2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)专题13平面解析几何解答题(原卷版+解析)

专题13平面解析几何解答题1．（2021·江苏如皋一中高三月考）已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.（1）若直线又过的左焦点，求的值；（2）若点的坐标为，求证：为定值.2．（2021·江苏海安高级中学高三月考）如图，已知直线与椭圆：交于A，B两点（点A在第一象限），点在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．（1）求点A到椭圆左准线的距离；（2）求证：直线CD的斜率为定值．3．（2021·广东福田一中高三月考）已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．4．（2021·广东龙岗中学高三期中）已知圆：和定点，动点､在圆上.（1）过点作圆的切线，求切线方程；（2）若满足，设直线与直线相交于点.①求证：直线过定点；②试探究和的定量关系.5．（2021·广东中山中学模拟）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，是椭圆上的两个不同点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率之积为，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为（与不重合），若，求的值.6．（2021·广东惠州一中高三月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点.当直线垂直轴时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求内切圆半径的最大值.7．（2021·广东湛江一中高三月考）已知椭圆：的离心率，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.8．（2021·湖南永州一中高三月考）已知离心率为的椭圆：的左顶点及右焦点分别为点、，且.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，是直线上异于的点，且，证明：点在定直线上.9．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知椭圆：的左､右焦点分别为､，点､､分别是椭圆的上､右､左顶点，且，点是的中点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于点､，若的面积是，求直线的方程.10．（2021·湖南长沙一中高三月考）如图，已知F是椭圆C1：的左焦点，A是C1的上顶点，直线AF与C1的另一个交点为B，点C与B关于y轴对称，|FB|＋|FC|＝2，C1的离心率为.（1）求椭圆C1的方程；（2）二次曲线C2：y＝tx2经过P(－1，2)，直线l//AB与C2相交于M，N不同两点，Pl，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.求k1＋k2的值.11．（2021·湖北武汉二中高三期中）如图所示，已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.（1）当直线AB的斜率为1时，求弦长的长；（2）已知为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.（1）求双曲线的标准方程；（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.13．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.14．（2021·福建泉州科技中学高三月考）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当△面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.15．（2021·福建福州三中高三月考）已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．16．（2021·重庆八中高三月考）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.17．（2021·重庆一中高三月考）已知抛物线上有两点，，是坐标原点，是正三角形且边长为.

（1）求抛物线的方程；（2）若正方形的三个顶点，，都在抛物线上（如图），求正方形面积的最小值.18．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）椭圆：右焦点为，且与短轴两端点的连线相互垂直；椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为（其中）的直线过点，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围．专题13平面解析几何解答题1．（2021·江苏如皋一中高三月考）已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.（1）若直线又过的左焦点，求的值；（2）若点的坐标为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由双曲线可得，，所以，所以，设，，，所以直线的方程为，由联立得：，所以，.（2）由题意知直线的斜率存在，不妨设直线，由可得：，所以，，，，.所以为定值.2．（2021·江苏海安高级中学高三月考）如图，已知直线与椭圆：交于A，B两点（点A在第一象限），点在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．（1）求点A到椭圆左准线的距离；（2）求证：直线CD的斜率为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆中，，，所以，故左准线为．由得，因为点A在第一象限，所以．故所求距离为．（2）设，，，，，则，，，又设，，其中，则代入椭圆并整理得，，从而有，①同理可得，，②结合，，两点均在直线上，①－②得，，因为，所以，从而，故．故直线的斜率为定值.3．（2021·广东福田一中高三月考）已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）抛物线的焦点，准线为，因为点到其焦点的距离为2，所以，解得，所以抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，解得，所以，综上，P点坐标为，抛物线的方程为．（2）证明：设直线MN的方程为，，，联立，得，所以，，所以，同理可得，因，所以，所以，所以，即（满足），直线MN的方程为，所以直线MN过定点．4．（2021·广东龙岗中学高三期中）已知圆：和定点，动点､在圆上.（1）过点作圆的切线，求切线方程；（2）若满足，设直线与直线相交于点.①求证：直线过定点；②试探究和的定量关系.【答案】（1）或（2）①证明见解析；②【解析】（1）当过点的直线方程为时，直线与圆不相切，故可设切线方程为，即圆心到直线的距离，整理得解得或，切线方程为或.（2）①由题意可知，直线斜率不为零，可设直线的方程为，其中，，将直线和圆的方程联立，整理得，，由韦达定理得：，由题意知，得代入韦达定理并化简得：所以，的方程为，经过定点.②设的方程为，得，即则5．（2021·广东中山中学模拟）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，是椭圆上的两个不同点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率之积为，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为（与不重合），若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题知，所以，所以椭圆方程为，代入点得，解得，所以椭圆方程为；（2）设，由得，由得，所以，又点在椭圆上，所以，即，由是椭圆上得--①又因为直线的斜率之积为，所以，即--②把②代入①得，解得或(舍去，因为不重合).6．（2021·广东惠州一中高三月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点.当直线垂直轴时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求内切圆半径的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为1.【解析】（1）由已知条件可设，，由，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去并化简得，由韦达定理得，，那么，所以，而，当且仅当，即时等号成立.又因为，所以内切圆半径的最大值为1.7．（2021·广东湛江一中高三月考）已知椭圆：的离心率，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为椭圆的离心率，所以，即，因为经过点，所以有，即，所以，因此椭圆的标准方程为：；（2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知，该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为：，设所以有，因为，所以或（舍去），即.8．（2021·湖南永州一中高三月考）已知离心率为的椭圆：的左顶点及右焦点分别为点、，且.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，是直线上异于的点，且，证明：点在定直线上.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为椭圆的离心率为，左顶点及右焦点分别为点、，且所以，解得，所以椭圆的方程是；（2）易知过点的直线的斜率存在，设直线方程为，与椭圆方程联立，消去y得：，设，则，因为，所以，整理得，所以，解得，所以点在定直线上.9．（2021·湖南郴州一中高三月考）已知椭圆：的左､右焦点分别为､，点､､分别是椭圆的上､右､左顶点，且，点是的中点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于点､，若的面积是，求直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】（1）由题意知，，则，∵点是的中点，且，∴，∴，，故椭圆方程为.（2）设，，直线：，联立方程组，得，∴，，，∴，∴.∴直线的方程为或，即直线的方程为或.10．（2021·湖南长沙一中高三月考）如图，已知F是椭圆C1：的左焦点，A是C1的上顶点，直线AF与C1的另一个交点为B，点C与B关于y轴对称，|FB|＋|FC|＝2，C1的离心率为.（1）求椭圆C1的方程；（2）二次曲线C2：y＝tx2经过P(－1，2)，直线l//AB与C2相交于M，N不同两点，Pl，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.求k1＋k2的值.【答案】（1）；（2）0．【解析】（1）设椭圆的右焦点为，由于，关于轴对称，∴.∵，∴，∴．∵椭圆离心率为，∴，∴．∴．所以，椭圆的方程为．（2）由（1）得，，∴直线的斜率为．∵，∴可设直线的方程为．∵二次曲线：经过，∴，即二次曲线的方程为．设，．由方程组得．∴，．又，，所以．11．（2021·湖北武汉二中高三期中）如图所示，已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.（1）当直线AB的斜率为1时，求弦长的长；（2）已知为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）设，，.由题意知，点F坐标为，直线AB方程为，联立，得，所以，则.（2）设，，，，其中，显然，由知，且，于是，即，∴，∴，同理，显然，则.设，代入得，则.①若，则，此时，于是，∴，舍去.②若，则，此时，∴，即，∴，∴.由得，即，∴.由，得，∴∴，由知，∴.故.12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.（1）求双曲线的标准方程；（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1），，双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，，不妨取点在上，设点，，，因为，则，可得，则点,，则，，则，所以，双曲线的标准方程为.（2）由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即①，由韦达定理可得，，则，，，，，所以，②，又③，由①②③得：或.13．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，设椭圆的焦距为，∴，解得，，，∴椭圆的方程为：.（2）由题意可设：，∵点在第一象限，∴，设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，∴，，∴，∵，，直线的一般式方程：，∴，，∴，∴，当时，有最大值为.14．（2021·福建泉州科技中学高三月考）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当△面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定值为.【解析】（1）在线段的垂直平分线上，，又在上，，则的轨迹是以为焦点的椭圆，∴，即，，，故的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程消去得，，化简得，∴，当时，取得最大值，此时，又，则，∴，令，则，因此平面内存在两点，使得.当直线的斜率不存在时，设，则，∴，即当取得最大值.此时中点的坐标为，满足方程，即.15．（2021·福建福州三中高三月考）已知点，，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线AC和BD的斜率之比为定值．【解析】（1）设，依题意可得，所以，所以曲线E的方程为．（2）依题意，可设直线l：，，，由，可得，则，，因为直线AC的斜率，直线BD的斜率，因为，所以，所以直线AC和BD的斜率之比为定值．16．（2021·重庆八中高三月考）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左､右焦点分别为，，从发出的一条不与x轴重合的