直线与圆、圆与圆的位置关系-2025年高考数学备考复习

第八章平面解析几何

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

课标要求命题点五年考情命题分析预测

直线与圆2022新高考卷UT15；2021本讲是高考的命题热点，主

的位置关新高考卷IIT11；2021全国要考查：（1）直线与圆的

1.能根据给定系卷甲T20位置关系的判断，圆与圆的

直线、圆的方圆的弦长2023新高考卷IIT15；2023位置关系的判断，切线问

程，判断直线问题全国卷甲T8；2021北京T9题，弦长问题；（2）将圆

与圆、圆与圆2023新高考卷IT6；2022新的方程及几何性质，直线与

的位置关系.圆的切线高考卷IT14；2022全国卷甲圆、圆与圆的位置关系作为

2,能用直线和问题T14；2020全国卷IT11；研究圆锥曲线几何量的条件.

圆的方程解决2019全国卷HIT21主要以选择题、填空题的形

一些简单的数式出现，也可能作为解答题

学问题与实际的一部分考查，难度中等.在

圆与圆的

问题.2022新高考卷IT142025年高考的备考中重视常

位置关系

规考向的同时注意与圆锥曲

线的综合命题.

6学生用书P177

1.直线与圆的位置关系

设圆。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d,则

位置关系相离相切相交

G%

图形

公共点个数012

代数法/①<0/②=04③〉0

判定方法

几何法d@>rd®)=rd®<r

常用结论

与圆的切线有关的结论

222Q

(1)过圆(x—a)+Cy-b)=r(r>0)上一点P(xo,1yo)的切线方程为(x°—)

(X-Q)+(yo-b)(y~b)=r2；

(2)过圆C：(%—a)2+(y—b)2=r2(r>0)外一点尸(xo,yo)作圆C的两条切线，

切点分别为4B,贝I尸，A,B,。四点共圆，且45所在直线的方程为(回一a)(x—a)

+(次一b)(>—b)=r2；

(3)若圆的方程为(X—Q)2+(y—6)2=r2(r>0),则过圆外一点尸(祝，次)的切线

22

(%-+(y0一方)~r2.

J0

2.圆与圆的位置关系

(1)设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为七r(R>r),则

位置关系外离外切相交内切内含

©

图形

公共点个数01210

⑨R~r<d<R

d,R,尸的关系⑦d>R+r⑧d=R+r⑩d=R-r⑪d<R-r

十尸

公切线条数⑫4⑬3⑭2⑮10

(2)两圆相交由h公共弦所在直线的方程

22

设圆Ci：工2+产+。遂+£1了+尸i=0(*),圆。2：x+y+D^+E2y+F2^0(**),

I

若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由(*)-(**),得(A—x+(£-£2)y+Fx

一尸2=0(***).方程(***)表示圆Ci与圆C2的公共弦所在直线的方程.

注意(1)方程(***)存在的前提是两圆相交；(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的

圆心.

规律总结

圆系方程

过直线4%+坊+。=0与圆x2-\-y2-\~Dx+Ey%2+产+瓜+身+尸+7(4%+坊+C)=0

+F=0交点的圆系方程(2£R).

12+俨+。］%+£］/+/］+丸(X2+J^+D2X+

过圆工2+/+。］%+©^+/］=0和圆

历人+后)=0(7W—1)(该圆系不含圆

炉+/+。加+及、+凡=0交点的圆系方

。2,解题时，注意检验圆G是否满足题

程

意).

I［二三力

1.［多选］下列说法正确的是(AD)

A.若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切

B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交

C.“左=1”是“直线x—y+左=0与圆/+y=1相交”的必要不充分条件

D.过圆。：/+产=户外一点p（祝，/）作圆的两条切线，切点分别为4,B,则。，P,

A,3四点共圆且直线48的方程是》0%+次了=户

2.［易错题］若半径为1的圆C与圆（x+1）*2+（7-2）2=9相切，则圆C的圆心C的轨迹

方程为G+1）2+（y—2）2=16或（x+1）2+（y—2）2=4.

解析若两圆外切，则点C与点（一1,2）间的距离为4,点。在以（—1,2）为圆心，4

为半径的圆上，此时点C的轨迹方程为（x+1）2+（了-2）2=16；若两圆内切，则点C

与点（一1,2）间的距离为2,点C在以（-1,2）为圆心，2为半径的圆上，此时点C

的轨迹方程为（x+1）2+（_y—2）2=4.

3.［易错题］已知圆C：/+产=9,过点P（3,1）作圆C的切线，则切线方程为丑=3或

4x+3y-15=0

解析由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x=3,满足题意；当切线斜

率存在时，设斜率为左，则切线方程为＞-1=后（x-3）,即fcc-y+1-3左=0,由

"xo—o+i—3/H=3,解得后=一二所以切线方程为4x+3y—15=0.综上，切线方程为x=3

J/+（-1）23

或4x+3y—15=0.

4.过两圆N+y2—2y—4=0与7+/一4%+27=0的交点，且圆心在直线/：2x+4j-l=0

上的圆的方程为广+俨―3x+y—1=0.

解析易知x2+y2—2y—4=0不符合题意，设所求圆的方程为％2+y2—4x+2y+A（x2+

y2-2y-4）=0（A。-1）,

则（1+为）以+（］+九）炉+（2—2X）y—4X=0,

把圆心坐标（二，二）代入直线/的方程2x+4y—1=0,可得入=9，故所求圆的方程为N

1+41+Z3

-\-y2-3x-\-y—1=0.

5.［浙江高考］已知直线歹=b+6（左＞0）与圆，+炉=1和圆（%—4）2+炉=1均相切，则

k7=—悔,b7=一2V3.

一3--------3-

解析解法一因为直线3；=京+6（左＞0）与圆/+、2=1,圆（x—4）2+炉=1都相切，

IbII4/c+bI1jV3,2V3

所以•=1,付左=石，b=~~

y/l+k2Ji+H

解法二因为直线歹=履+6（左＞0）与圆N+y2=l,圆（x-4）2+y2=l都相切，

所以直线歹=Ax+6必过两圆心连线的中点（2,0）,

所以2左+6=0.设直线＞=京+6的倾斜角为。，则sin8=9，又左＞0,所以所以左=

26

。7

t,an7n=—V3,b,=-2k=——2V3-.

63'3

。学生用书P178

命题点1直线与圆的位置关系

例1(1)［多选/2021新高考卷II］已知直线/：ax+by-r2^Q(r>0)与圆C：7+产=户,

点/(a,b),则下列说法正确的是(ABD)

A.若点/在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点/在圆。内，则直线/与圆C相离

C.若点/在圆。外，则直线/与圆C相离

D.若点/在直线/上，则直线/与圆C相切

解析对于A,若点N(a,b)在圆C上，则所以圆心。(0,0)到直线/的

距离d=r,所以直线/与圆C相切，故A正确；对于B,若点N(a,b)在圆C

2

内，则层+〃<”,所以圆心C(o,0)到直线/的距离d=」r—>r,所以直线/与圆C

a2+b2

相离，故B正确；对于C,若点/(a,6)在圆C外，则层+62>』，所以圆心。(0,0)

到直线/的距离d=二一O,所以直线/与圆C相交，故C不正确；对于D,因为点/

/a2+b2

在直线/上，所以层+尻=八，圆心C(o,0)到直线/的距离d=J——=r,所以直线/

la2+b2

与圆C相切，D正确.故选ABD.

(2)［2022新高考卷n］设点/(-2,3),B(0,a),若直线关于y=a对称的直线

与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则。的取值范围是」.

解析解法一由题意知点4(—2,3)关于直线y=a的对称点为4(—2,2a—3),所

以kA，B=号,所以直线的方程为即(3—a)x—2y+2a=0.由题意知直线

与圆(x+3)2+3+2)2=1有公共点，易知圆心为(-3,-2),半径为1,所以

Iy+<「X—2：+2al小屋整理得6a2—11.+3W0,解得占忘|,所以实数°的

J(3-a)2+(-2)2'-

取值范围是与|］.

解法二设已知圆关于直线y=a的对称圆为圆C,则易知圆心。(-3,2a+2),半径

r=1.

又直线45的方程为歹=与当+。，即(4一3)x~2y+2a=0.

于是，根据题意可知直线48与圆。有公共点，从而可得@一1(-3)_2(2a+2姿"wi整

J(a-3)+(-2)

理得6a2—11Q+3W0,解得.故所求Q的取值范围是［：,|］.

方法技巧

直线与圆的位置关系的判断方法

几何法由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.

代数法联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用△判断.

点与圆的位

若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.

置关系法

注意在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离

易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离不易表达，则

用代数法.

训练1（1）直线/：机x—y+1—加=0与圆C：x2+（y—1）2=5的位置关系是（A）

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

mx~y+1—m=0,

解析解法一（代数法）由）2消去外整理得（1+m2）%2—2m2x+

x2+（y—1）=5,

m2—5=0,

因为A=16加2+20>0,所以直线/与圆C相交.

解法二（几何法）由题意知，圆心C（。，1）到直线/的距离占扁<1〈后故直线

/与圆C相交.

解法二（点与圆的位置关系法）直线/:—y-\-1一机=0过定点（1,1）,因为点（1,

1）在圆广+（y-1）2=5的内部，所以直线/与圆C相交.

⑵[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知圆C：/+产=16上恰有3个点到直线/：y=

信+6（6>0）的距离等于2,则6的值为4.

解析如图，分别作直线/1,心与直线/平行，且与直线/的距离均zZ|；

为2.圆C:x2+y2=]6,则圆心坐标为（0,0）,半径，=4.圆心

（0,0）到直线/:伍一y+6=0的距离d=*.因为圆。上恰有3/V/）；

个点到直线/的距离等于2,由图可知，圆C与&相切，与人有2个:十

交点，（转化为圆C与直线/1,6的位置关系）

则『+2-4，得|2’又心0,所以6=4.

[d-2<4,也<6,

I2

命题点2圆的弦长问题

例2⑴[2023全国卷甲]已知双曲线C：捻一芸=1（。>°，6>0）的离心率为病。的

一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于/,3两点，贝I][48|=（D）

V5„2V53V54V5

AA-TB-C-D-

解析根据双曲线的离心率？=遮=£,得°=遍4,即02=5次，即Q2+62=5〃2,所以加=

a

2

4屋，/h=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交.

（V=2%,

解法一由22得5/—16x+12=0.设/（xi,yi）,B（%2,

、（%—2）+（y—3）=1,

H)，则Xl+%2=£,Xlx2=£.所以IABI=)1+22IX\—X2I=V5XJ(y)2—4Xy=

4V5

—故选D.

解法二则圆心（2,3）到渐近线y=2x的距离d=2x2-31_=且,所以|/台|=

业+（-D2

2Jl-d2=2Jl-(y)2=呼，故选D.

（2）[2023新高考卷n]已知直线x-my+l=0与。C：1）2+^=4交于出8两点,

写出满足“△/3C面积为表的正的一个值.2（答案不唯一）.

解析设直线x—叼+1=0为直线/,由条件知。C的圆心C（1,0）,半径R=2,C到

直线/的距离二彳（提示：点（xo,次）到直线4x+玫+C=0的距离d=

yjl+m2

I®=2

IA^+Byo+CI)=2J4-得

A2+B2

14ImI2—8

ixv7^xv7S=?整理得2"”一5ImI+2=0,解得加=±2或加=±g.

方法技巧

求解圆的弦长问题的方法

设直线/被圆C截得的弦为圆的半径为八圆心到直线的距离为d,则I

几何法

ABI=2』"一.在解决圆的弦长问题时，多用几何法.

若斜率为左的直线与圆相交于/（XA,〃），B（XB,"）两点,W\AB\=

代数法Vl+fc2-IXA—XB\=1+-7IyA—yeI(其中左WO).特别地，当后=0时，I

AB\=\XA—XBI;当斜率不存在时，I4SI=IyA—yBI.

训练2（1）[2021北京高考]己知圆C：/+产=4,直线/：y=kx+m,当人的值发生变化

时，直线/被圆C所截得的弦长的最小值为2,则机的值为（C）

A.±2B.±V2C.+V3D.±3

解析解法一（几何法）设直线/与〉轴交于点4（0,m）,由题意知，圆心。（0,

0）,当左的值发生变化时，要使直线/被圆。所截得的弦长最小，则圆心C到直线/的距

离最大，为IACI,即I加I=J22-12=V3,所以m=±V3.

解法二（代数法）由1“+,4'得（左2+］）/+2加a+加2—4=0.设交点/（xi,

（y=kx+m

（I-2km

%1+久2=，,_______

"12

”），B（X2,>2）,则｛?+则I45I=V1+kIXI—X2I=

XiX=-^——.

V1z?k2+l

Kl+k2.J（a+%2）2—4%62=\1+北］（若）2-4.黑=2J4—黑.

显然当左=0时，弦长取得最小值2』4-m2=2,解得加=土国.

（2）［多选/2024南京市第五高级中学模拟］已知圆O：7+产=9,过点/（2,0）的直线/

与圆。交于M,N两点，则（BD）

A.存在直线/,使得IMVI=4

B.使得IMNI为整数的直线/有3条

C.存在直线/,使得△MCW的面积为1

D.存在直线/,使得△VON的面积为竽

解析因为圆。的半径为3,I0/I=2,所以26IACVI<6,即I

MNIW6,故A不正确.

若I为整数，则IMNI=5或II=6,且满足IMNI=5的直线/有2条，满

足IMNI=6的直线有1条，故B正确.

S&MON=（IOMIION\sinZMON^|sinAMON,且点。到直线/的距离的最大值为2.

若S=2,则sin/M9N=l,则/MON=E,则。到直线/的距离为3cos2=迪>2,不符合

2242

条件，故C不正确.

若5=学，则sin/VON=f,则NMON=g或与若NMON=］,则。到直线/的距离为

3cos-=—>2,不符合条件；/MON="则。到直线/的距离为3cosW=：<2,符合条

62若332

件，故D正确.故选BD.

命题点3圆的切线问题

例3［2023新高考卷I］过点（0,—2）与圆N+/一4x—1=0相切的两条直线的夹角为a,

则sina—（B）

A.1B.孚C.孚D萼

444

2222

解析如图，x+y—4x—l=0,即(x—2)+y=5f所以圆心坐标

为(2,0),半径一=遮，所以圆心到点(0,-2)的距离为

J(2—0)2+(0+2)2=2夜，因为圆心与点(0,-2)的连线平分

角％所以sing=V==T==乂皿，所以cos2=些，所以sina二

'22V22V24'24’

r.aacV10V6V15,,、虫„

2sin—cos—=2x—x—=—.故选B.

22444

例4已知点P(V2+1,2—内，点、M(3,1),圆C：(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆。的切线方程，并求出切线长.

解析由题意得圆心C(l,2),半径厂=2.

(1)(V2+1—1)2+(2—V2—2)2=4,.•.点P在圆C上.

又kpc=2「22=一］,，切线的斜率后=一J_=l.

V2+1—1kpc

...过点尸的圆C的切线方程是y—(2—V2)=x—(V2+1),即x—y-\-I—2A/2=0.

(2)(3-1)2+(1-2)2=5>4,

...点M在圆C外部.

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,即x—3=0.又点C(1,2)到直线x-

3=0的距离d=3~l=2=r,

即此时满足题意，,直线x=3是圆的切线；

当切线的斜率存在时，设切线方程为y—1—k(x—3),即fcr—了+1—3左=0,则圆心。到

1

切线的距离“二上当一3"=厂=2,解得后=三.

Vfc2+i4

O

丁・切线方程为y—1=-(x—3),即3x—4y—5=0.

4

综上可得，过点M的圆。的切线方程为X—3=0或3x—4y—5=0.；IA/CI=

/22

J(3—1)+(1—2)=V5,

二・过点M的圆。的切线长为JIMCI2一丁2=Js—4=1.

方法技巧

1.求过圆。上一点尸(X0,yo)的切线/方程的方法

利用OP与/垂直及/过点尸求切线方程.

2.求过圆外一点的切线方程的方法

几何法设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.

设出直线方程，再与圆的方程联立，得到一个关于X或y的一元二次方程，利用△

代数法

=0求解.

注意(1)求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.(2)设直线方

程时注意对斜率是否存在进行讨论.

3.过圆外一点M作圆的切线，求切线长的技巧

先求M与圆心的距离d,再由勾股定理求得切线长为Jd2一/(其中厂为圆的半径).

训练3(1)[2023重庆市二调]已知直线/：x—了+8=0与x轴交于点/,过直线/上的动

点尸作圆工2+产=16的两条切线，切点分别为C,D,则直线CD恒过定点的坐标为

2,2)；若M是线段CA的中点，则IAMI的最小值为4a.

解析解法一设点尸坐标为(xo,jo),。为坐标原点，连接OP,易证C,。两点在以

O尸为直径的圆上，故C,D两点为此圆与圆N+产=16的交点，由

(x2+y2=16,

《221化简得xox+yoy=16,此方程即直线CD的方程，

((T)+(y-?)得(焉+泓

又点P是直线/上的动点，所以次)=xo+8,所以直线CD的方程为xox+(xo+8)y=l6,

即xo(x+y)+8y=16.当x+y=0,8y=16时，y=2,x=—2.故直线CD过定点(一2,2).

令定点为尸，由OA/_LCD知，OMLMF,又IO尸I=2应，所以点M在以O尸为直径的圆

上，其轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=2,设圆心为N,则N(—l,1).又/(-8,

0),\AN\=J(—1+8)2+l2=5V2,故I/Ml的最小值为5鱼一鱼=4夜.

解法二依题意，设点尸坐标为(xo,x0+8),贝CD:xox+(x0+8)y=16.(二级结

论：从圆外一点尸(xo,次)，引圆/+/=”的两条切线，切点弦所在直线的方程为xox+

yoy=r2')

后同解法一.

(2)[2021天津高考]若斜率为皆的直线与y轴交于点/,与圆r+(y—i)2=i相切于

点B,则IABI=W.

解析设直线48的方程为>=岳+6,则点/(0,b),由于直线48与圆好+

=1相切，且圆心为C(0,1),半径为1,则“21।=1,解得b=-1或6=3,

I22

所以INCI=2,因为13cl=1,所以II=JIACI~\BC\=V3.

命题点4圆与圆的位置关系

角度1圆与圆位置关系的判断

_22

例5[2023安徽省十校联考]已知直线/：小+y一3%—2=0与圆M:(x—5)+(y-4)=

25交于4,3两点，则当弦最短时，圆M与圆N：(x+2机)2+产=9的位置关系是

(B)

A.内切B.外离C.外切D.相交

解析易知直线/:mx~\-y—3m—2=0即加(x—3)~\-y—2=0,可知/过定点尸(3,2),

因为(3-5)2+(2-4)2<25,故尸(3,2)在圆(工一5)2+(歹一4)2=25内.故弦

45最短时直线/垂直于W,入kpM=---=1,所以IX(一加)=—1,解得加=1,此时

5—3

圆N的方程是(x+2)2+/=9.两圆圆心之间的距离

=J(5+2)2+(4—0)2=相，两圆半径分别为5,3,又闻>闹=5+3,所以这两圆

外离.故选B.

角度2两圆的公切线问题

例6[2022新高考卷I]写出与圆/+产=1和(x—3)2+⑶—4)2=16都相切的一条直线

的方程x=—1(答案不唯一).

解法一如图，因为圆x2+y2=1的圆心为。(0,0),半径n=l,]

圆(x—3)2+(y—4)2=16的圆心为4(3,4),半径-2=4,所

以I04I=5,n+r2=5,所以IOAI=n+r2,所以两圆外切，公

切线有三种情况：①易知公切线/1的方程为X=-1；②另一条公切

/If

线/2与公切线/1关于过两圆圆心的直线/对称，易知过两圆圆心的直

A(%=-1,\X=-1,4

线/的方程为歹=京，由4得4由对称性可知公切线，2过点(T,一£),

3\y=sXf3=一“

设公切线心的方程为(x+1),则点。(0,0)到/2的距离为1,所以1=

Ik_4I

；,解得人=工，所以公切线/2的方程为/+±=工(x+1),即7x—24v—25=0;③还

V/c2+l24324

有一条公切线/3与直线/：尸会垂直，设公切线/3的方程为尸一|x+f,易知f>0,则点

O(0,0)到/3的距离为1,所以1=-^=⑴，解得/=§或/=一2(舍去)，所以

J(哼2+(7244

公切线/3的方程为y=—|x+],即3x+4y—5=o.综上，所求直线方程为x=-1或7x—

24y—25=0或3x+4y—5=0.

解法二若两圆公切线的斜率不存在，则设其方程为x=冽，由题意得I冽1=1,且I加一

3I=4,解得加=—1,所以此时两圆公切线的方程为x=­l.

若两圆公切线的斜率存在，则设其方程为y=fcc+6,由题意得一工=1,当聿”=4,

'Vfc2+iVfc2+i

所以有I3左一4+bI=4IbI,所以可得3-4+b=±4b,即6=左一(或6=3一|上

将—9弋入&==1化简可得后=(，6=—奈

3Vfc2+12424

将b=-k代入1化简可得k=6=3

55jH+i44

则可得两圆公切线的方程为尸方一II或尸-；x+|,

即7工一24'一25=0或3%+4歹一5=0.

综上，可知两圆公切线的方程为x=-l或7%—24^—25=0或3x+4j—5=0.

角度3两圆相交的公共弦问题

例7圆Ci：x2-i-y2—2x+10y—24=0和圆C2：x2-\-y2-\-2x-\-2y—8=0的公共弦所在直线的

方程为x—2》+4=0,公共弦长为,迷

解析联立两圆的方程，得［c'+、’两式相减并整理得%—2》+4=

ix2+y2+2%+2y—8=0,

0,所以两圆公共弦所在直线的方程为x~2y+4=0.

解法一设两圆相交于点4(xi,yi),B(%2,歹2),贝寸4,5两点的坐标满足

「f+4=°,解得卜i=—%或卜2=。，所以|切=

1%2+y2+2%+2y—8=0,(7i—。(72=2.

/22

J(0+4)+(2—0)=2遥，即公共弦长为2V1

解法二由丫2+产一2x+10y—24=0,得(%-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,

-5),半径厂=5近，圆心到直线x—2y+4=0的距离/=上詈叁詈•=3代.设公共弦

长为2/,由勾股定理得户=解+/2,即50=(3V5)2+/2,解得/=遮，故公共弦长2/=

2V5.

方法技巧

1.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间

的关系，一般不采用代数法.

2.两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于

两圆的半径列方程组求解.

3.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.

训练4(1)［2023湖南省六校联考］在平面直角坐标

系xQy中，圆C的方程为/+/一8工+15=0,若直线了=履一2上至少存在一点，使得以

该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则后的最大值是(B)

43

A.OB.?C.4D.7

34

解析圆C的方程为N+y2—8x+15=0,则圆C的标准方程为(x—4)2+j^2=l,则圆C

是以。(4,0)为圆心，1为半径的圆.若直线》=而一2上至少存在一点，使得以该点为圆

心，1为半径的圆与圆。有公共点，则圆心C到直线＞=点一2的距离1W2,即

I4/C-2IW2,解得0W后即左的最大值为(故选B.

(2)［多选Z2023海南省文昌中学模拟」已知圆5：y2+俨一2^—3=0和圆。2：x2+y2-

2y—1=0的交点为/,B,直线/：x+y+九=0与圆。1交于C,。两点，则下列结论正确

的是(CD)

A.直线AB的方程为x—了+应=0

B.圆。2上存在两点尸和Q，使得IP0I>IABI

C.圆。1上的点到直线48的最大距离为2+&

D.若。iC_LOiZ),贝队=—3或入=1

解析圆。1的圆心为(1,0),半径口=2,圆。2的圆心为。2(0,1),半径厂2=

I22

V2,所以|OQ2I=1(1—0)+(0—1)=V2,n—尸2VI。1。2I<片+尸2,所以两圆

相交，所以将两圆的方程作差可得直线的方程，为X—y+l=0,故A错误；

圆心5到直线48的距离为由=专=&,所以IABI=2］亦-青=2鱼,对于圆。2上的

任意两点P,Q,IPQI<2厂2=\AB\,故B错误；

圆。1上的点到直线48的距离的最大值为4+n=2+企，故C正确；

因为OiC_L。。，所以圆心Q到直线CD的距离为鱼,所以以沙=鱼,故九=一3或九=

V2

1,故D正确.故选CD.

1.［命题点1,2/多选4024甘肃酒泉联考］下列关于直线/：>=履+6与圆C：N+f=l的

说法正确的是(ABD)

A.若直线/与圆C相切，则尻一炉为定值

B.若4〃一后2=1,则直线/被圆C截得的弦长为定值

C.若4〃一a=1,则圆上仅有两个点到直线I的距离为日

D.当6三时，直线与圆相交

解析圆C:/+产=1的圆心为(0,0),半径为1,

对于A选项，若/：与圆C：N+y2=i相切，

则可得炉一左2=1,A正确；

V/c2+l

对于B选项，若4加一乃=1,则圆心到直线的距离为工，此时直线被圆截得的弦长为

V/c2+l2

2J12-(1)2=V3,B正确；

对于C选项，由B选项知，圆心到直线的距离为］=1一也此时圆上有3个点到直线/的距

离为C错误；

对于D选项，当时，直线的方程为尸船+也即直线过定点(0,5,又02+(丁＜

1,可得点(0,1)在圆内，故直线与圆相交，D正确.

故选ABD.

2.［命题点1,4/多选/2024河源中学模拟］已知圆。：N+f=4和圆c：3)2+⑶一

3)2=4,P,0分别是圆。，圆C上的动点，则下列说法错误的是(AC)

A.圆。与圆C相交

B.\PQ\的取值范围是［3近一4,3V2+4］

C.x—y=2是圆。与圆C的一条公切线

D.过点。作圆。的两条切线，切点分别为N,则存在点。，使得NM0N=9O。

解析对于A选项，由题意可得，圆。的圆心为。(0,0),半径打=2,圆C的圆心为

C(3,3),半径々=2,因为两圆的圆心距IOCI=3应＞2+2=n+/2,所以两圆外

离，故A错误；

对于B选项，IP。I的最大值为IOCI+n+/2=3a+4,最小值为IOCI一口一/2=

3V2-4,故B正确；

对于C选项，显然直线x-y=2与直线。。平行，因为两圆的半径相等，所以其外公切线

与圆心的连线平行，由直线。C:y=x,设外公切线为＞=》+/,则两平行线间的距离为

2,即昙=2,f=±2&,故y=x±2近，故C错误；

对于D选项，易知当/MQV=90°时，四边形OMQV为正方形，故当IQOI=2/时，

NMQN=90。,因为圆/+俨=8与圆。相交，所以圆C上存在点0,使得NM0N=9O。.故

D正确.故选AC.

3.［命题点22023高三名校联考(一)］若直线区一7+1-2左=0与圆工2+产=9分别交于

M,N两点，则弦儿W长度的最小值为4.

解析由fcc—y+l—2左=0,得左(x—2)+(-j+1)=0,所以直线fcc-y+1—2左=0过

定点/(2,1).圆工2+y=9的圆心。(0,0),半径r=3,易知/(2,1)在圆/+产=

9的内部，连接CM,则当直线依一y+1—2后=0与。/垂直时，弦的长度最小，连接

/22

OM,则IOM\=r=3,又I0/I=1(2-0)+(1-0)=代，所以IMNImin=

2J32—(V5)2=4,所以弦长度的最小值为4.

4.［命题点3,4］过点。(1,-2)作圆C：(x-1)2+产=1的两条切线，切点分别为

A,B,则弦A3所在直线的方程为(B)

A.2j-l=0B.2y+l=0

C.x+2y—l=0D.x—2y+l=0

解析解法一由圆C：(x—1)2-\~y2=1的方程可知其圆心为C(1,0),半径为1.

连接CO,易得以线段CD为直径的圆的方程为(X-1)2+3+1)2=1.

将两圆的方程相减，可得公共弦Z8所在直线的方程为2y+l=0.故选B.

解法二由与圆的切线有关的结论，得弦AB所在直线的方程为(1-1)(x—1)+(-

2)y—1,即2y+l=0.

5.[命题点4角度1]己知圆G：N+(y-2)2=4与圆C2：x2+2mx+y2+m2-1=0

三条公切线，则小的取值范围是(D)

A.(—8,—V5]B.[V5,+0°)

C.E-V5,V5]D.(-8,-V5]U[V5,+8)

解析圆G的圆心为G(0,2),半径n=2.把圆C2的方程化成标准方程，得(x+加)2

+y2=l,所以圆C2的圆心为C2(-W,0),半径厂2=1.因为圆C1与圆C2至少有三条公切

线，所以圆C1与圆。2相离或外切，所以IC1C2|2厂1+厂2,即•血2+423,解得zwW—4

或m^y/5.

6.[命题点4角度3/多选/2023江西省五校联考]已知圆。：(x-2)2+(y-2)2=2,。为

坐标原点，以。。为直径作圆。，交圆。于4,3两点，则△0/2的面积为(A)

A.—B.—C.3D.-

242

解析如图，根据题意，圆。的圆心为。(2,2),则II=

2V2,以。0为直径作圆。，则。，为。。的中点，则。(1,1),圆

。的半径为I。。I=应，故圆。的方程为(x-1)2+