沪教版七年级数学寒假班讲义 邻补角、对顶角及垂直学生版

邻补角、对顶角及垂线

知识结构

对顶角的定义及性质

邻补角、对顶角及垂线邻补角的定义及性质

垂线段的意义及性质

模块一邻补角的意义和性质

知识精讲

1、平面上两条不重合直线的位置关系

相交：两条直线有一个交点;

平行：两条直线没有交点.

2、邻补角的意义

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为

邻补角.

3、邻补角的性质

互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.

例题解析

【例1】如图，三条直线/8、CD、昉相交于一点。，问一共可以构成多少对邻补角，并

把他们写出来.

【例2】判断：

（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行；（）

（2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交；（）

（3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角.（）

（4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角.（）

【例3】如图，的邻补角是

【例4】如图，0c平分ZAOD=2ZBOD,ZCOD=28°,求乙40C的大小.

C

B

【例5】如图，直线a、b相交，Zl=40°,求/2,Z3,N4的度数.

【例6】如图所示，48、CD相交于点。，OE平分^AOC=120°,求NBOD,

NAOE的度数.

【例7】同一平面上的任意三条直线，可以有个交点.

模块二对顶角的意义和性质

⑥）知识精讲

1、对顶角的意义：

两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关

系的两个角叫做互为对顶角.

2、对顶角的性质：

对顶角相等.

例题解析

【例8】下列说法中，正确的是（）

A.有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角

B.有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角

C.由两条直线相交所成的角是对顶角

D.角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角

【例9】如图，三条直线48、CD.环相交于一点O,问一共可以构成多少对对顶角，并

把他们写出来.

【例101下列图中,

A.B.C.D.

【例11】判断：

(1)有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角.()

(2)相等的两个角是对顶角.()

【例12]若/I与N2是对顶角，N3与/2互余，且N3=60。，那么Nl=

若/I与/2是对顶角，且/I与/2互余，贝1]/1=，Z2=.

【例13］如图，直线48、CD交于点O,则

(1)若Nl+/3=68。，贝ij/l=.

(2)若/2:Z3=4:1,贝！|/2=.

(3)若N2-/1=100。，贝IJN3=

【例14]如图(1)所示，两条直线48与CD相交有几对对顶角？

(2)如图(2)所示，三条直线/8、CD、跖相交有几对对顶角？

(3)试猜想〃条直线相交于一点会有多少对对顶角？

模块三垂线（段）的意义和性质

⑥）知识精讲

1、垂线的意义

如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条

直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2、垂直的符号

记作：“，”，读作：“垂直于"，如：ABLCD,读作’Z2垂直于8”.

注：垂直是特殊的相交.

3、垂直公理：

在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条.简

记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直

4、中垂线

过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.

5、垂线段的性质

联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

6、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.如果一个点在直线

/上，那么就说这个点到直线/的距离为零.

例题解析

【例15】判断：

（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直.（）

（2）两条直线的交点叫垂足.（）

（3）线段和射线没有垂线.（）

（4）两条直线不是平行就是互相垂直.（）

（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离.（）

【例16]如图，ZACB=90°,CDLAB,垂足为点D,那么点3到

线段CD的距离是线段的长度；线段CD的长度是点C

到线段的距离；线段AC是点到线段______的距离.

【例17】下列选项中，哪个是直线/的垂线（

【例18]如图，AC1BC,垂足为C,AC=4,BC=3,那么点/与8C的距离为.

【例19]如图，直线/瓦CD交于点。，OE_LAB,ZAOC:ZCOE=1:2,则

【例20]如图，己知。OCLOD,23OC比N/OC大20。，则/30D的

度数为,c

【例21]如图，一棵小树生长时与地面成80。角，它的主根深入泥土，如果主根和小树

在同一条直线上，那么N2等于多少度?

【例22]如图，已知直线N8、CD相交于点O,OELAB,OB平分NDOF,

4

ZCOF=-ZBOD.求//OC、ZEOD,NCOE的度数.

7

【例23]如图，//OC与48。。是邻补角，如、。£分别是N/OC与N2OC的平分线,

试判断OD与OE的位置关系，并说明理由.

模块四综合运用

例题解析

【例24】下列结论不正确的是（）

A.互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90。

B.相等的两个角是对顶角

C.两直线相交，若有一个夹角为90。，则这四个角中任取两个角都互为补角

D.同角的余角相等

【例25】如图，AB与CD为直线，图中共有对顶角（

A.1对3.2对C.3对D.4对

【例26]如图所示，已知N5、CD相交于。点，OEL4B,/EOC=28°,则

【例27】如图，直线和相交于。点，OCUD,ZCOE=70°,求//O8的度数.

【例28]如图，已知CD、相交于点。，ABLCD,0G平分乙4。£,

/FOD=28°,求NCOS、NAOE、//OG的度数.八

【例29】已知直线48、CD、即相交于点0,Zl：Z3=3：1,Z2=20°,求的

度数.

A

【例30]如图，直线/8、CD相交于点。，OE平分'NBOD,且N/OC=N/O£>—80。,

求/的度数.

随堂检测

【习题1】下列语句中正确的是（）

A.过直线的中点且和垂直的直线叫做中垂线

B.过线段CD的中点且和CD垂直的直线叫做CD的中垂线

C.和直线N8相交且过N点的直线是N3的中垂线

D.和线段N2相交且成90度的直线是的中垂线

【习题2】如图，直线a,b相交，Z1=40°,贝！]/2=，Z3=，Z4=

【习题3】如图，直线/2、CD、E厅相交于点。，/30E的对顶角是,/CO尸的

邻补角是,若/幺OE=30。,那么，ZBOF=

【习题4】如图，直线/8、CD相交于点O,/COE=90°,ZAOC=30°,ZFOB=90°,则

ZEOF=________

AF

【习题5】如图所示，AB、CD相交于点。，。£平分NNOD,ZAOC=120°,

求N8O。，的度数.

【习题6】如图所示，直线a,b,c两两相交，Z1=2Z3,Z2=65°,求/4的度数.

【习题7】如图，直线/2、CD、E产相交于点。，ZAOE=40°,ZBOC=2ZAOC,

求乙DO尸.

A—

E

【习题8］如图，已知/2与/BOD是邻补角，OE平分/BOD,O尸平分/COE,

Z2：Zl=4：1,求N/O厂的度数.

【习题9】已知点。是直线上一点，0C,0。是两条射线，且则/

NOC与/8OD是对顶角吗?为什么?

课后作业

【作业1】判断：

（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（）

（2）//与互为邻补角，所以他们相等（）

（3）/I和/2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么/1=/2=90。（）

（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（）

（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）

（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（）

（7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）

【作业2】如图所示CD相交于点O,EOLAB^-O,尸O_LCD于。，与的大

小关系是（）

A./EOD比/FOB大

B./EOD比/尸08小

C./EOD与//。8相等

D.与/尸03大小关系不确定

【作业3】如图，一辆汽车在直线形的公路N3上由/向8行驶，C,。是分别位于公路

两侧的加油站.设汽车行驶到公路上点”的位置时，距离加油站C最近；行驶

到点N的位置时，距离加油站。最近，请在图中的公路上分别画出点M,N的位置并

说明理由.

AB

£>>

【作业4】如图，/O3为直线，ZAOD；ZDOB=3；1,0D

平分NCO8.

（1）求的度数；（2）判断与。。的位置关系.

【作业