第16讲直线和圆锥曲线的位置关系（人教A版2019选择性）（原卷版）

第16讲直线和圆锥曲线的位置关系【人教A版2019】·模块一直线与椭圆的位置关系·模块二直线与双曲线的位置关系·模块三直线与抛物线的位置关系·模块四课后作业模块一模块一直线与椭圆的位置关系1．点与椭圆的位置关系(1)点与椭圆的位置关系：(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：点在椭圆外+>1;点在椭圆内+<1;点在椭圆上+=1.2．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：>0直线与椭圆相交有两个公共点;=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;<0直线与椭圆相离无公共点.3．弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.4．“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.设，，代入椭圆方程+=1(a>b>0)，得，①②可得+=0，设线段AB的中点为，当时，有+=0.因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系线段AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.【考点1判断直线与椭圆的位置关系】【例1.1】（2324高二上·山东济南·期中）直线l：2m+1x+m+1y−7m−4=0与椭圆C：xA．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【例1.2】（2324高二上·全国·课后作业）直线y=3x−1与椭圆x24+A．0 B．1C．2 D．无数个【变式1.1】（2324高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆C:x225+y29=1，直线A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式1.2】（2324高二上·内蒙古赤峰·期末）若直线mx−ny=4与⊙O：x2+y2=4没有交点，则过点Pm,n、A．至多为1 B．2 C．1 D．0【考点2椭圆的弦长问题】【例2.1】（2024高二上·江苏·专题练习）设直线l:y=3x+3与椭圆C:x26+y23A．827 B．867 C．【例2.2】（2324高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆x24+y23=1的焦点为F，椭圆上M，NA．23 B．3 C．938【变式2.1】（2324高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆E的中心在原点，焦点为F1(−23,0)，F2(23,0)，且离心率e=32．过点P(2,−1)的直线l与椭圆E相交于A，A．23 B．22 C．25【变式2.2】（2324高二上·福建三明·期中）已知直线l:y=2x+1被椭圆C:x22+y2mA．y=2x−2 B．y=−2x−1C．y=−2x+1 D．y=2x−1【考点3椭圆的“中点弦”问题】【例3.1】（2324高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线x28−y216=1右支上的两点，若线段ABA．x+y−3=0 B．2x+y−3=0 C．x−y+1=0 D．x−2y+3=0【例3.2】（2324高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知椭圆M:x25+y23=1，过点P1,m，斜率为35的直线l与M交于A．1 B．−1 C．12 D．【变式3.1】（2324高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆x216+y29=1A．329 B．89 C．−9【变式3.2】（2324高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线l与椭圆C:x22+y26=1交于M,N两点,且点A．3x−y+2=0 B．3x+y−2=0C．3x−y−2=0 D．3x+y+1=0模块二模块二直线与双曲线的位置关系1．直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线的位置关系：一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.①代入②得.当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.当0，即时，=.>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；<0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件>0x③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件Δ>02．弦长问题①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.④双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.3．“中点弦问题”“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.4．双曲线的第二定义平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.【考点1判断直线与双曲线的位置关系】【例1.1】（2324高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线y=13x−72A．0 B．1 C．2 D．4【例1.2】（2024高二·全国·专题练习）直线y=32x+2A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【变式1.1】（2324高二上·四川成都·期中）已知直线l:y=2x−8，双曲线C:x24A．直线l与双曲线C有且只有一个公共点B．直线l与双曲线C的左支有两个公共点C．直线l与双曲线C的右支有两个公共点D．直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点【变式1.2】（2324高二上·湖北武汉·期中）过点4,33作直线，使它与双曲线x24A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点2双曲线的弦长问题】【例2.1】（2324高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，过其左焦点F(−3,0)A．7 B．8 C．9 D．10【例2.2】（2324高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线2x+y=0交于A，B两点，若AB=215，则该双曲线的方程为（A．y2−x2=25 B．y2【变式2.1】（2324高二上·广东惠州·期末）过双曲线x2−y22=1右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式2.2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线C:y2−x23=1的两个焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线A．94 B．9 C．274【考点3双曲线的“中点弦”问题】【例3.1】（2324高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线x2−y29=1交于A，B两点，线段AB的中点为点A．−49 B．49 C．−【例3.2】（2324高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线x2−y2=1A．1,1 B．(2,3) C．2,1 D．【变式3.1】（2324高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线x28−y216=1上的两点，若线段ABA．x+y−3=0 B．2x+y−3=0 C．x−y+1=0 D．x−2y+3=0【变式3.2】（2324高二上·浙江宁波·期末）过双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)内一点M1,1且斜率为1A．62 B．52 C．3 模块三模块三直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程.①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2．弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).3．抛物线的焦点弦问题抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：标准方程弦长公式y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=2px(p>0)|AB|=p(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=2py(p>0)|AB|=p(y1+y2)4．抛物线的切线过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).【考点1判断直线与抛物线的位置关系】【例1.1】（2324高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程y2=4x，过点P0,2A．0 B．1 C．2 D．3【例1.2】（2324高二上·全国·课后作业）已知直线l与抛物线x2=2pyp>0只有一个公共点，则直线lA．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【变式1.1】（2324高二上·安徽宿州·期末）过点P(0,1)作直线与抛物线y2=−4x相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（A．0 B．1 C．2 D．3【变式1.2】（2324高二下·江西新余·期末）已知直线y=kx−k及抛物线y2=2px(p>0)，则（A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点【考点2抛物线的弦长问题】【例2.1】（2024·四川自贡·二模）已知定点D2,0，直线l：y=kx+2k>0与抛物线y2=4x交于两点A，B，若∠ADB=90°A．4 B．6 C．8 D．10【例2.2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线y2=2pxp>0的一条弦AB恰好以P1,1为中点，弦AB的长是15，则A．1 B．2 C．3 D．4【变式2.1】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点，则ABA．2 B．4 C．6 D．8【变式2.2】（2324高二上·河北衡水·期中）若抛物线x2=2pyp>0的焦点为F，直线l：y=2x+p2与抛物线交于A，B两点，且AFA．4 B．3 C．2 D．3【考点3抛物线的焦点弦问题】【例3.1】（2324高三下·全国·阶段练习）已知F为抛物线C:y2=−3x的焦点，过F的直线y=kx+3与C交于A,B两点，则ABA．2716 B．3916 C．5116【例3.2】（2324高二上·广东珠海·期中）已知抛物线y2=2px，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且AF=2FB，则直线AB的斜率为（A．1 B．2C．22 【变式3.1】（2324高三上·山东烟台·阶段练习）抛物线C:y2=2px(p>0)上存在一点M2,y0，M到抛物线焦点F的距离为3，直线MF交抛物线C于另一点A．52 B．92 C．112【变式3.2】（2324高二上·河北保定·期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π3的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且|AB|=4，则A．1 B．2 C．22 【考点4圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】【例4.1】（2324高三下·全国·阶段练习）已知过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点，当直线l垂直于(1)求抛物线方程；(2)若|AB|=24，O为坐标原点，求△OAB的面积．【例4.2】（2324高二上·四川凉山·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A2,0，过点B−1,0的直线l与椭圆C交于M，N(1)求椭圆C的方程；(2)求△AMN面积的取值范围.【变式4.1】（2324高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1,−1关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−3(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线y=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【变式4.2】（2324高三上·江苏盐城·阶段练习）设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，且顶点到渐近线的距离为263.已知直线l过点0,−1，直线l与双曲线C的左，右两支的交点分别为M,N，直线l与双曲线(1)求双曲线C的方程；(2)求S2【考点5圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】【例5.1】（2324高三上·广西·开学考试）已知椭圆C:x2a(1)求椭圆C的标准方程；(2)O为坐标原点，过点G3,0且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得∠ETO=∠FTG．若存在，求出定点T【例5.2】（2324高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线C：y2(1)过抛物线的焦点，且斜率为3的直线l1交抛物线C于A，B两点，求AB(2)直线l2过点P2,0且与抛物线交于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，这两条切线交于点Q.证明：点【变式5.1】（2324高三上·上海闵行·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，点3,−1在双曲线C上．过(1)求双曲线C的方程；(2)若M−2,0，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB(3)点P−4,2，直线AP交直线x=−2于点Q．设直线QA、QB的斜率分别k1、k2【变式5.2】（2324高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上、下顶点分别是A,B，点(1)求C的标准方程；(2)已知T(0,1)，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点D在定直线上.模块四模块四课后作业一、单选题1．（2324高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆C:x24+y2=1，直线l:x−2y+A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对2．（2324高二上·江苏南京·期末）已知直线l：ax−2y+2a+4=0与双曲线C：x24−yA．2 B．4 C．±2 D．±43．（2324高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线C:y2=2x，过点M(−1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若AF=5A．2 B．32 C．1 D．4．（2324高二上·全国·单元测试）已知椭圆C:x29+y23=1内一点M(1,1),直线l与椭圆C交于A,B两点，且A．−3 B．13 C．3 D．5．（2324高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：x24−y2=1的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若A．0条 B．2条 C．3条 D．4条6．（2324高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，线段AB的长为8，则p的值为（A．12 B．1 C．2 7．（2324高二上·全国·单元测试）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与CA．23 B．22 C．−28．（2324高二上·福建莆田·期末）已知P为椭圆x24+y2=1y≠−1上任一点，过P作圆C:x2A．3 B．22 C．533二、多选题9．（2324高二上·湖南长沙·