2019-2020学年新教材高中数学课时跟踪检测八增长速度的比较新人教B版必修第二册

PAGE1-课时跟踪检测（八）增长速度的比较A级——学考水平达标练1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A．3 B．2C．1 D．4解析：选B由已知得，eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.2．函数f(x)＝x，g(x)＝x2在[0,1]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是()A．m1＝m2 B．m1>m2C．m2>m1 D．m1，m2的大小无法确定解析：选Am1＝eq\f(f1－f0,1－0)＝f(1)－f(0)＝1－0＝1，m2＝eq\f(g1－g0,1－0)＝g(1)－g(0)＝12－0＝1，故m1＝m2.3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：选D法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.4.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有()A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．5.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．解析：因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，所以5min前每当t增加一个单位，相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．答案：②④6．2019年4月5日，某地上午9：20的气温为23.4℃，下午1：30的气温为15.9℃，则在这段时间内气温的平均变化率为__________℃/min.解析：从上午9：20到下午1：30，共250min，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为eq\f(－7.5,250)＝－0.03(℃/min)．答案：－0.037．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x)8．已知一次函数f(x)在区间[－2,6]上的平均变化率为2，且函数图像过点(0,2)，试求该一次函数的表达式．解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．因为函数f(x)的图像过点(0,2)，所以b＝2，即f(x)＝kx＋2.因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f6－f－2,6－－2)＝2，即eq\f(6k＋2－－2k＋2,8)＝2，解得k＝2，所以该一次函数的表达式为f(x)＝2x＋2.9.函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．B级——高考水平高分练1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝eq\f(1,x)中，平均变化率最大的是()A．④ B．③C．② D．①解析：选BΔx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).所以k3＞k2＞k1＞k4.2．(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数表达式为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是()A．前3s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24mB．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12mC．前3s内球的平均速率为8m/sD．在时间[2,3]内球的平均速率为12m/s解析：选ABCD前3s内，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，此时平均速率为eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(24,3)＝8(m/s)，故A、C正确；在时间[2,3]内，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，故平均速率为eq\f(Δh,Δt)＝12(m/s)，所以B、D正确．综上，A、B、C、D都正确．3.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，eq\f(fx3－fx2,x3－x2)，eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．答案：[x3，x4]4.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过几小时后，学生才能回到教室．解：(1)由图像可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t>0.1时，由1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))0.1－a，得a＝0.1，则当t>0.1时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16))).故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))，t>\f(1,10).))(2)由题意可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))<0.25，得t>0.6.故至少经过0.6小时后，学生才能回到教室．5．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x的图像，并比较x＋5与2x的大小．解：根据函数y＝x＋5与y＝2x的图像增长差异得：当x＜3时，x＋5＞2x，当x＝3时，x＋5＝2x，当x＞5时，x＋5＜2x.6．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励