对称式和轮换对称式及答案

对称式与轮换对称式一.填空题(共10小题)1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:_________.2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为_________.3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)得值为_________.4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c=_________.5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22=_________.6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则=_________.7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式得m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c=_________.8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x=_________.9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:、、,则xyz=_________.10.设x、y、z就是三个互不相等得数,且x+=y+=z+,则xyz=_________.二.选择题(共2小题)11.已知,,,则得值就是() A. B. C. D.12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是() A.672 B.688 C.720 D.750三.解答题(共1小题)13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d得最大值.答案与评分标准一.填空题(共10小题)1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:.考点:对称式与轮换对称式。分析:首先将将三式全部取倒数,然后再将所得三式相加,即可得:++=+++,再整理,配方即可得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,则可得此三角形就是边长为1得等边三角形,则可求得此三角形得面积.解答:解:∵a=,b=,c=,∴全部取倒数得:=+,=+,=+,将三式相加得:++=+++,两边同乘以2,并移项得:﹣+﹣+﹣+3=0,配方得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0,解得:a=b=c=1,∴△ABC就是等边三角形,∴△ABC得面积=×1×=.故答案为:.点评:此题考查了对称式与轮换对称式得知识,考查了配方法与等边三角形得性质.此题难度较大,解题得关键就是将三式取倒数,再利用配方法求解,得到此三角形就是边长为1得等边三角形.2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为.考点:对称式与轮换对称式。分析:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2得值代入①,通过化简就可以求出结论.解答:解:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.由②,得④,把④代入③,得⑤把⑤代入③,得⑥把⑤、⑥代入①,得+=b∴,∴(a3+c2)(y12+ay22)=b(y12+ay22)2∴y12+ay22=.故答案为:点评:本题就是一道代数式得转化问题,考查了对称式与轮换对称式在代数式求值过程中得运用.3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)得值为﹣.考点:对称式与轮换对称式。分析:根据题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=1,又a,b,c,d,e,f为正数,即abcdef=1,再根据所给式子即可求出a,b,c,d,e,f得值,继而求出答案.解答:解:根据题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=1,且a,b,c,d,e,f为正数,∴abcdef=1,∴bcdef=,∵=4,∴bcdef=4a,∴4a=,∴a=.同理可求出:b=,c=,d=2,e=3,f=4.∴原式=++3﹣﹣2﹣4,=.故答案为:﹣.点评:本题就是一道分式得化简求值试题,考查了分式得轮换对称得特征来解答本题,有一定难度,根据所给条件求出a,b,c,d,e,f得值就是关键.4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c=44或﹣44.考点:对称式与轮换对称式。分析:令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,用①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,于就是求出b与a、c之间得关系,进一步讨论求出a、b与c得值,6a+7b+8c得值即可求出.解答:解:令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,所以b﹣a=c﹣b,即b=,代入②得ca﹣=﹣1,4ac﹣(a+c)2=﹣4,(a﹣c)2=4,a﹣c=2或a﹣c=4,当a﹣c=2时,a=c+2,b==c+1,代入③式得(c+2)(c+1)﹣c2=﹣7,3c+2=﹣7,c=﹣3,所以a=﹣1,b=﹣2,此时6a+7b+8c=6×(﹣1)+7×(﹣2)+8×(﹣3)=﹣44,当a﹣c=﹣2时,a=c﹣2,b==c﹣1,代入③式得(c﹣2)(c﹣1)﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7,c=3,所以a=1,b=2此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44,所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44,故答案为44或﹣44.点评:本题主要考查对称式与轮换对称式得知识点,解答本题得关键就是求出b=,此题难度不大.5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22=5.考点:对称式与轮换对称式。分析:根据题意令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,列出方程组解出y1与y2,然后求出y12+y22得值.解答:解:令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,故,解得:y1=cosθ+3sinθ,y2=3cosθ﹣sinθ,故y12+y22=5.故答案为5.点评:本题主要考查对称式与轮换对称式得知识点,解答本题得关键就是令x1=cosθ,x2=sinθ,此题难度不大.6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则=1.考点:对称式与轮换对称式。分析:∵a=,b=,c=分别代入,,表示出,,得值,然后化简就可以求出结果了.解答:解:∵a=,b=,c=,∴===∴=++=∵x+y+z≠0∴原式=1.故答案为:1.点评:本题就是一道代数式得化简求值得题,考查了代数式得对称式与轮换对称式在化简求值中得运用.具有一定得难度.7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式得m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c=.考点:对称式与轮换对称式。分析:令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x(x≠0),由可得:==,解出a、b与c得值即可.解答:解:令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x(x≠0),又知,即==,解得a=2,c=,b=﹣,即a+b+c=2﹣+=.故答案为.点评:本题主要考查对称式与轮换对称式得知识点,解答本题得关键就是令P=(m+9n)x,Q=(9m+5n)x,此题难度不大.8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x=.考点:对称式与轮换对称式。专题:计算题。分析:先化简各式,将各式联立相加,然后分别将y、z与u关于x得式子代入消去y、z与u,即可求出x得值.解答:解:将各式化简得:,(1)+(2)+(3)+(4)得:x+y+z+u=⑤,分别将y、z与u关于x得式子代入⑤中,得:x+6x﹣1+6(6x﹣1)﹣1+=,解得:x=.故答案为:.点评:本题考查对称式与轮换对称式得知识,难度适中,解题关键就是将y、z与u关于x得式子代入消除y、z与u.9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:、、,则xyz=162.考点:对称式与轮换对称式。分析:将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程,再由第一个方程除以第三个方程.就可以把x、y用含z得式子表示出来,然后代入第一个方程就可以求出z、x、y得值,从而求出其结果.解答:解:由①÷②,得y=④由①÷③,得x=⑤把④、⑤代入①,得,解得z=9∴y=6,x=3∴原方程组得解为:∴xyz=3×6×9=162.故答案为:162.点评:本题就是一道三元高次分式方程组,考查了运用分式方程得轮换对称得特征解方程得方法,解方程组得过程以及求代数式得值得方法.10.设x、y、z就是三个互不相等得数,且x+=y+=z+,则xyz=±1.考点:对称式与轮换对称式。专题:计算题。分析:分析本题x,y,z具有轮换对称得特点,我们不妨先瞧二元得情形,由左边得两个等式可得出zy=,同理可得出zx=,xy=,三式相乘可得出xyz得值.解答:解:由已知x+=y+=z+,得出x+=y+,∴x﹣y=﹣=,∴zy=①同理得出:zx=②,xy=③,①×②×③得x2y2z2=1,即可得出xyz=±1.故答案为:±1.点评:此题考查了对称式与轮换式得知识,有一定得难度,解答本题得关键就是分别求出yz、zx、xy得表达式,技巧性较强,要注意观察所给得等式得特点.二.选择题(共2小题)11.已知,,,则得值就是() A. B. C. D.考点:对称式与轮换对称式。专题:计算题。分析:先将上面三式相加,求出+,+,+,再将化简即可得出结果.解答:解:∵,∴+=15①,∵,∴+=17②;∵,∴+=16③,∴①+②+③得,2(++)=48,∴++=24,则===,故选D.点评:本题考查了对称式与轮换对称式,就是基础知识要熟练掌握.12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是() A.672 B.688 C.720 D.750考点:对称式与轮换对称式。分析:首先将a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170分别展开,即可求得ab+ac=152①,bc+ba=162②,ca+cb=170③,然后将三式相加,即可求得ab+bc+ca值,继而求得bc,ca,ab得值,将它们相乘再开方,即可求得abc得值.解答:解:∵a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,∴ab+ac=152①,bc+ba=162②,ca+cb=170③,∴①+②+③得:ab+bc+ca=242④,④﹣①得:bc=90,④﹣②得:ca=80,④﹣③得:ab=72,∴bc•ca•ab=90×80×72,即(abc)2=7202,∵a,b,c均为正数,∴abc=720.故选C.点评:此题考查了对称式与轮换对称式得知识,考查了方程组得求解方法.此题难度较大,解题得关键就是将ab,ca,bc瞧作整体,利用整体思想与方程思想求解.三.解答题(共1小题)13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d