教研教培课件：《几何直观素养的理解与培养》

几何直观素养的理解与培养

“培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”2003年颁布立体几何四大能力关于平面几何的争论一直存在,而且范围很广.我仔细琢磨这个问题,觉得对其进行改造还是可行的,打算用十年改造几何.但是改造的好与不好应该有个标准来评价,标准应该是大家都认可的并且依赖于平面几何的教育价值.平面几何的教育价值何在我以为除了公认的几何证明外,就是培养几何直观能力了！

（2007年发表于《数学通报》）

《平面几何》改造计划

东北师范大学史宁中

现行平面几何教学中的优点是重视演绎体系和演绎证明；缺点是缺少几何直观，知识过于陈旧八个数学核心概念数感符号意识空间观念几何直观数据分析观念运算能力推理能力模型思想2011年颁布数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析六大数学核心素养2017颁布年份与图有关的题目数总题数比例2020212875%2019222879%2018212875%2017222879%2016232882%中考数学（北京卷）与“图形”有关的试题统计提纲一、几何直观的内涵

二、几何直观的价值三、几何直观的培养一、几何直观的内涵直观--数学直观---几何---几何直观

哲学家认为，直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接地把握对象的全貌和对本质的认识心理学家认为，直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力。一、几何直观的内涵感性认识---理性认识---感性认识----理性认识……直观就是未经严格的推理或借助具体对象，而去直接洞察事物本质，发现事物蕴含的一般性关系与规律的一种认识与能力。数学直观是对数学对象及对象关系的一种直观判断，包括代数直观、几何直观、统计直观几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，几何学是有关图形的一门数学分科一、几何直观的内涵

借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知就是几何直观

---著名数学家徐利治几何直观是一种对数学对象及数学对象的关系，能用几何图形和几何语言去表达、思考和解决问题的能力

--北京师范大学钱佩玲

一个人如果能够借助图形来思考问题,便称这个人具有几何直观,这里所说的思考问题包括描述问题、探讨本质、启发思路、预测结果等.

---东北师范大学史宁中一、几何直观的内涵一、几何直观的内涵

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

---《义务教育数学课程标准(2011年版）》问题：生活问题、数学问题、科学问题图形：几何图、坐标系、统计图、表格、示意图、结构图、关系图…….狭义：几何直观就是借助图形的形象关系，来直接感知抽象的数学研究对象及其关系的一种认识与能力(数学）广义：几何直观就是借助图形直观的去描述问题、探讨本质、启发思路、预测结果等（所有学科）一、几何直观的内涵几何：基于视觉的对几何图形及其数量关系、位置关系的直接感知代数：基于几何图形对代数对象关系的直接感知统计：基于几何图形对统计对象及其关系的直接感知一、几何直观的内涵

几何直观与逻辑推理密不可分几何直观不仅是指视觉上看到了什么，更是指通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？联系到了什么？它本质上一种通过图形所展开的想象能力。逻辑推理与几何直观相互交织、彼此关联，直观中有逻辑，逻辑中有直观.没有推理的直观是肤浅的，没有直观的推理是空洞的、难以理解的。二、几何直观的价值人类的一切知识都是从直观开始，从那里进入概念而已理念结束.

---希尔伯特《几何基础》直观是人类获取知识、发现创新的基础数学知识的形成依赖直观，数学知识的确立依赖推理，数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的

---史宁中《数学思想概论》（二）二、几何直观的价值直观帮助学生更容易学懂数学

无论从事数学教学或研究,我是喜欢直观的,学习一条数学定理及其证明,只有当我把定理的直观含义和证法的直观思路弄明白了,我才认为真正懂了.

----徐利治二、几何直观的价值案例1若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间，求字母a的取值范围.

对称轴

图象恒过（0，-4）（4，-4）将问题化繁为简，认识本质二、几何直观的价值案例2

反比例函数参数与图象的关系

二、几何直观的价值借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习中都发挥着重要作用.

----《义务教育数学课程标准（2011年版）直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.

-------《普通高中数学课程标准（2017年版）三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养2m让学生逐步体会画图的益处，养成画图研究问题的习惯若不等式组无解，则m的取值范围是

.

三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养若不等式组无解，则m的取值范围是

.

2m让学生逐步体会画图的益处，养成画图研究问题的习惯三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养若不等式组无解，则m的取值范围是

.

2m让学生逐步体会画图的益处，养成画图研究问题的习惯三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养若不等式组无解，则m的取值范围是

.

2m让学生逐步体会画图的益处，养成画图研究问题的习惯三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养若不等式组无解，则m的取值范围是

.

2m反思：图形在分析问题时起到什么作用？

1.1让学生逐步体会画图的益处，养成画图研究问题的习惯三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养

1.2要舍得在培养学生画图能力上画时间下功夫

在函数图象学习初期，其教学重点不在于技能，而在绘制函数过程中，引导学生体会函数图象的生成过程，解析式、坐标、点、图象的步步转化，数与形之间的内在联系，以及函数的对应变化本质.变换图函数图象学习后期，重点是形成绘制基本初等的技能;并通过观察图象几何特征，研究函数代数性质，深刻理解数变形动，形动数变的关系的对应关系.三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养1.3提高学生画动态图形的能力

循序渐进，从学会绘制基本动图入手4.若A（1，3-t）,B（1，5-t）请画出线段AB1.画点：A（1，t）（-5<t<5）解析几何类2.画线：y=ax2+1（-2<x<2）3.画圆：以点(0,t)为圆心，以2为半径5.过点M(t,0),N(t+2,0)作x轴垂线,分别交抛物线y=ax2+1于A，B两点，记抛物线上A、B间的部分为图形G，画出图形G.三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养

综合几何类

循序渐进，从学会绘制基本动图入手思考：如何画出条件不确定或结论不唯一的变化图形？这样的图是静止的吗？是唯一的？怎样运动变化的？谁引起了图的运动？满足条件的全体图构成了什么图形？为什么会是这个图形？1.3提高学生画动态图形的能力三、几何直观的培养三、几何直观的培养1.注重学生画图能力的培养1.4提高学生尺规作图能力一是了解基本尺规作图之法二是感悟思索作法的一般思维之道三是积累应用尺规作图研究几何问题的基本经验近代著名数学教育家傅种孙（1898-1962）---选自傅种孙著《几何基础研究》--作图篇

作法的思维之道例以定线段AB为弦作一优弧，使优弧上AB弦所对圆周角等于定角

作作AF的垂线作AB的垂直平分线分析作法

作法的思维之道应用尺规作图研究几何问题之“存在性问题”应用尺规作图研究几何问题之“存在性问题”例已知两边及一边对角，能否确定三角形三、几何直观的培养2.多引导学生积累从“数”与“形”从两个角度认识数学的思维经验数形结合是认识数学的基本角度，很多数学对象都具有数与形两方面本质特征，只有从两方面理解内容的含义，才能真正全面的把握内容的数学本质。

数形结合也是研究数学的基本方法，研究数学通常要在数与形之间化归与转化。培养几何直观离不开数形结合，也是为了发展学生数形结合能力。代数几何

配方法解一元二次方程的几何解释配方---化为正方形降次---化二维为一维一次项系数一半的平方---补一个正方形几何角度探索自然数立方和公式

213323331

二次函数的对称性、增减性的认识（形与数）tMNx1x2x3P对称性增减性（a<0）代数特征：

几何特征：平行或等高对称点

几何特征：距对称轴近的点

较高三、几何直观的培养3.引导学生多从连续运动的角度研究数学几何直观的教育价值没有得到很好的落实，原因可能是多方面的，但从课程内容的安排思考，没有统筹地思考、恰当的引入图形运动和图形操作（包括尺规作图）可能是很主要的原因.

---史宁中《数学思想概论（二）》思维是一种安静的力量，这个力量是通过思维活动体现出来的。如果能够让我们研究的对象也活动起来，那么，在运动变化的状态下的思维活动会更有效，更有价值

----北京市海淀进修学校正高级教师张鹤三、几何直观的培养3.引导学生多从连续运动的角度研究数学思维是一种安静的力量，这个力量是通过思维活动体现出来的。如果能够让我们研究的对象也活动起来，那么，在运动变化的状态下的思维活动会更有效更有价值。

---北京市海淀进修学校正高级教师张鹤三、几何直观的培养4.透过直观的现象，挖掘逻辑的本质现象只是浅层次的直观，高水平的