b>a>O>c,故①a-b<0正确；

②-c>a>0>-6,②正确；

③a+c<0,③错误；

（4）abc<0,④正确；

故正确的结论有3个.

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值的性质及实数如何比较大小，关键在于学生要理解知识并灵活运

用.

【变式训练2】如图，点A、8均在数轴上,且点AB所对应的实数分别为。、6,若。+6>0,

则下列结论一定正确的是（）

BA

----------11----------►

ba

A.ab>0B.a—b>0C.—>0D.b>0

b

【答案】B

【分析】根据a+b>0,可知a,6可能同号，也可能异号，而恒成立，即可求解.

【详解】Sa+b>0,

Sa>-b,即在数轴上，-b在。的左侧，

^\b<0<-b<a^-b<0<b<a,

回a,b可能同号，也可能异号，而恒成立，

国。-6>0一定正确，

故选：B.

【点睛】本题考查了数轴上点的位置及其大小关系，熟练掌握数轴上右边的数总比左边的数

大是解题的关键.

【变式训练3】有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

-------------1_।---------1---------►

b0a

A.a—b<b<a<a+bB.a—b<b<a+b<a

C.b<a+b<a<a—bD.a+b<b<a<a—b

【答案】C

【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出。、b、a-b,。+人的正负，然后再比较出〃、。、

a-b.的大小，最后结合选项进行判断即可.

【详解】解：团bvO<a,a>-b,

^\a-b>0,

^\a-b>b,

团选项A不符合题意；

团Z7<O<Q,a>-b,

团〃一b>0,

^\a-b>b,

团选项B不符合题意；

^\b<Q<a,a>-b,

团a+b>0,

^\b<a+b<a<a—b,

团选项C符合题意；

^\b<0<a,a>—b,

团〃+b>0,

^b<a+b<a<a—b,

回选项D不符合题意.

故选：C.

【点睛】此题考查数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把"数"和"形"结

合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，掌握数形结合的

数学思想是解题的关键.

类型二、基本动点问题

例.在数轴上，把原点记作点。，表示数1的点记作点4对于数轴上任意一点尸（不与点

O,点A重合），将线段PA与线段尸。的长度之比定义为点尸的特征值，记作户，即户=得，

例如：当点尸是线段的中点时，因为尸O=PA,所以户=1.若数轴上的点尸满足OP=2OA,

则P的值是.

OA

A

-2-1012

【答案】；或：

乙2

【分析】首先分类讨论尸的位置，然后根据新定义，直接代值求解即可.

尸2。尸】

［详解］一--------1-------------------L.-4-*

—2—101

因为。尸=2。4,所以尸在2或-2处，所以R9=2,如=3或1

所以”需

.林I-3

故答案为：弓或弓

【点睛】此题考查坐标轴上的动点问题，解题关键是分类讨论可能在的位置.

例2.如图，已知线段AB=24cm,点。为线段AB上一点，且。4:08=1:2.动点尸以lcm/s

的速度，从点。出发，沿方向运动，运动到点B停止；点产出发1s后，点Q以4cm/s

的速度，从点。出发，沿0A方向运动，运动到点A时，停留2s,按原速沿AB方向运动到

点8停止.设尸的运动时间为ts.

I________।_____________________।

A0B

(1)0A=cm,0B=cm；

⑵当。从。向A运动时，若OQ=2OP,求f的值.

⑶当尸0=2cm时，直接写出，的值.

【答案】⑴8；16

(2)r=2

⑶f=《或10或日

【分析】(1)直接按比例求解即可；

(2)根据数量关系列方程即可；

(3)分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可.

【详解】(1)A3=24cm,点。为线段AB上一点，且。4:03=1:2,

1172

那么。4=-AB=-x24=8,O3=-A8=-x24=16.

3333

故答案为：8；16

(2)动点尸以lcm/s的速度，从点。出发，沿0B方向运动，则OP=lx/=/,

点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点0出发，沿0A方向运动，运动到点A时，停

留2s,按原速沿AB方向运动到点2停止，

则。从。到A时，

。从A到。时，OQ=4Q-3).

因为当。从。向A运动时，若。。=2。2，

所以4(…l)=2f,解得f=2.

(3)当则。从。到A时，00=4(1),

PQ=2cm,

.•.可得4"1)+/=2,解得f=g,

。从A到。时，。在「左侧时，OQ=4Q-3).

PQ=2cm,

二.可得4(r—3)+r+2=2«+8),解得/=生，

3

。从A到。时，Q在尸右侧时，OQ=4Q-3).

尸。=2cm,二可得4Q-3)+t+2=2«+2+8),解得t=10.

综上所述：「=?或10或日

【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后找

出等量关系列方程.

【变式训练1】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A,再

向右爬行了2个单位长度到达点B,然后又向左爬行了10个单位长度到达点C.

(1)画出数轴并标出A,B,C三点在数轴上的位置；

(2)写出点A、B、C三点表示的数；

⑶根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单

位长度得到的？

【答案】①见解析

(2)4点表示的数是4、2点表示的数是6、C点表示的数是T

⑶向左爬行4个单位长度

【分析】(1)画出数轴并标出A,B,C三点即可求解；

(2)根据(1)中所画数轴写出即可；

(3)根据正负数在轴上的意义"向右为正，向左为负”来解答.

【详解】(1)如图所示：

CAB

IIIII|[|[|>

-5-4-3-2-101234567

(2)A点表示的数是4、8点表示的数是6、C点表示的数是T；

(3)EIC点坐标是T,

回可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的.

【点睛】本题考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了

数形结合的优点.

【变式训练2】如图，在数轴上点A表示的有理数为T,点2表示的有理数为6,点尸从

点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到2方向运动，当点尸到达点B后立

即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动.设运动时间为M单位：秒).

AP-------►B

-4-3-2-10I23456

(l)f=2时点P表示的有理数为；

⑵求点P是A3的中点时，的值；

⑶请直接写出点尸到点A的距离(用含f的代数式表示)；

⑷请直接写出点尸表示的有理数(用含f的代数式表示).

【答案】(1)0

(2)2.5或7.5

(3)2^(20-20

(4)16-2f

【分析】(1)当t=2时，点P的路程与T的和即为点表示的有理数；

(2)求出A3的长，分两种情况：由A到8方向运动时点P是A3的中点；由8到A方向

运动时点P是A3的中点；

(3)分两种情况：点尸由点A到点B的运动过程中，点P到点A的距离即点P的运动路程；

点尸由点8到点A的运动过程中，点P到点A的距离为2AB与点P运动路程的差；

(4)分两种情况：点P由点A到点8的运动过程中；点P由点8到点A的运动过程中；由

(3)的结果及两点间的距离即可求得点P表示的有理数.

【详解】(1)解：点尸表示的有理数为T+2x2=0；

故答案为：0；

(2)解：AB=6-M)=10,

.•.AP=j?尸=10+2=5,

当由A到2方向运动时，/=5+2=2.5,

当由8到A方向运动时，^=(10+5)4-2=7.5.

综上，点尸是A3的中点时t=2.5或7.5；

(3)解：当点尸由点A到点2的运动过程中，点尸与点A的距离AP的长度为2f；

当点尸由点2到点A的运动过程中，点P与点A的距离为(20-2f)；

(4)解：在点P由点A到点2的运动过程中，点尸表示的有理数是T+2f；

在点尸由点2到点A的返回过程中，点尸表示的有理数是-4+(20-2。=16-2"

【点睛】本题考查了数轴上动点问题，两点间距离，数轴上的点表示有理数等知识，注意数

形结合.

【变式训练3】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2

个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，…依此规律跳下去,

当它跳第20次落下时，落点处离原点的距离是个单位长度.

【答案】10

【分析】数轴上点的移动规律是"左减右加"，依据规律计算即可.

【详解】解：|1-2+3-4+5-6+...+19-20|=|(-l)xio|=10；

故答案为10.

【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是"左加右减"，在学习的

过程中培养数形结合的思维是解题的关键.

类型三、两点之间的距离

例1.在数轴上，到原点的距离等于5个单位长度的点所表示的数是.

【答案】5或-5

【分析】根据数轴上两点间的距离的意义解答即可.

【详解】解：设这个数为心

则|x-0|=5,

解得x=±5.

故答案为：5或-5.

【点睛】本题考查数轴上两点距离的意义，还可以根据相反数的特点解答，即在数轴上到原

点的距离相等的点有两个，这两个点表示的数互为相反数.

【变式训练1】数轴上48两点对应的数分别为-18和-3,尸为数轴上一点，若AP:PB=3:2,

则点P表示的数是.

【答案】-9或27

【分析】分情况讨论，①当点P在线段AB上时，设点P表示的数是x,根据数轴上A、B

两点对应的数分别为-18和-3得PA=X-(-18)=X+18,PB=-3-X,即可得

U+18)：(-3-X)=3：2;②当点P在线段AB延长线上时，设点P表示的数是X,根据数轴上

48两点对应的数分别为-18和-3得PA=X-(-18)=X+18,PB=X+3,即可得

(x+18)：(x+3)=3：2；分别计算并检验，即可得.

【详解】解：①当点P在线段上时，

设点P表示的数是X,

回数轴上A、8两点对应的数分别为-18和-3,

团PA=%—(―18)=%+18,PB=—3—x,

团(1+18)：(—3—九)=3：2

2%+36=—9—3%

5x=-45

x=-9,

经检验，％=-9符合题意；

②当点尸在线段A3延长线上时，

设点尸表示的数是X,

团数轴上A、8两点对应的数分别为-18和-3,

UIPA=x—(—18)=x4-18,PB=x+3,

回(％+18)：(x+3)=3：2

2x+36=3x+9

x=27,

经检验，1=27符合题意；

综上，点尸表示的数是-9或27,

故答案为：-9或27.

【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是分情况讨论，正确计算.

【变式训练2】在数轴上，点A表示的数为-15,点M以每秒3个单位长度的速度从点A出

发沿数轴向右运动经过秒，点加与原点。的距离为6个单位长度.

【答案】3或7

【分析】根据题意可得出点M在-6和6的时候与原点。的距离为6个单位长度，然后利用

路程除以速度即可得出时间.

【详解】点〃与原点。的距离为6个单位长度，点A表示的数为-15.

A/在-6和6的时候与原点0的距离都为6个单位长度•

-6—(―15)=9,6+15=21,

.-.9-3=3,21+3=7,

故答案为：3或7.

【点睛】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点M的位置.

课后训练

1.如图，有理数a,b,c,d在数轴上的对应点分别是A,B,C,D,若b+d=6,则

()

___I________I_________________I_____]a.

DARC

A.b+dB.小于6C.等于6D.大于6

【答案】D

【分析】由6+d=6,A在D的右边，C在2的右边，利用加数与和的关系可知a+c与6的

大小关系.

【详解】解：她在。的右边，C在B的右边，

0a><7,C>b,

Sb+d-6,

0a+c>6.

故选：D.

【点睛】本题考查有理数的混合运算、数轴、有理数的加法，属于中等题型.

2.如图，数轴上A,8两点所表示的数分别是Y和2,C是A3的中点，则点C所表示的数

是（）

AcB

1111

-402

11

A.-1B.1C.-D.——

22

【答案】A

【分析】根据A,8两点所表示的数分别是T和2,利用中点公式求出线段A3的中点所表

示的数即可.

【详解】解：财，2两点所表示的数分别是T和2,

国线段AB的中点所表示的数=；x（-4+2）=-1.

即点C所表示的数是-I.

故选：A.

【点睛】本题考查数轴，熟记中点公式是解题的关键.

3.规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两次行驶的情况表示在如图所示的数轴上，则

遥控小汽车两次运动后的结果是（）

第一次

・・I.■菊二状I・・・r

-54-3-2-I0I2345

A.向东行驶5个单位长度B.向西行驶3个单位长度C,向东行驶2个

单位长度D.向西行驶1个单位长度

【答案】C

【分析】根据图象得最后停在-1的位置，起始位置为-3,然后即可得出结果.

【详解】解：根据图象得最后停在-1的位置，起始位置为-3,

国两次运动后的结果是向东行驶2个单位长度，故选：C.

【点睛】题目主要考查数轴上点的运动，理解题意是解题关键.

8.如图，点A和8表示的数分别为a和b,下列式子中，不正确的是（）

AB

■II

一1ao1b

A.a>—bB.ab<0C.a-2>0D.a+Z?>0

【答案】C

【分析】利用a,b的位置，进而得出：-1<。<0,1<6<2,即可分析得出答案.

【详解】解：如图所示：-l<a<0,1<Z><2,

A、a>-b,正确，不合题意；

B、ab<0,正确，不合题意；

C、a-2<0,故此选项错误，符合题意；

D、a+b>0,正确，不合题意.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键.

4.有理数机、w在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（）

①+②力7>0；③2〃?—〃>0；（4）—n—m>0；（5）—>--

、―一mn

—I-----------1-----1->

n0m

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据数轴判断机与〃与0的大小关系，进而逐一判断即可.

【详解】解：根据数轴可得〃<。<根且时>1小

0m+n<O,n-m<0,即①正确，②错误；

0n<O<m,

02m>n,

02m—n>0,即③正确；

回〃<0〈机且时〉M，

0-n>m>0

0-H-m>O,即④正确；

回一〃>"2>0

即⑤正确；

mn

回①③④⑤正确，正确的个数为4个，

故选：D.

【点睛】本题考查了数轴的应用，解决本题的关键是将冽与w与0的大小关系判断出来.

5.点。，6在数轴上的位置如图，则60,-a+b0

b-0—

【答案】<>

【分析】根据数轴上点的位置判断出a+b与-a+b的正负即可.

【详解】解：根据数轴上点的位置得：b<O<a,且同>同，

则。+6>0,—a+6<0,

故答案为：<;>.

【点睛】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键.

7.如图，把半径为1的圆从数轴上表示-1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到

达点则点A表示的数为.

-1A'

【答案】2TT-I

【分析】由圆的周长为2万，再结合数轴上两点之间的距离可得答案.

【详解】解：团圆的周长为2万，

回点A表示的数为2无-1,

故答案为：231-1

【点睛】本题考查了数轴上的点运动之后所表示的数，数形结合、正确分析题意，是解题的

关键.

8.在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后

在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕

处对应的点所表示的数可能是

X

-