数列中含绝对值及奇偶项问题-2025年高考数学备考复习

第五章数列

突破1数列中含绝对值及奇偶项问题

6学生用书P105

命题点1数列中含绝对值的求和问题

例1[2023全国卷乙]记S为等差数列⑷｝的前〃项和,已知。2=11,Sio=4O.

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）求数列｛Ia”I｝的前〃项和T„.

解析（1）设｛涮的公差为d,则4=11,

Si。=10%+45d=40,

解得ai=13,d=-2.

所以｛斯｝的通项公式为斯=13+（八一1）X（—2）=15—2n.

15—2n,n<7,

（2）由（1）得I诙I=

2n—15,n>8.

当〃W7时，7“=《=13〃+:‘丁〉X（-2）=14〃一层，

2

当〃三8时，Tn——S”+2s7=—（14〃一"）+2（14X7—72）=98—14«+«.

,,.fl4n—n2,n<7,

综上，北=｛

198—14n+n2,n>8.

方法技巧

一般地，数列｛I｝与数列｛斯｝是两个不相同的数列，只有数列中的每一项都是非负

数时，它们表示的才是同一数列.因此，求数列｛I｝的前〃项和时，应先弄清〃取什么

值时斯20或许<0,去掉绝对值符号后再求和.

训练1[2023长沙一中5月三模]已知数列UJ满足2a"+i=a"+a”+2（〃GN*）,它的前"项

和为必，且03=—25,S6=~144.

（1）求S,的最小值；

（2）求数列｛Ia"｝的前"项和Tn.

解析（1）由2斯+1=。”+。"+2可得a”+i—a”=a0+2—。”+1,所以｛a,J是等差数列.设｛"”｝的公

所以S=—29〃+n><2="一30"=(n-15)2-225,

所以当〃=15时,&取得最小值一225.

(2)由(1)知为=-29+(n-1)X2=2〃一31,则当〃W15时，a„<0,当“216时,

Cln〉*0.

=

当〃W15时，Tn=—Sn一/+30%

当场216时，T〃=—SI5+S“一S5=〃2—30〃+450.

,,.f—n2+30n,n<15,

综上，Tn=\9

In2—3On+450,n>16.

命题点2数列中的奇偶项问题

例2[2022天津高考]已知｛斯｝是等差数列，其前〃项和为*,｛儿｝是等比数列，。1=历=。2

一历=的一63=1.

(1)求｛斯｝，｛匐的通项公式.

(2)证明：(S〃+l+q典+1)bn—Sn+l.b〃+lSn'bn>

2n

(3)求2[*i—(—1)kak]bk.

k=l

解析(1)设等差数列｛斯｝的公差为d,等比数列｛儿｝的公比为9，根据Ql=bl=Q2一历=

]+d—a=1

'解得d=g=O(舍)或d=q=2,

｛l+2d—q2=l,

所以斯=2n—1,b〃=2"1.

(2)解法一因为S"为数列｛斯｝的前〃项和，所以S尸

则(S"+i+a〃+i)6"=[(〃+1)2+2(«+1)—1]2厂1=(/+4〃+2)-2^',

=2n2nh22wl

Sn+rbn+i~Snbn(〃+D-2—n'21=2〃[2(篦+1)—«]=2-(层+4〃+2),

所以(S"+l+tZ〃+l)bn—Sn+1'bn+l—Sn'bn-

解法二因为为数列｛%｝的前〃项和，所以(S〃+I+Q"+I)bn=(S〃+q〃+i+斯+1)bn=

(S〃+2Q〃+Dbnf

=

Sn+1'bn+1Sn'bn(S“+〃"+i)•(2bn)—Sn'bnbn(2S〃+2a〃+i—S“)=(8〃+2斯+1)bn,

所以(S〃+l+。〃+1)hn—Sn+\"bn+1Sn'bn-

n

(3)令Q=[Q"+I—(—1)aAbn,

当〃为奇数时，cn—(即+i+斯)bn—(2〃+l+2〃-1)1=4力2"一i=力2"+1,

=

当〃为偶数时，cn(即+i—斯)bn—(2〃+1—2〃+1),2"-1=2X2"-1=2",

2n

则E[四+1-(-1)kak\bk=(01+03+05+…+。2〃_1)+(02+04+06+…+。2〃),

k=l

2462w

令「=。1+。3+。5H---I-C2n-1=1x2+3X2+5X2H----F(2〃一1)-2,

则4〃=1X24+3X26+5X28H----F(2n~l)-22n+2,

所以—3322+2(24+26+…+2S—⑵T)磔J+ZX〃一⑵一

1)1由，

20+(6九一5)・220+2

所以T„=

9

令4〃=C2+c4+c6H---FC2«=22+24+26H----F22n=-(14-=----

2n

所以2［四+i—(T)kak\bk=T-\-A=-

fc=inn

方法技巧

解答与奇偶项有关的求和问题的关键

(1)弄清〃为奇数或偶数时数列的通项公式.

(2)弄清〃为奇数时数列前”项中奇数项与偶数项的个数.

训练2[2023南京六校联考]已知数列｛即｝满足0=1,z=3,数列仍"｝为等比数列，且满

bn(a”+ia”)-bn+1.

(1)求数列UJ的通项公式；

(2)已知数列出,｝的前〃项和为S”若,记数列｛金｝满足c“=

在①2s2=S3-2,②历，2a3,友成等差数列，③$6=126这三个条件中任选一个，补充在第

(2)问中，并对其求解.

解析(1)因为儿(“+1—a”)=bn+1,ai=l,a2=3,

所以令〃=1,得2bl=l>2,

又数列｛儿｝为等比数列，所以“+i=26“，即数列仍/的公比为2.

则a”]—诙=2,所以数列｛斯｝是以1为首项，2为公差的等差数列，所以以=2〃-1.

(2)由(1)知数列｛从｝是公比为2的等比数列.

若选①，由2s2=邑一2得2(61+26D=61+261+461—2,所以4=2,则儿=2".

若选②，由左，2a3,友成等差数列得62+64=403,即26+84=20,所以6=2,则小=

若选③，由$6=126得如;3"=126,所以4=2,则儿=2".所以以=

0九一1,九为奇数，

l2n,n为偶数.

所以数列｛c,J的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项，4为公

比的等比数列.

所以T2rl=(。1+。3H---ba2n-l)++------\~bln)

[[命题点1]设等比数列｛斯｝的前，项和为m=l,&=13.

(1)求

(2)若｛斯｝是递增数列，求数列｛Ian-n-2I｝的前几项和.

解析(1)设等比数列｛斯｝的公比为q.

由题意得Qi+qq+aq2="，即l+q+q2=i3,解得乡=3或q=-4.

故斯=3"一1或许=(-4)"I.

(2)由(1)知，斯=3"-1.令Ian—n—2I=I3〃一】一〃一2I.

由3"一i—n—2三0,得3"-1三九+2,所以〃23.由3〃一1一n—2<0,得几W2,即〃=1,2.

设数列｛Ian-n~2I)的前n项和为Tn,则「=61+62+63+…+狐

当〃=1时，八=61=2;当〃=2时，4=61+岳=3;

9n2

业T—□।(1一3般一2)(九一2)(九+7)_3-n-5n+U

当时,33+——-2-=-------2--------.

7］不满足t式，不满民L式.

2,n=1,

n2

综上，Tn='3-n-5n+ll

----------------,n>2.

I2

2.［命题点2/2023合肥一中诊断］在等比数列｛斯｝中，已知(22=4,怒=32.

(1)求数列UJ的通项公式；

(2)若6“=(-1)%log2诙,求数列的前"项和S”.

解析(1)设｛源｝的公比为q,则小解得卜=2,

Qiq4=32,lq=2,

所以数列｛〃〃｝的通项公式为斯=2X2〃—1=2〃.

(2)由(1)得如=(-1)M-log2<7„=(-1)*n,

所以数列｛儿｝的前〃项和&=一1+2—3+4—5+6—7+8------F(-1)

==

当几为偶数时，Sn-1+2—3+4—5+6—7+81,,•+〃=］;当几为奇数时，Sn-1+2—

3+4—5+6—7+8~=

22

(一竽，九为奇数，

所以2

件n为偶数.

3.［命题点24023江苏南京外国语学校、金陵中学三模］已知正项数列｛为｝满足m=1,成+1

一碎=8〃.

(1)求｛诙｝的通项公式；

(2)记仇=a〃sin等，数列｛b｝的前〃项和为求82023.

解析(1)对任意的〃WN*,成+1一点=8〃，

当几22时，成=(成一a；­)+…+(成一山)+山=8(〃-1)+…+8X1+1=8［1+2

+3H------1-(»-1)]+l=8Xn+1=⑵―1)2,

因为斯>0,所以斯=2〃-1.

当〃=1时，的=1符合an=2n—lf

所以斯=2〃一1,〃金N*.

w+1

(2)bn^ansin瞪.兀)=(-1)⑵-1),

所以当左£N*时，b2k~\~bik+\=—(4左一1)+4左+1=2,

故82023=61+(加+加)+(儿+/)+…+(62022+62023)=1+2X1011=2023.

(---------------------------，练习帮!练透好题精准分层--------------------------

D学生用书练习帮P313

L［2024广州市培英中学校考］若等差数列｛斯｝的前〃项和为且满足S4043>0,S4044V

0,对任意正整数n,都有I斯I2I而I,则m的值为(C)

A.2020B.2021C.2022D.2023

解析依题意知S4043="43=4043〃2022>0,所以〃2022>0,又$4044=

4044(a：04044)<0,即QI+Q4044<0,所以。2022+。2023<0,则。2023<0,且I^2022I<

I。2023I,所以等差数列｛斯｝是递减数列,。1>。2>—>。2021>。2022>0>。2023>〃2024

>•••,所以对任意正整数,都有I即I2I即I,则加=2022.故选C.

2.［2024福建模拟］如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具.在某种玩法中，

按一定规则移动圆环，用斯表示解下〃(〃W9,〃£N*)个圆环所需的最少移动次数，数列

2aJ九为偶数，

｛勰｝满足〃1=1,且斯=《则解下5个圆环所需的最少移动次数为

2an_1+l,n为奇数，

(C)

A.5B.10C.21D.42

(2QJri为偶数,

解析由Q1=1,Cln=\得〃5=2。4+1=4〃3+1=4(2。2+1)+1=

|^2an_1+1,九为奇数，

8。2+5=16。1+5=21.

3.［多选Z2024江西抚州模拟］已知数列｛斯｝满足斯+即+I=2X(—1)",〃£N*,且恁=1,

则下列表述正确的有(BD)

A.ai=­5

B.数列｛/力｝是等差数列

C.数列｛I,门是等差数列

D.数列｛^｝的前n项和为7Tq

anan+i14n-49

解析由许+〃"+i=2X(―1)n,得一Q"+析「―也F=-2,

(-1)(一1)

所以数列｛」^｝是公差为一2的等差数列,

(-D

所以乃n=的+(〃-5)X(-2),即斯=(2〃-9)X(-1)〃+i.

(—1)(-1)

对于选项A,ai=(2X1-9)X(-1)1+1=-7,故选项A不正确；

对于选项B,因为〃2“-1=4〃-11,a2n+i—。2〃—1=4(几+1)—11—(4〃-11)=4,

故｛。2"—1｝是公差为4的等差数列，故选项B正确；

对于选项C,\an\=\2n-9I,则I/I=3,Ia4I=IasI=1,所以｛I｝不是等

差数列，故选项C不正确;

对于选项D，…"冈(…一府I(匕2

所以｛---｝的前〃项和S”=—g(―———+,,•n

anan+i2—7—5—5—32n—92n~714九一49’

故选项D正确.故选BD.

4.[多选〃024浙江模拟]已知数列｛斯｝满足m=l,z=2,的=3,且对任意的正整数处

=

n,都有aim+ci2n2am+n+Im-nI,则下列说法正确的有(ABD)

A.Q4=5

B.数列｛/"+2—。2"｝是等差数列

C.42〃=3〃-1

D.当"为奇数时，。“=丫

解析由题意知42=2,。3=3,令77?—1,〃=2,得。4=2的+1,解得。4=5,

故A正确.

此时。4—0/1=3,令机=〃+2,得。2"+4+。2"=2a2〃+2+2,从而(。2"+4-。2"+2)—(。2〃+2-

〃2〃)=2,所以数列｛。2〃+2—。2〃｝是以3为首项，2为公差的等差数列，故B正确.

所以。2〃+2-42"=3+2(〃11)=2n-\-1,所以。2”—。2=(a2n-2)+(M2n-2-。2”4)

12w+2)

+…+(。4—。2)=(2〃-1)+(2〃-3)+…+3=-^-X=r12—],所以。2〃=层+

1,故C错误.

令冽=〃+1,得42〃+2+。2〃=2。2〃+1+1,所以〃2“+12n!=/+〃+],令左=2几+1,

则左为奇数，则以=(匕J)2+匕3+1==二又41=1适合上式，所以当〃为奇数时，an

,故D正确.故选ABD.

4

n为奇数，

5.[2024南京市学情调研]记a为数列｛斯｝的前〃项和，已知斯=《"陋+2)则

lan_rn为偶数，

211

解析当〃为奇数时，a=~~~—=——当〃为偶数时，a=a-i.*.Ss=2(tzi+tz+

nn(n+2)nn+znnf3

怒+。7)=2(1-q+g-=2(1—1)=y.

6.[2024重庆八中校考]在数列｛a〃｝中,。=8,。=2,且满足4〃+2-2〃〃+1+斯=0

(几£N*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设Tn—I<71I+II+…+\an\f求715的值.

解析(1)—2。〃+1+。〃=0,・・Cln+2斯+1―1斯,

.••数列｛许｝是等差数列.

设｛。“｝的公差为V