2023-2024学年人教版九年级数学上册重难点题型突破训练：定弦定角

专题4.7定弦定角

国模型方弦

解题技巧：构造隐圆

定弦定角解决问题的步骤：

(1)让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹

为一段弧。

(2)找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角)，(这个补角一般为

。O

60、45)

(3)找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置

(4)计算隐形圆的半径

(5)圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

(6)最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

_匡超至人生_________________________________

【典例1］如图，已知矩形48CD.

(1)如图①，请在矩形488的内部或边上画出使N4P5=45°的点尸的轨

迹；

(2)如图②，请在矩形488的内部或边上画出使N4P5=90°的点尸的轨

迹；

(3)如图③，请在矩形458的内部或边上画出使N4P5=120°的点尸的

轨迹.

图①图②图③

【变式1-1】(秋•潜山市期末)如图，在矩形N5CD中，48=8,BC=6,点尸

在矩形的内部，连接上4,PB,PC,若/PBC=NPAB,则尸。的最小值是

C.2V13-4D.4V13-4

【变式1-2］如图，正方形48CD中，48=2,动点E从点幺出发向点。运动,

同时动点尸从点。出发向点C运动，点£、尸运动的速度相同，当它们到达

各自终点时停止运动，运动过程中线段幺尸、BE相交于点尸，则线段Z）尸的最

【变式1-3］（广西模拟）如图，ZC为边长为3的菱形48CZ）的对角线，Z

ABC=60°,点N分别从点B,。同时出发，以相同的速度沿5C,。向

终点。和/运动，连接和求△⑷有面积的最大值是（）

C.1+V3D.V3

【变式1-4］（宜兴市期末）如图，在△48C中，ZABC=90°,BC=4,AB=

8,尸为4C边上的一个动点，D为尸3上的一个动点，连接40,当NCBP=/

加。时，线段CD的最小值是（）

A

A.V2B.2C.2V2-1D.4V2-4

【变式1-5］如图，4B为。O的直径，。为。。上一点,其中48=4,AAOC=

120°,尸为。0上的动点，连接4P,取4P中点0,连接C0,则线段C0

的最大值为（）

C.1+3&D.1+V7

【典伊|」2】如图，在A45C中，AC=3,BC=4近,NZC5=45°,AM//BC,

点尸在射线4M上运动，连5尸交△4PC的外接圆于。，则40的最小值为

C.&D.472-3

【变式2-1］如图，在等腰RtA45C中，N84c=90°,AB=AC,BC=啦,

点。是ZC边上一动点，连接助，以40为直径的圆交助于点£,则线段

CE长度的最小值为一

E

BC

【变式2-1］如图，在矩形中，AD=5,45=3历，点石在Z8上，处=

EB

』，在矩形内找一点尸，使得N5PE=60°,则线段尸刀的最小值为（）

A.2V7-2B.25/13-4C.4D.2y

【变式2-2】（柳南区校级模拟）如图，在边长为畲的等边△Z3C中，动点、D,

£分别在3。，ZC边上，且保持ZE=CZ）,连接成，AD,相交于点尸，则

CP的最小值为.

【变式2-3】【问题原型】如图①，在。。中，弦6c所对的圆心角N3OC=

90°,点/在优弧5c上运动（点N不与点5、。重合），连结AC.

（1）在点/运动过程中，N4的度数是否发生变化？请通过计算说明理

由.

（2）若BC=2,求弦NC的最大值.

【问题拓展】如图②，在△ZBC中，BC=4,ZA=60°.若“、N分别是

48、的中点，则线段的最大值为.

图①图②

【变式2-4】(灌南县校级月考)我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明

没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：

下面让我们一起尝试去解决：

(1)如图，RtZ\48C中，ABLBC,AB=6,8c=4,尸是△48。内部的一个

动点，且满足则线段CP长的最小值为.

(2)如图，在正方形4BCD中，动点、E、尸分别从。、C两点同时出发，以

相同的速度在边刀C、C3上移动，连接/石和。尸交于点尸，由于点E、尸的

移动，使得点尸也随之运动.若40=2,则线段CP的最小值是.

(3)如图，矩形/5CD中，45=2,幺。=3,点E、尸分别为40、DC边上

的点，且上尸=2,点G为石产的中点，点P为BC上一动点,则PN+PG的最

小值为多少？

【变式2-5](2022秋•定海区期中)如图，△4BC中，NC=3,BC=4近,Z

4cB=45°,D为AABC内一动点,。。为的外接圆，直线交。O

于尸点，交BC于E点、,AE=CP,则40的最小值为

【典例3】如图，QO半径为6,弦48=6,点尸为优弧48上一动点，ACVAP

交直线PB于点C,则ZkABC的最大面积是()

A.65/5B.9V3C.672D.9

【变式3-1】如图，。。的半径为1,弦48=1,点尸为优弧总上一动点，AC±

4P交直线尸3于点。，则ZUBC的最大面积是()

A.工B.亚C.近D.正

2224

【变式3-2］如图，在AISC中，BC=6,NA4c=45°,则△4BC面积的最大

值为.

【变式3-31问题提出

(1)如图①，已知AlgC为边长为2的等边三角形，则△48C的面积为；

问题探究

(2)如图②，在A45C中，已知NA4c=120°,50=673,求△HffC的最

大面积；

问题解决

(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形N5CD,其宽48=20米，长

5C=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CZ)上

安装一台摄像头〃进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面力6区域，同

时为了观测效果达到最佳，还需要从点〃出发的观测角NNM3=45°,请你

通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点“满足要求？若存在,

求出MC的长度；若不存在，请说明理由.

D

图①图②图③

【变式3-4［（1）如图1,线段为5的长为4,请你作出一个以45为斜边且面积

最大的直角三角形48C.

（2）如图2,在四边形43CZ）中，AD=CD,N43c=120°,NADC=

60°,48=4,BC=2,请你求出四边形458的面积.

问题解决：

（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状

如图3所示，并且满足在四边形45CD中，AD=CD,N48C=75°,/ADC

=60°,DB=4,你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时

四边形48CD面积的最小值；如果不能，请说明理由.

【变式3-5】已知直线4s交x轴于点Z（。，0）,交y轴下点5（0,b）,且

a、Z>满足|a+"+(o+4)2=0.

(1)如图，若点。在第一象限，且于点E,延长线交x轴于点

G,连OE,求证：EO平分N/£G.

(2)如图，若点C在第一象限，且BEL4c丁点E,延长到。，使AD=

专题4.7定弦定角

国模型方弦

解题技巧：构造隐圆

定弦定角解决问题的步骤：

(1)让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹

为一段弧。

(2)找不变的张角(这个时候一般是找出张角的补角)，(这个补角一般为

60\45°)

(3)找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置

(4)计算隐形圆的半径

(5)圆心与所求线段上定点的距离可以求出来

(6)最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径

_匡超至人生_________________________________

【典例1］如图，已知矩形48CD.

(1)如图①，请在矩形488的内部或边上画出使N4P5=45°的点尸的轨

迹；

(2)如图②，请在矩形488的内部或边上画出使N4P5=90°的点尸的轨

迹；

(3)如图③，请在矩形458的内部或边上画出使N4P5=120°的点尸的

轨迹.

图①图②图③

【解答】解：(1)如图，作等腰直角三角形NO8,使乙405=90°,以。为

圆心，为半径画圆，

则PP'即为所求;

（2）如图，以45为直径作圆，则忘即为所求（不与/、5重合）；

图②

（3）如图，作等腰△205,使N/OB=120°,以。为圆心，为半径画圆,

则⑥即为所求（不与/、5重合）；.

【变式1-1】（秋•潜山市期末）如图，在矩形/3CD中，48=8,BC=6,点尸

在矩形的内部，连接P4,PB,PC,若NPBC=/PAB,则尸。的最小值是

A.6B.773-3C.2^/13-4D.4Vl§-4

【答案】C

【解答】解：•.•四边形488是矩形，

/.ZABC=9Q°,

ZABP+ZPBC=90°,

•:/PBC=NPAB,

；./PAB+NPBA=90°,

：./APB=90°,

.,.点尸在以48为直径的圆上运动，设圆心为O,连接OC交。0于尸，此时

尸C最小，

；OC^QB^BC2=3+62=2后,

:.PC的最小值为2后-4,

故选：C.

【变式1-2］如图，正方形48co中，48=2,动点E从点Z出发向点。运动,

同时动点尸从点。出发向点。运动，点七、产运动的速度相同，当它们到达

各自终点时停止运动，运动过程中线段幺尸、相交于点尸，则线段。尸的最

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图：

；动点尸,E的速度相同，

：.DF=AE,

又,正方形45CD中，AB=2,

•»AD=AB9

在2BE和/中，

rAB=AD

'ZBAE=ZADF，

,AE=DF

^XABE^/XDAF,

：.ZABE=NDAF.

•：NABE+NBEA=90°,

ZFAmZBEA=90°,

：./APB=90°,

•.•点尸在运动中保持N4P5=90°,

...点尸的路径是一段以48为直径的弧，

设4s的中点为G,连接。G交弧于点尸，此时。尸的长度最小，

AG—BG=—AB=\.

2

在一RtZkSCG中，DG=R卜62+皿2={]2+22=<^^,

'：PG=AG=\,

：.DP=DG-PG=45~1

即线段DP的最小值为遥-1,

故答案为：V5-1.

【变式1-3]（广西模拟）如图，ZC为边长为的菱形Z3S的对角线，Z

ABC=60°,点M,N分别从点3,。同时出发，以相同的速度沿5C,。向

终点。和力运动，连接和5N,求△4P3面积的最大值是（）

AD

BM

A.2V3B.4+2V3C.1W3D.M

【答案】D

【解答】解：•••四边形48co是菱形，

AB—CB—CD=40,

VZABC=60°,

...△48C是等边三角形，

：.4ACB=4ABM=60",

•.•点N分别从点5,。同时出发，以相同的速度沿3C,C4向终点。和Z

运动，

：.BM=CN,

在和△3CN中，

'BA=BC

<ZABM=ZBCN»

,BM=CN

:./\ABMqABCN(SAS),

ABAM=/CBN,

：.ZABP+ZCBN=60°,

：.ZABP+ZBAM=60°,

AZJP5=180°-60°=120°,

...点尸在弧45上运动,

，当位=奇时，△尸48的面积最大，最大值=2X2“X1=“,

2

故选：D.

BM

【变式1-4］（宜兴市期末）如图，在△NBC中，ZABC=9Q°,BC=4,AB=

8,尸为ZC边上的一个动点，。为尸5上的一个动点，连接Z。，当/CBP=/

BAD时，线段CD的最小值是（）

A

BC

A.V2B.2C.2V2-1D.4V2-4

【答案】D

【解答】M：'：ZABC=9Q°,

：.ZABP+ZCBP=90°,

"：ZCBP=ZBAD,

：.ZABD+ZBAD=90°,

：.ZADB=90°,

取48的中点E,连接。E,CE,

:.DE=~LAB=4,

2

：.0C=®0B=4近,

■:CD2CE-DE,

:.CD的最小值为4V2-4,

故选：D

【变式1-5］如图，45为O。的直径，C为O。上一点，其中48=4,ZAOC=

120°,尸为。。上的动点，连接4P,取4P中点0,连接C0,则线段C0

的最大值为（）

C.1+372D.1+V7

【答案】D

【解答】解：如图，连接。。，作于巴

：幺。=。尸，

OQ±PA,

ZAQO=90°,

点0的运动轨迹为以幺。为直径的OK,连接CK,

当点。在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQWQK+CK求解）

在RtZXOCH中，"：ZCOH=6Q°,OC=2,

：.OH=LOC=\,CH=M，

2

在RtZXCK"中，次=在鬲2亍=近，

：.CQ的最大值为1+V7，

故选：D.

【典例2］如图，在△Z8C中，AC=3,BC=4近,/ACB=45°,AM//BC,

点尸在射线上运动，连AP交△4PC的外接圆于。，则的最小值为

（）

.w

【答案】A

【解答】解：连接C。，则NPQC=NP4C=NNCB=45°,NBDC=135°

.•.点。在以5c为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°,

设圆心为。，连接5。、CO、DO,

则△BC。为等腰直角三角形,

.•.CO=4,ZBCO=45°,

VZACB=45°,

AZACO=90°,

幺°=VAC2-K：O2=V32+42=5'

.,.ZQNN。-£>0=5-4=1（当且仅当。是4F与圆弧的交点时取等号），

线段幺。的长的最小值为1,

故选：A.

【变式2-1］如图，在等腰中，NA4c=90°,AB=AC,BC=啦,

点。是ZC边上一动点，连接8。，以为直径的圆交5。于点E,则线段

CE长度的最小值为.

【答案】275^2

【解答】解：连接4E,如图1,

VZBAC=90°,AB=AC,BC=啦,

.\AB=AC=49

■:AD为直径，

；.NAED=90°,

AZAEB=90°,

点E在以48为直径的O。上，

：O。的半径为2,

当点。、E、C共线时，CE最小,如图2,

在Rt^ZOC中，'：OA=2,AC=4,

"'­℃=VOA2+AC2=2A/5，

：.CE=OC-OE=245-2,

即线段CE长度的最小值为2遥-2.

故答案为2遥-2.

图2

【变式2-1］如图，在矩形48CQ中，AD=5,AB=3,R,点、E在AB上,坦=

EB

1,在矩形内找一点P,使得N8PE=60°,则线段尸。的最小值为（)

2A/13-4C.4D.2V3

【答案】A

【解答】解：如图，在BE的上方，作AOEB,使得OE=OB,NEOB=

120°,连接。。，过点。作。QL5E于。，0J2AD于J.

DK______________,C

ZBPE=1ZEOB,

2

二点尸的运动轨迹是以。为圆心，OE为半径的OO,

.•.当点尸落在线段0。上时，。产的值最小，

;四边形4SCD是矩形,

AZA=90°,

,:AB=3^,AE：EB=\：2,

:.BE=2M，

•：OE=OB,ZEOB=120°,OQLEB,

：.EQ=BQ=43,ZEOQ=ZBOQ=60°,

。。=1,OE=2,

'：OJLAD,OQ±AB,

：.ZA=ZAJO=ZAQO=90°,

•••四边形N。。/是矩形，

.•.ZJ=OQ=1,

J0=AQ=2如,

"：AD=5,

:.DJ=AD-AJ=4,

：'0D=VjD2K)J2=3+(2禽户=2V7，

：.PD的最小值=0。-。P=2巾-2,

故选：A.

【变式2-2】(柳南区校级模拟)如图，在边长为通的等边△48C中，动点。,

E分别在8C,NC边上，且保持2£=。＞,连接BE,AD,相交于点P,则

CP的最小值为.

【答案】1

【解答】解：

:.BD=CE,

在△48。和△BCE中，

rAB=BC

，ZABD=ZBCE>

tBD=CE

.'.△ABD当LBCE(SAS),

故NBAD=/CBE,

VZAPE=ZABE+ZBAD,/APE=/BPD,ZABE+ZCBE=6Q°,

ZBPD=ZAPE=ZABC=60°,

ZAPB^=120°,

・,•点尸的运动轨迹是源，ZAOB=120°,连接CO,

•：OA=OB,CA=CB,OC=OC,

:.△AOgABOCCSSS),

：.ZOAC=ZOBC,ZACO=ZBCO=30°,

VZAOB+ZACB=^180°,

：.ZOAC+ZOBC^1SO°,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

.•.OC-cos30°=2,OA=1JOC=1,

2

：.OP=1,

,:PC?OC-OP,

1.pen,

.•.PC的最小值为1.

【变式2-3】【问题原型】如图①，在OO中，弦8c所对的圆心角N80C=

90°,点Z在优弧8c上运动(点幺不与点8、C重合)，连结45、AC.

(1)在点Z运动过程中，NZ的度数是否发生变化？请通过计算说明理

由.

(2)若BC=2,求弦ZC的最大值.

【问题拓展】如图②，在△48C中，BC=4,ZA=60°.若M、N分别是

AB、8c的中点，则线段跖V的最大值为—生巨

AA

【答案】【问题原型】（1）NZ的度数不发生变化，理由见解析;(2)

2加；【问题拓展】史应.

3

【解答】解：【问题原型】（1）NN的度数不发生变化，理由如下:

：NA^NBOC，/"go。，

ZA-j-X90°=45。；

（2）当NC为O。的直径时，ZC最大,

在RtZ^ffOC中，ZBOC=90°,

根据勾股定理，得082+00=83,

•：OB=OC,

OC=^y-BC=2y-X2=V2>

•••AC=2OC=2点，

即AC的最大值为力；

【问题拓展】如图，画△48C的外接圆O。，连接。氏OC,ON,

24A/3

：.OB=BN

sin600=近=3

2

VM,N分别是48、5C的中点,

：.MN是AABC的中位线,

:.MN=1AC,

2

...NC为直径时，NC最大，止匕时幺。=2。5=对1_,

3

.,.MN最大值为生应，

3

故答案为：迎

3

【变式2-4】(灌南县校级月考)我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明

没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：

下面让我们一起尝试去解决：

动点，且满足NP48=NP8C,则线段CP长的最小值为.

(2)如图，在正方形48CD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以

相同的速度在边。C、C8上移动，连接ZE和。尸交于点P,由于点£、尸的

移动，使得点尸也随之运动.若2。=2,则线段C尸的最小值是.

(3)如图，矩形Z8CD中，AB=2,AD=3,点£、E分别为。。边上

的点，且所=2,点G为跖的中点，点尸为8c上一动点，则尸Z+PG的最

小值为多少？

【解答】解：(1)如图1中，

图I

VZABC=90°,

AZABP+ZPBC^90°,

ZPAB=ZPBC,

：.ZBAP+ZABP=90°,

AZAPB=90°,

.•.点尸在以48为直径的O。上，连接OC交O。于点尸，此时尸C最小,

在RtZ^ffC。中，'：ZOBC=90°,5c=4,05=3,

•'­℃=7OB2+BC2=732+42=5，

：.PC=OC-0P=5-3=2.

...PC最小值为2.

故答案为2；

(2)如图2中,

图2

：动点E,尸分别从。，。两点同时出发，以相同的速度在边。C,C5上移动,

:.DE=CF,

在△4DE和△DCF中，

'AD=CD

<ZADE=ZBCD=90°，

tDE=CF

:.△ADE/XDCF(SAS),

/./DAE=/CDF,

,：ZCDF+/ADF=N4DC=90°,

AZADF+ZDAE=90°,

：.ZAPD=90°,

取NO的中点。，连接。尸，贝！J。尸=山。=工><2=1(不变)，

22

根据两点之间线段最短得C、P、。三点共线时线段C尸的值最小，

在RtaCO。中，根据勾股定理得，C0=JcD24c口2=62+]2=遍,

所以，CP=CO-OP=4s-1.

故答案为：V5-1;

(3)如图3中,

,:EF=2,点G为EF的中点，

：.DG^1,

•••G是以。为圆心，以1为半径的圆弧上的点，

作/关于的对称点,连接D,交BC于P,交以。为圆心，以1

为半径的圆于G,

此时尸N+PG的值最小，最小值为Z'G的长；

,:AB=2,40=3,

J.AA'=4,

.".A'D=5,

：.A'G=A'D-DG=5-1=4,

：.PA+PG的最小值为4,

【变式2-5]（2022秋•定海区期中）如图，△4BC中，AC=3,BC=4五,Z

4cB=45°,D为△48C内一动点，。。为AACD的外接圆，直线BD交。。

于尸点，交8C于E点，定=薜，则AD的最小值为.

【答案】1

【解答】解：：窟=薜,

ZACB^ZCDP.

VZACB=45°,

：.ZCDP=A5°,

AZJ5Z）C=180°-45°=135°,

...点。在以3c为弦，ZBDC=135°的圆弧上运动，

如图，设。点运动的圆弧圆心为河，取优弧8C上一点N,

连接Affi,MC,NB,NC,AM,MD,

则NBNC=180°-ZBDC=45°,

AZBMC=90°,

,:BM=CM,

...ABMC为等腰直角三角形，

AZMCB=45°，MC=^-BC=4,

2

VZACB=45°,

/.ZACM=9Q°,

AM=VAC2+MC2=V32+42=5，

.•.当2、D、M三点共线时，幺。最小，

止匕时，AD=AM-MD^5-4=1.

故答案为：1.

【典例3】如图，O。半径为6,弦48=6,点尸为优弧48上一动点，ACLAP

交直线尸8于点C,则△48C的最大面积是（）

A.6&B.9A/3C.672D.9

【答案】B

【解答】解：连接CM、0B,作△48C的外接圆O。，如图1,

：./\0AB为等边三角形，

AZAOB=60°,

ZAPB^1ZAOB=30°,

2

"：ACLAP,

AZC=60°,

'：AB=6,要使△48C的最大面积，则点C到48的距离最大,

VZACB=60°,点C在O。上,

AZADB=120°,

如图2,

当点C优弧48的中点时，点。到48的距离最大，此时△48C为等边三角形,

且面积为近452=9仃，

4

AABC的最大面积为9我.

故选：B.

【变式3-1】如图，O。的半径为1,弦45=1,点尸为优弧定上一动点，ACL

AP交直线PB于点C,则△48C的最大面积是（)

C.亨D.冷

【答案】D

【解答】解：连接。4、OB,如图1,

C

图1

'：OA^OB=\,AB=1,

.♦.△048为等边三角形，

:./A0B=60°,

：.ZAPB=1ZAOB=30°,

2

\'AC±AP,

：.ZC=6Q°,

；ZB=1,要使△48C的面积最大，则点。到48的距离最大,

VZACB=60°,点。在。。上，

AZADB=120°,

当点C在优弧48的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角

形，且面积为国炉=通_,

44

AABC的最大面积为1.

4

故选：D

【变式3-2］如图，在△45C中，BC=6,ZBAC=45°,则△48C面积的最大

值为.

【答案］9+9后

【解答】解：如图，作△48C的外接圆O。，连接。8、0C,过点。作

BC于■H,

则BH=HC,

由圆周角定理得：ZBOC=2ZA=9Q°,

：.0B=0C=^BC=3®,OH=1BC=3,

22

当BC边上的高最大时，△4BC的面积最大，

由题意可知，8c边上的高的最大值为：3+3^2，

...△48C面积的最大值为：1X6X(3+3V2)=9+9近,

2

故答案为：9+9

【变式3-3】问题提出

(1)如图①，已知△45C为边长为2的等边三角形，则△48C的面积为

V3_；

问题探究

(2)如图②，在△NBC中，已知N5NC=120°,5c=6、笈，求△NBC的最

大面积；

问题解决

(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形Z5CQ,其宽28=20米，长

5。=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CO上

安装一台摄像头河进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面Z5区域，同

时为了观测效果达到最佳，还需要从点〃出发的观测角NZM3=45°,请你

通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点河满足要求？若存在,

求出MC的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)Vs；(2)9V3；(3)存在，/C的长度为8米或12米.

【解答】解：(1)作/QL8C于。,

•••△Z8C是边长为2的等边三角形,

：.BD=1,

•*-AD=VAB2-BD2=V3，

△48C的面积为•|X2X%=JE，

故答案为：A/3；

(2)作△48C的外接圆OO,

VZBAC=nO°,BC=643,

点/在前上运动，

当4OLBC时，△48C的面积最大，

.,./8。4=60°,BH=CH=3M，

：.OH=3,OB—6,

：.A'H=OA'-OH=6-3=3,

△48C的最大面积为工X6百X3=9加；

2

(3)存在，以Z5为边，在矩形N5CD的内部作一个等腰直角三角形Z05,

且//。8=90°,

过。作于X,交CD于G,

图③

：48=20米，

.,.Z//=OH=10米，CM=10企米，

\'BC=24米，

，OG=14米，

V10V2>14,

.•.以。为圆心，CM为半径的圆与CD相交，

.••O。上存在点满足NN〃B=45°,此时满足条件的有两个点河,

过跖作48于尸，作E。，跖尸于E,连接OE,

.•.斯=。〃=10米，（Wi=10企米，

.•.E跖=14米，

.•.0£=\%2_1评2=2米，

:.CMi=BF=8米，

同理。跖=8"+。£=10+2=12（米），

：.MC的长度为8米或12米.

【变式3-4］（1）如图1,线段N8的长为4,请你作出一个以Z8为斜边且面积

最大的直角三角形48c.

（2）如图2,在四边形48CQ中，AD=CD,ZABC=120°,ZADC=

60°,48=4,BC=2,请你求出四边形48CQ的面积.

问题解决：

(3)小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状

如图3所示，并且满足在四边形Z5CD中，AD=CD,ZABC=75°,ZADC

=60°,DB=4,你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时

四边形48CQ面积的最小值；如果不能，请说明理由.

【答案】见试题解答内容

画法：以48为直径画圆。，当点C位于半圆的中点时，直角△4