数理统计（研究生）全册配套完整课件3

数理统计（研究生）全册配套完整课件3概率论基础

第一章随机事件及其概率

第二章随机变量第三章随机向量

第四章数字特征

第五章极限定理

内容提要1随机事件及其概率1.1

随机事件1.2

随机事件的概率1.3

条件概率1.4

独立性主观概率1.1随机事件1.1.1、随机现象、随机试验与样本空间1.1.2、随机事件1.1.3、事件间的关系与运算§1.1随机事件及其概率的统计定义

一、概率论的诞生及应用1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念─数学期望。概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;另外在经济、金融、保险；管理决策；生物医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象

“可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象确定性现象的特征:

条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.实例3

“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.实例2

“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.结果:“弹落点会各不相同”.1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象实例4

“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:

正品

、次品.实例5

“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例6“一只灯泡的寿命”可长可短.随机现象的特征:条件不能完全决定结果1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.1随机现象2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.

1.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;

2.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义在概率论中，把具有以下特征的试验称为随机试验E.3.其中，可以在相同的条件下重复进行的随机试验称为可重复的随机试验，否则称为不可重复的随机试验

1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.2随机试验说明

1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.实例

“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析

2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2)试验的所有可能结果:正面，反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.3.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.定义1

对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点（ω），由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件，用

或S表示我们规定不含任何元素的空集为不可能事件，用

表示。P(Ω)=1,P(

)=01.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间TH1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间THTHHHTT1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间THTHHHTT1次0次2次1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间在某一批产品中任选一件，检验其是否合格1.1.1随机现象、随机试验与样本空间

1.1.1.3样本空间记录某大超市一天内进入的顾客人数

在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命

观察某地明天的天气是雨天还是非雨天

注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品

满足这一条件的样本点组成的一个子集

称为随机试验的一个随机事件

1.1.2随机事件基本事件：随机试验有两个基本事件和

随机试验有三个基本事件、和样本空间的两个特殊子集

它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件

它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生称之为不可能事件

由一个样本点组成的单点集

随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的随机事件1.1.3、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件

研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定

子事件和事件积事件差事件互斥（互不相容）对立事件（逆事件）运算规律子事件等价的说法是：B不发生，则A也不发生。事件的相等若AB且BA，称事件A与B相等。即A与B中的样本点完全相同。记作A=B掷一颗骰子A表示点数小于3，B表示点数为1或2则A=B事件的和（并）推广实例

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件

A与

B的并.

BA事件的积（交）图示事件A与B

的积事件.

ABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.和事件与积事件的运算性质事件的差事件A与B的差也记为：图示A与B的差

AB

B实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.A事件的互斥（不相容）“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥

AB互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.说明当A

B=

时,可将A

B记为“直和”形式A+B.

任意事件A与不可能事件为互斥.对立事件若事件A、B满足则称A与B为互逆(或对立)事件.A的逆记作事件间的运算规律事件间的运算规律完备事件组例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;不多于一个事件出现;(7)至少两个事件出现;(8)恰好两个事件出现;解逆分配律例3某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件于是“城市断水”这一事件可表示为“城市能正常供水”这一事件可表示为甲乙12城市3

设x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置，试说明下列各事件的关系：A={x|x≤20}B={x|x>3}C={x|x<9}D={x|x<-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED与B,D与E互不相容C与E为对应事件。B与C，B与A，E与A相容A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。符号 集合含义 事件含义Ω

全集 样本空间，必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 样本点{ω} 单点集 基本事件AΩ

一个集合 一个事件AB A的元素在B中 A发生导致B发生A=B 集合A与B相等 事件A与B相等A∪B A与B的所有元素 A与B至少有一个发生A∩B A与B的共同元素 A与B同时发生Ā A的补集 A的对立事件A-B 在A中而不在B中的元素 A发生而B不发生A∩B=φ

A与B无公共元素 A与B互斥概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等空间(全集)空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等小结事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和A集合与B集合的并集事件A与B的积事件

A集合与B集合的交集1.2随机事件的概率古典概率统计概率几何概率主观概率概率的公理化

它是事件固有的,不随人们主观意愿而改变,可以在相同条件下通过大量重复试验予以识别和检验研究随机现象的统计规律性的数学学科什么是统计规律性统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律概率是指刻划随机事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标符合常情：事件发生可能性大,该值就大,反之就小;不可能事件的值最小(0);必然事件的值最大(1)概率论？什么是概率？问题一问题二,这个数量指标应该满足：①②频率是否有统计规律性(一)频率设为一随机事件,在相同条件下进行

次重复试验令次试验中发生的次数称为事件的频数为事件的频率在一次试验中可能发生也可能不发生特性：一般地越大,则越大的值是“随机的”问？实验者实例一出现正面历史上有名的“抛硬币”试验0.5005

12012

24000皮尔逊

0.5016

6019

12000皮尔逊

0.5069

2048

4048蒲丰

0.5181

1061

2048德·

摩根问有什么规律？“抛硬币”试验将一枚硬币连续抛次，记“蒲丰投针试验”实例二记投针的总数为,针与平行线相交的次数为则？考察英语文章中26个字母出现的频率，当观察次数较大时，每个字母出现的频率呈现稳定性，下面是

Dewey

统计了438023个字母得到的统计表实例三0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060频率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244频率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594频率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268频率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母如果一颗骰子六个面是均匀的，则当很大实例四在“掷骰子”试验中，记事件出现点将一棵骰子连续掷次，问有什么规律？分析时有应有由于频率的取值是“随机的”，那么极限

是什么意思值得研究（后面讨论该问题）随机事件的统计规律性频率的稳定性当

很大时,事件的频率接近一个常数,即有注①②常数

就是事件

发生的可能性大小,即概率

这三条性质刻画了频率的本质特征,启发我们定义事件的概率频率的基本性质若是两两不相容事件,则有限可加性？非负性：规范性：(二)概率的公理化定义设为可测空间与之对应,且满足若存在实数①②③可列可加性：对两两不相容的事件列有则称为事件的概率,称概率空间为？样本空间全体事件构成的事件域σ可加性1933年苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系定义(三)概率的基本性质性质①证因为概率为实数,故性质②若是两两不相容的事件,则证故由可列可加性，有有限可加性概率加法定理证明：只要证明P(A+B)=P(A)+P(B)即可，这里根据古典概型来证明．设试验的样本空间Ω共有N个等可能的基本事件，事件A包含M1个基本事件，事件B包含M2个基本事件．由于事件A与B是互不相容的，因此A与B的并A+B所包含的基本事件共有M1+M2个．于是有

P(A+B)=(M1+M2)/N=M1/N+M2/N=P(A)+P(B)推论2对立事件的概率和等于一：性质③若则证因互不相容,故由有限可加性有再由概率非负性得事件解释为区域概率解释为区域面积事件与概率的图示性质④性质⑤性质⑥对任何事件有(加法公式)对于三事件有挖挖挖补由定义证明由图可得又由定理２

得因此得挖补原理多事件的加法公式对于

个事件，有全加减二加三挖补规律:加奇减偶减四甲参加有奖问答竞猜活动，他能答出第一道题的概率是0.8，能答出第二道题的概率是0.3，例1两道题都能答出的概率是0.2，试求：（1）能答出第一道题而答不出第二道题的概率（2）至少有一道题能答不出的概率（3）两道题都答不出的概率解已知？？0.80.3（1）（2）（3）？等可能型概率“抛硬币”、“掷骰子”等随机试验的特征：怎样计算等可能概型中事件的概率(一)古典概型每个基本结果的出现是等可能的只有有限个基本结果等可能概型设随机试验的样本空间为若①②只含有限个样本点,即每个样本点的出现是等可能的,即则称该试验为等可能概型古典概型,也称为

问？(一)古典概型等可能概型的概率计算设是等可能概型的任一事件，则有样本点总数包含的样本点个数有利场合古典概型的概率计算公式样本点总数包含的样本点个数样本点总数包含的基本事件个数样本点总数的有利场合数抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率该试验的样本空间为他计算得解例这是一个古典概型,事件“一个正面一个反面”的有利场合是

18世纪著名的法国数学家达朗贝尔取样本空间为这不是等可能概型！小趣闻解：为简便，每位数字有10种选择。基本事件总数是106。事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。例

随意拨一个6位电话号码，正好找到朋友张某的概率。故所求概率为解例袋中有

只白球，

只红球.从袋中任取

只球，求取到

只白球的概率.从

只球中任取

只，样本点总数为取到

只白球的有利场合数为排列与组合选排列当

时，称为全排列，计算公式为从

个不同的元素中,任取

个元素,按照一定的顺序排成一列，全部排列个数为全排列组合从

个不同的元素中,任取

个元素并成一组，全部组合数为取数与次序有关排列的特点取数与次序无关组合的特点解

ABAB（先从4双中取2双，再从每双中任取一只）（先从５双中取４双，再从每双中任取一只）（先从５双中取出１双，在从剩下的８只鞋中取２只）例3

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”则所求概率为解于是所求概率为加法原理第一类方法有

种方法第二类方法有

种方法

第

类方法有

种方法……做一件事共有

类方法完成这件事的方法总数乘法原理第一步有

种方法第二步有

种方法

第步有

种方法……做一件事共有

个步骤完成这件事的方法总数古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1

设袋中有M个白球和

N个黑球,现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?样本点总数为A所包含的样本点个数为解设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}(2)有放回地摸球问题2

设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球样本点总数为A所包含样本点的个数为古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制问题1

把

4个球放到

3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.

4个球放到3个杯子的所有放法因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为(2)每个杯子只能放一个球问题2

把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为将只球随机地放入

个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率。

任一只球进任一盒子是等可能的,故这是古典概型问题故所求概率为样本点总数为“每个盒子至多有一只球”的有利场合数为解例分析基本事件很多问题都可以归结为摸球模型摸球模型的应用实例概率论历史上有名的问题---生日问题参加某次聚会共

个人,求没有两人生日相同的概率分析只球个人个人生日各不相同,则天个盒子至少有两人生日相同结果有点出乎人们意料注记

在实际应用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，称为几乎必然事件概率非常小的事件，称为小概率事件实际推断原理:小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的

(匹配问题)将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发给四个人,试求至少有一人能打开门的概率.由对称性及乘法原理得不妨给门和钥匙编上号.则所求概率为解例记第把钥匙打开号门

50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3个铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解例记第

个部件强度太弱因只有个铆钉强度太弱,故互不相容故发生一个部件强度太弱的概率是问按古典概型公式怎样计算？任选个铆钉装在一个部件上作为基本事件故样本点总数为而有利场合数为故所求概率为先从10个部件选出一个,再将3个强度太弱的铆钉全装上古典概型的特点：(二)几何概型基本事件的等可能性有限个样本点问题question

怎样推广到“无限个样本点”而又有某种“等可能性”？

认为任一点能钻探到石油是等可能的,则所求概率为

某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？解例发生的概率定义为如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则“面积”改为“长度”、“体积”几何概型的定义设随机试验的样本空间为有界区域事件试验结果落在区域

中的面积的面积称为几何概型注：①②事件

发生的概率与位置无关,只与

的面积有关，这体现了某种“等可能性”

说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.

(约会问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。这是一个几何概型，所求概率是

设

分别表示两人达到的时间，则两人能会面的充要条件是解例习题：P.326,7,8,11END在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有

练习（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配在间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)某指定间房中各有一人

;(2)恰有间房，其中各有一人；

(3)某指定一间房中恰有人。

解先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把n个人分到N间房中去共有种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为

(a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为：(c)某指定一间房中恰有m人，可能的分法为

进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为:（2）

（3）

(1)那末两人会面的充要条件为练习

甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解故所求的概率为若以x,y

表示平面上点的坐标,则有例４

甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.如果它们约定见车就乘;求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的,且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.见车就乘的概率为设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻,则有解概率论基础

曹刚

2009-08第一章随机事件及其概率

第二章随机变量第三章随机向量

第四章数字特征

第五章极限定理

内容提要1.3条件概率（概率的乘法定理）1.3

条件概率1.4

独立性主观概率引例：投掷骰子，观察点数，A表示“出现３点”，B表示“出现奇数点”，求P(A)及已知B发生的条件下A发生的概率P(A|B).解：P(A)=1/6,P(B)=1/2,P(AB)=1/6,P(A|B)=1/3,从而P(A)≠P(A|B),但

P(A|B)=P(AB)/P(B)1.3条件概率与概率乘法定理定理１

ABAB证明：利用古典概型来证明．设样本空间为Ω包含N个样本点，A包含M1个样本点,B包含M2个样本点，A,B的交包含M个样本点．则

甲、乙两市位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道一年中雨天的比率甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%.试问甲、乙两市下雨是否有关系？解例记

甲市下雨乙市下雨,则故可以认为甲、乙两市下雨是有联系的因较小较大什么叫“两个事件有关系”,

其数学描述是什么？条件概率的性质条件概率也是一种概率（5）可列可加性设是两两不相容事件列，则有证两两不相容亦两两不相容为概率空间从另一角度看条件概率设为概率空间,且事件已发生分析已发生，所以样本空间变为从而条件概率可视为缩小的“样本空间”上的概率,即（条件概率空间）例

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义定理2乘法定理第一个袋中有黑、白球各2

只,第二个袋中有黑、白球各3

只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.由乘法公式求得解例记第次取到白球则条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根据实际问题中的具体意义确定的在概率论发展初期，古典概型中的加法公式及乘法公式是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点①③②一般地,若则条件概率乘法公式的说明则所求概率为解例

袋中有只红球、

只白球，依次将球一个个从袋中取出.求第

次

取出红球的概率.是不是所求概率？记第次取到红球解球队第

轮被淘汰记

某球队要经过三轮比赛才能出线.该球队第一轮比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为0.7,第三轮比赛被淘汰的概率为0.9.求球队出线的概率.例球队出线则是不是所求概率？例

一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概P(B|A).解例

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?

设A表示“能活20岁以上”的事件;B表示“能活25岁以上”的事件,则有解例4

五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解则有抓阄是否与次序有关?

依此类推故抓阄与次序无关.如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和全概率公式question问题？样本空间的分划：设

为样本空间，若事件满足：①②两两不相容，即则称为样本空间

的一个分划想法将

的计算分解到上计算然后求和通常要求于是设为样本空间

的一个分划，即对任何事件有全概率公式

袋中有a

只红球b

只白球,先从袋中任取一球,记下颜色后放回，同时向袋中放入同颜色的球1只,然后再从袋中取出一球.求第二次取到白球的概率.解例记第次取到白球第次取到红球第次取到白球则是

的一个分划，由全概率公式有

第二次取到白球的概率与第一次取到白球的概率相等，与前面放入什么颜色的球无关如果加入c

个同色球有什么结果？说明

全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.

有10个袋，其中甲袋二个,每袋中有红球、白球各2个;乙袋三个,每袋中有红球3个、白球2个;丙袋五个,每袋中有红球2个、白球3个.从十个袋中任取一袋,再从袋中任取一球,

求取到白球的概率.解例记分别表示取到甲、乙、丙袋由全概率公式有取到白球从甲、乙、丙袋取到白球的概率全概率公式是概率的加权平均如果将三个袋中的球混合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概率是否相同？例

有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%Bayes公式设为样本空间的一个分划，且则由乘法公式有由全概率公式有Bayes公式P(ABi)=由全概率公式有解例记取到次品取到的产品是

车间生产的

某工厂的一、二、三车间都生产同一产品,产量分别占总产量的

三个车间的次品率分别为

现从汇总起来的产品中任取一个，经检查是次品，问它是哪个车间生产的可能性较大？由Bayes

公式有可见该次品是第二车间生产的可能性较大Bayes推断则解例记甲每天参加课后体育活动乙每天参加课后体育活动因为较小，较大,两人去活动可能是相约的，故可推断甲、乙相识

根据长期观察知道甲、乙两学生每天参加课后体育活动的比率分别为和两人同时参加体育活动的比率为试问甲、乙两学生是否相识？

Bayes

方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判别、推理等方面Bayes公式的实际意义假定为导致试验结果的“原因”称先验概率为若试验产生事件,则要探讨事件发生的“原因”称为后验概率①②后验概率可以通过Bayes

公式进行计算

后验概率反映了试验后对各种“原因”发生的可能性大小的推断先验概率反映了各种“原因”发生的可能性大小（在试验前是知道的）

Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握的先验知识来推断后验概率应用统计方法确定先验概率应用

Bayes

公式计算机可计算出后验概率应用医学知识确定实例：计算机自动辅助诊断系统假定为各种“疾病”对人进行观察与检查,可以确定某个指标如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等对应于较大的“疾病”可提供给医生作进一步的临床诊断由Bayes

公式,此人真正患有癌症的概率为解例用某种诊断法诊断癌症,记判断被检验者患有癌症被检验者患有癌症已知现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可能性有多大？,又设人群中

可见，虽然检验法相当可靠，但被诊断患有癌症而真正患有癌症的可能性并不大解例由贝叶斯公式得所求概率为即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.a.条件概率全概率公式贝叶斯公式小结乘法定理1.4随机事件的独立性(一)两个事件的独立性由条件概率，知一般地，这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.然而，在有些情形下又会出现：则有1.引例2.定义注.1º说明

事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.2º独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件互斥例如二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系11由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.两事件相互独立两事件互斥.由此可见两事件互斥但不独立.又如：两事件相互独立.两事件互斥可以证明：

特殊地，A与B

独立

A与B

相容(不互斥)

或A与B

互斥

A与B

不独立证若A与B独立,则

即A与B

不互斥(相容).若A与B互斥，则AB=

B发生时，A一定不发生.这表明:B的发生会影响A发生的可能性(造成A不发生),即B的发生造成A发生的概率为零.所以A与B不独立.理解:

BA分析独立不相容故当或时不能同时成立独立不相容3.性质(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.证∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1•P(A)=P()P(A)即与A独立.∵

A=

,P(

)=0∴P(

A)=P(

)=0=P(

)P(A)即与A独立.(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.①②③证①注

称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.又∵A与B相互独立③甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.解设A={甲击中敌机}B={乙击中敌机}C={敌机被击中}依题设,∴A与B不互斥例

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,进而=0.8则于是整个系统的可靠性为系统可靠性概念：系统可靠性系统正常工作解例

某系统由四个部件构成(见图).设每个部件的可靠性均为

且四个部件是相互独立的.求整个系统的可靠性.记整个系统正常工作第

个部件正常工作

I、II

串联

III、IV

串联并联相互独立1.三事件两两相互独立的概念(二)多个事件的独立性定义2.三事件相互独立的概念定义

设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n个事件的独立性定义若事件A1，A2，…，An

中任意两个事件相互独立，即对于一切1≤i<j≤n,有定义注.两个结论n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则

也相互独立即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.结论的应用则“

至少有一个发生”的概率为

P(A1

…

An)=1-(1-p1)…(1-pn)若设n个独立事件发生的概率分别为类似可以得出：至少有一个不发生”的概率为“=1-p1

…pn

设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率.则所求概率为解例记第

个人血清含肝炎病毒根据实际问题判断事件独立性甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解

A,B,C

分别表示甲、乙、丙击中敌机,例因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为思考几个问题相互独立？否!必然事件与任何事件是否独立？不可能事件与任何事件是否独立？事件甲患感冒与乙患感冒能否认为是独立的？条件概率与事件独立性通常是根据实际意义来确定的注意：解

设一支步枪击中目标的概率为

试求支枪齐射能击中目标的概率.例记第支枪击中目标易知相互独立可见即使p

很小，但只要试验不断进行下去，小概率事件几乎必然要发生,所求概率为

1、2、3号高炮同时对飞机进行射击,三门炮击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一门炮击中而被击落的概率为0.2,被两门炮击中而被击落的概率为0.6,若被三门炮击中,飞机必定被击落.求飞机被击落的概率。则解例

记飞机被击落飞机被

门炮击中第

门炮击中飞机由全概率公式有由事件的不相容性及独立性有样本空间的分划思考题

(分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法一：应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)每局甲获胜的概率是1/2赌注应按11：5的比例分配。解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为甲方在第四局结束赌博获胜的概率为甲方在第五局结束赌博获胜的概率为故甲方最终获胜的概率为P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)赌注应按11：5的比例分配。独立试验序列1.定义(独立试验序列)设{Ei

}(i=1,2,…)是一列随机试验,Ei的样本空间为

i,设Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei(ik)的结果,则称{Ei

}是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.若n

次重复试验具有下列特点：2.n重贝努利(Bernoulli)试验1)每次试验的可能结果只有两个A或2)各次试验的结果相互独立，(在各次试验中p是常数，保持不变）实例1

抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2

抛一颗骰子n次,观察是否“出现

1点”,就是

n重伯努利试验.一般地，对于贝努里概型，有如下公式：定理如果在贝努里试验中，事件A出现的概率为p(0<p<1),则在n次试验中，A恰好出现k

次的概率为：3.二项概率公式推导如下：此式刚好是二项式(p+q)n

的展开式中的第k+1项，故亦称为二项概率公式。显然

证明

n次试验中事件A在某k次发生，在其余n-k次不发生，由试验的独立性，有在n次试验中，A发生k次的方式有种。且任何两种方式都是互不相容的，于是有称上式为二项分布.记为（1）{n重贝努里试验中A恰好出现k次}=Bk的Pr：（2）{首次成功恰好出现在第K次试验}=Wk的Pr：pqk-1（3）{第r次成功恰好出现在第k次试验}=Ck的Pr：

例1

有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列问题：

(1)恰有k粒种子出苗的概率；

(2)至少有一粒出苗的概率；

(3)要保证出苗率为98%，应每穴至少播几粒？

解恰有k粒种子出苗的概率为K0123456P6(k)0.00130.01570.07980.21620.32920.26730.0905

(3)要保证出苗率为98%，即要使

1-P6(0)≥0.98解得

n=4。

例1

有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列问题：

(1)恰有k粒种子出苗的概率；

(2)至少有一粒出苗的概率；

(3)要保证出苗率为98%，应每穴至少播几粒？

解(2)

至少有一粒出苗的概率为经计算得解例

解三、内容小结4二项分布5几何分布备用题伯恩斯坦反例一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色

,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的事件,问A,B,C是否相互独立?解由于在四面体中红,白,黑分别出现两面,因此又由题意知例1故有因此A、B、C不相互独立.则三事件A,B,C两两独立.由于例2、设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题解事件B为“击落飞机”,En:可看成将E

重复了n次,这是一个n重

贝努里试验.解例E

：观察1局比赛甲是否获胜设在n次试验中，A恰好出现k

次的概率为：“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;

······如：比赛3局，“甲甲甲”；比赛4局，概率论基础

曹刚

2009-08趣味题玛丽莲问题

有三扇门可供选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊。你当然想选中汽车。主持人让你随便选。比如，你选中了一号门。于是，主持人打开了后面是山羊的一扇门，比如是三号门。现在主持人问你：“为了以较大的概率选中汽车，你是坚持选一号门，还是愿意换选二号门？一乘客问空姐，一个恐怖分子带炸弹上飞机的概率是多少？空姐答：百万分之一。乘客

又问，那正巧两个恐怖分子带炸弹上飞机的概率是多少？空姐答：那可要千万分之一了。

次日，这位乘客携炸弹上飞机。被警察抓住，询问。乘客问答：为了减低被炸死的概率。

莫泽（1921-1970），加拿大数学家，他曾提出如下一道有趣的数学问题。一位数学家与他的妻子、儿子都喜欢下棋。一天，儿子为了周末与女朋友约会，向父亲要100元钱。父亲想了一会儿说：“今天是星期三，你在今天、明天和后天3天中，每天下一盘棋，要选择我与你妈妈轮流作你的对手。如果你能连胜2局(当然也包括连胜3局)，就可以得到钱。”显然，因为3天中要轮流与父母下，因此年轻人可选择的顺序只能是父亲-母亲-父亲，或者母亲-父亲-母亲。年轻人还知道，父亲的棋艺比母亲要高。问题是：这位年轻人应选择哪种顺序，才能使连胜2局的可能性更大？常理推断：要连赢两局，因此必赢第2局，所以这一局要和棋力较弱的母亲下。而对棋力较高的父亲，有两次机会交手，只要赢1局就可达到目的。数学解决所需工具：关于可能性（概率）的乘法规则（举例来说，每次掷硬币国徽朝上的概率是1/2，那么两次掷硬币国徽都朝上的概率就是（1/2）*（1/2）=1/4，N次掷硬币国徽都朝上的概率就是N个1/2相乘，即（1/2）的N次方；可见当N越大时，国徽均朝上的可能性越来越小。）莫则问题数学解答：不妨设儿子赢父亲的概率（通俗地说，就是可能性）是（1/2），赢母亲的概率是（2/3）；要连胜2局，因此其战绩应为：赢赢赢、赢赢输或输赢赢。当采取策略A：父亲－母亲－父亲时，三种战绩的可能性赢赢赢：（1/2）*（2/3）*（1/2）=1/6赢赢输：（1/2）*（2/3）*[1-(1/2)]=1/6输赢赢：[1-(1/2)]*（2/3）*（1/2）=1/6因此连胜两局的可能性就是1/6+1/6+1/6=1/2.同理，如果采取策略B：母亲—父亲—母亲时，三种战绩的可能性为赢赢赢：(2/3）*(1/2)*(2/3)=2/9赢赢输：(2/3)*(1/2)*[1-(2/3)]=1/9输赢赢：[1-(2/3)]*(1/2)*(2/3)=1/9因此连胜两局的可能性就是2/9+1/9+1/9=4/9，它小于1/2，因此最佳策略是（A）。以上利用了特殊化的技巧，如果一般地假设儿子赢父亲的概率是p，赢母亲的概率是q，你可类似推得（A）和（B）策略对应的取胜可能性分别为pq(2-p)与pq(2-q)。因为p<q,所以应选择策略（A）。第一章随机事件及其概率

第二章随机变量第三章随机向量

第四章数字特征

第五章极限定理

内容提要第二章随机变量及其分布2.1随机变量的定义2.2离散型随机变量2.3连续型随机变量及其分布函数2.4随机变量函数的分布第一章随机变量及其分布§1随机变量§2离散型随机变量§3随机变量的分布函数§4连续型随机变量及其密度函数§5随机变量的函数的分布非等可能事件的概率怎么计算？在概率论中怎么应用微积分理论？··········设为随机试验

的概率空间问题一样本空间

中的元素与试验有关,从数学角度看,希望

是抽象的集合问题二问题三问题四抛一枚硬币，考察正、反面出现的情况，则这样就把原来有具体含意的样本空间化为直线上的抽象点集如果令则在上述映射下，新的“样本空间”为例，而样本点对应关系为设为概率空间是定义在上的单值实函数，若有定义则称为随机变量注一：自变量是实数自变量是样本点因变量是确定的实数因变量是不确定的实数普通函数随机变量注二：是随机变量是事件随机变量的引入使得所有试验的样本空间都是直线上的集合事件直线上的集合利用微积分来研究随机现象随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).2.说明(1)随机变量与普通的函数不同实例

掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X(e)是一个随机变量.若用X表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量X(e),实例

在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:

将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，则样本空间为考虑事件例定义随机变量正面出现的次数则很多试验产生的结果本身就是随机变量

考察某地区的日平均气温

日平均降水量都是随机变量例例电子产品的寿命

是随机变量

从一大批产品中随机抽取

件进行测试，其测得的次品数

是一随机变量例例某城市的日耗电量

是一随机变量注一：通常用大写字母

等表示随机变量,或希腊字母,,η,ζ,….等表示。用小写字母

等表示实数注二：随机变量简记为随机变量X的含义是把样本点（具体的内容）映射到实数轴上。随机变量所取的可能值是有限多个的或无限多个的(可列个的)或连续的,它们对应实数轴上形成的离散点.是事件

随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个(可列个),叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X

的可能值是:随机变量连续型实例

1,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2

若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X

的可能值是:实例3设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X

的所有可能取值为:电子产品的寿命

是否是离散型

r.v问？实例

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则X的取值范围为(a,b)内的任一值.实例

随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为

则X的取值范围为

离散随机变量且r.v的所有可能的取值设

为离散型

r.v,设所有可能的取值为易知的统计规律完全由数列确定定义称为离散型的概率函数，或概率分布．分布律。离散型随机变量的分布律包括两方面①②r.v取各个值的概率

将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记为正面出现的次数,求的分布律的取值为故的分布律为例解,其样本空间为问分布律有什么特点？全部和为1所有样本点遍历一次分布律的基本性质：①②证②分布律的本质特征本质特征的含义：离散型r.v的分布律必满足性质①②满足性质的数列必是某离散型r.v的分布律①②注：当X取有限个可能值时，表示有限项和；当X取可列无穷多个可能值时，表示收敛级数的和．离散型r.v的概率分布规律相当于向位于处的“盒子”中扔球分布律的几种表示方法解析式法列表法矩阵法想象扔进第

个“盒子”的可能性是.记解

一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为记

表示球队结束比赛时的比赛次数，求

的分布律.例可能的取值为通过第轮比赛则代入

求得

的分布律为例

：袋中有２个白球和３个黑球，每次从其中任取１个球直到取得白球为止，求取球次数的概率分布,假定：（１）每次取出的黑球不再放回去；（２）每次取出的黑球仍放回去．解：（１）设随机变量X是取球次数，因每次取出的球不放回去，所以X的可能值是1,2,3,4．易知（２）设随机变量Y是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以Y的可能值是一切正整数．易知几何分布：一次试验中只考虑事件A出现或不出现．做独立重复试验直到事件A出现为止，设试验次数为X,则X的可能取值为1,2,3,……,其概率分布为：

严格说单点分布并不具有“随机性”,视为随机变量完全是理论上的需要几种重要的离散型随机变量（0）单点分布如果的分布律为则称服从，其中

为常数单点分布注单点分布也称为退化分布某事件发生的概率为则称该事件“几乎处处”发生例如记为或记为或a.e.为almosteverywhere,几乎处处含义下相一门课程的考试是“及格”还是“不及格”刚出生的新生儿是“男”还是“女”产品检验的结果是“合格”还是“不合格”射击结果是“击中目标”还是“没有击中目标”（一）（0-1）两点分布如果的分布律为则称服从两点分布,其中为常数(0-1)分布的实际背景若一个试验只产生两个结果，则可以用服从(0-1)分布的r.v来描述例例例例实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0-1)分布.其分布律为则称X服从(0-1)分布或两点分布.记为X~b(1,p)

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明超几何分布设X的分布律为

超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明例

：设一批产品中有N件，其中M件次品，现从中任取n件（n≤N),则此n件产品中的次品数X是一离散随机变量X的可能值是0,1,2,….,min(n,M),其概率分布为：（二）伯努利试验与二项分布伯努利试验：只产生两个结果的试验伯努利试验产生什么样的随机变量？重伯努利试验：n将伯努利试验独立重复进行

次的试验例某战士用步枪对目标进行射击，记击中目标没击中目标每射击一次就是一个伯努利试验,如果对目标进行

次射击,则是一个

重伯努利试验.例从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记合格不合格每检验一个产品就是一个伯努利试验.

独立地抽