上海市黄浦区2024届高三二模数学试卷(含答案)

上海市黄浦区2024届高三二模数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一、填空题

1.若集合A=[l,4],B=[2,5],则AB=.

2.抛物线V=4x的焦点到准线的距离是.

3.若a=(3cose,sin。)，Z?=(cos6,3sin。)，其中OeR,贝！Ja•匕=.

4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

5.若(0?+工)5的展开式中犬的系数是_80,则实数。=.

X

6.在△ABC中，cosA=-j,AB=1,AC=5,则BC=.

7.随机变量X服从正态分布N(2,/),若P(2<XW2.5)=0.36,则

P(\X-2\>0.5)=.

8.若实系数一元二次方程/+公+人=0有一个虚数根的模为4,则a的取值范围是

9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、

戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.

10.已知数列{4}是给定的等差数列，其前〃项和为s,，若为须<0,且当m=班，与

〃=%时，-SjCm,"e{x[x<30,xeN*})取得最大值，则同一⑷的值为

11.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段CE,O歹与分别以

OC,OD为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点C,。是线段A3上的动点，

点。为线段AB,的中点，点E,尸在以A3为直径的半圆弧上，且/OCE,

NODE均为直角.若4?=1百米，则此步道的最大长度为百米.

J-'F

/I卜

12.在四面体K4BC中，2PD=PA+PB,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,设

四面体K4BC与四面体PDEF的体积分别为匕、匕，则方的值为.

二、选择题

13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初

中部和高中部两层共抽取40名学生,已知该校初中部和高中部分别有500和300名学

生，则不同的抽样结果的种数为()

Ar25.015p025「15「「20.「20■pxc20020

D

A1500十Joo'。500,=300^500十^300y00.Joo

14.函数y=1—2COS2［一：［是()

A.最小正周期为n的奇函数B.最小正周期为n的偶函数

C.最小正周期为巴的奇函数D.最小正周期%的偶函数

2

15.设函数=办+2。，-4"“<0,若/(x)>0恒成立，则实数。的取值范围

')ax2-2x+3,0<x<4

是()

A.(1,+GO)

16.设数列｛%｝的前〃项和为S,,若对任意的zieN*,S,都是数列｛4｝中的项,则称

数列｛%｝为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”｛4｝,使得数列｛S,,｝为公比不为1的等

比数列；②对于任意的实数的,都存在实数d,使得以％为首项、d为公差的等差数列

｛4｝为“T数列”.下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

三、解答题

17.设aeR,函数/(%)=与卫.

2-1

(1)求。的值，使得y=/(x)为奇函数；

(2)若/(2)=a,求满足/(x)>a的实数x的取值范围.

18.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点,

Pfi〃平面AEC

E

BL-----------------------------

(1)求证：点E是棱PD的中点；

(2)若K4,平面ABC。，AP=2,AD=2也,PC与平面A3CD所成角的正切值为

求二面角。-AE-C的大小.

3

19.某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行

汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数926655347

(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机

红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为

(2050、

.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X(单位：元)为此人获得的

(0.80.2J

随机红包总金额，求X的分布及数学期望；

(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁

以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及

以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.

20.如图，已知厂i是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，心是以厂1的焦点可，

工为顶点的等轴双曲线，点是厂1与G的一个交点，动点尸在厂2的右支上且

异于顶点.

(1)求厂i与厂2的方程；

(2)若直线Pg的倾斜角是直线尸耳的倾斜角的2倍，求点P的坐标；

(3)设直线尸耳，「工的斜率分别为左，k],直线「耳与4相交于点A,B,直线「工

与厂1相交于点C,D,\AFl\-\BFl\=m,\CF2\-\DF2\=n,求证：上生=1且存在常数§

使得m+n=s»m.

21.若函数y=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数

y=/(x)的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=/(x)的图象的一对“同切点”.

(1)分别判断函数/(x)=sinx与力(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理

由；

(2)若aeR,求证：函数g(x)=tanx-x+a(xe(-•1，]))有唯一零点且该函数的图象

不存在“自公切线”；

(3)设“eN*,7z(x)=tanx-x+“兀(xe的零点为％,求证：“存

在se(27t,+oo),使得点(s,sins)与《,sint)是函数y=sinx的图象的一对，同切点,”的充

要条件是”是数列｛%｝中的项”.

参考答案

1.答案：[1,5]

解析：因为集合4=[1,4],5=[2,5],则AB=[l,5].

故答案为：[1,5].

2.答案：2

解析：焦点厂(1,0),准线方程1=-1,.••焦点到准线的距离是2.

3.答案：3

解析：a-Z?=3cos2^+3sin2^=3,

故答案为：3.

4.答案：12K

解析：将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3,另一边为2兀'2=4兀,

故侧面积为3x4兀=12兀.

故答案为：12兀.

5.答案：-2

5rw2r

解析：通项公式为Tr+l=C；a-x~-K=C"-胪3，

令10-3r=4,解得r=2,

故C；/=_80,解得Q=—2.

故答案为：-2.

6.答案：4A历

解析：在△ABC中，根据余弦定理可得：COSA=6+3-",

2-AB-AC

设5C=MX>0)，则J+25一—，整理可得/=32,解得x=4夜，

’752x1x5

故BC=4后.

故答案为：4夜.

7

7.答案：0.28/,

25

解析：因为XN(2,〃)且P(2<X42.5)=0.36,

所以P(1.5WX<2)=P(2<XW2.5)=0.36，

则P(\X-2\>0.5)=l-2P(2<X<2.5)=1-2x0.36=0.28.

故答案为：0.28.

8.答案：(-8,8)

解析：设实系数一元二次方程V+ax+b^0的两个虚数根为加+ni和,

则nr+rr=16.

所以Z?=叫=m2+n2=16.

由A<0=a2-4xi6<0=-8<a<8.

故答案为：(-8,8).

3

9.答案：|/0.6

解析：由题意，

若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种,

若甲第二个上场,乙则可以第4,5个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第三个上场,乙则可以第1,5个上场,有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第四个上场,乙则可以第1,2个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种,

若甲第五个上场,乙则可以第1,2,3个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种,

共有18+12+12+12+18=72种，

而所有的上场顺序有A：=5x4x3x2x1=120种,

7?3

二甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：p=-=-,

1205

故答案为：|.

10.答案:21

解析：不妨设数列｛为｝的公差大于零，

由于。9%0<°，得。9<0，%0>0,

且〃V9时，an<0910时，an>0,

m

不妨取m>n,则一S”=Zat,

i=n+l

30

设左二园一42卬，

i=10

30

若〃>9,m=30,则显-即W£6<左，此时式子取不了最大值;

Z=MQ+1

9

若〃<9,相=30,则囚30—Sj<£%+k,

Z=«Q+1

又注9时，q<0,

因为向-S〃归£%+k<k,此时式子取不了最大值；

i=%+l

因此这就说明“=/=9必成立.

恤

若加<30,则瓦-SjwXqvA,

z=10

这也就说明?<30不成立，因此加o=3O,

所以卜%-叫=21.

故答案为：21.

11.答案：近工

2

解析：设半圆步道直径为x百米，连接AE,BE,显然NAEB=90。，

由点。为线段AB,的中点，得两个半圆步道及直道CE,O歹都关于过点。垂直

于的直线对称，

则AC=‘—x,BC=-+x,又CELAB,则RtZ^LCEsRt/^ECB,有

22

CE?=AC-BC,

2

即有DF=CE=.—x~>因止匕步道长f(x)=2.—x+7ix=J1-4x?+TIX,0<%<—,

V4V42

求导得/'(X)=/4A+兀,由/'(X)=O,得X=-71>

VI-4x22飞£+4

当0<x<]^=时，f\x)>0,函数/(x)递增，当:<x<,时,f(x)<0,

2^42^/7772

函数/(x)递减,

因此当》=^^=时，/（X）max

2，兀一+4

所以步道的最大长度为年百米

20

解析：由2PD=PA+PB,2PD=PA+PB—PA+PA,2（PD-pQ=PB-PA,则

2AD=AB；

由5PE=2PB+3PC,5PE=2PB+3PC-3PB+3PB,5（PE-PB）=3（PC-PB）,则

5BE=3BC；

由2Pk=—PC+3PA,2PF=-PC+3PA-3PC+3PC,2（PF-PC）=3（PA-PC）,贝U

2CF=3CA；

显然四面体与四面体PDEF共顶点且底面共面，则其高相同可设为力,

结合题意可作图如下：

AC易知里坦=」；

^2CF=3CA,即=-,则S^ABC=生=2,

FC3S&FBCFC3uq△尸BCJ3

BD易知屋运=工；

由2Ao=AB,即.=1,则SADBF=些」,

BA2S/BA2S4FBC6

EC

由5BE=3BC,即=-,则S公ECF=曳，;

BC5S八於BC5

,BD1BE3V133q371

由一=一，一=二一，

BA2BC5S△ABC2510“FBC1035

qq7v737

屋FDE_1_U/^DBF__°AECF_Q^DBE_Q/\FDE_---X—=----;

口4FBC□△FBC°ABCF°AFBC川ABC30220

L/is

匕37

^=ThS-=20

3"△A3C

故答案为：—

20

13.答案：B

解析：该校初中部和高中部分别有500和300名学生,

所以初中部应抽取40x迎=40x9=25名学生,

8008

3003

高中部应抽取40义出=40义士=15名学生，

8008

所以不同的抽样结果的种数为Co-Co.

故选：B.

14.答案：A

2x

解析：j=l-2cos(~~2cos2x---1=-cos2x--=-sin2x,

I4{2

因为/(一%)=-sin(-2x)=sin2x=-/(%),所以为奇函数,

周期丁=，=兀,

2

所以此函数最小正周期为n的奇函数，

故选：A.

15.答案：D

解析：当TW九W0时，一/+公+20>0恒成立，即公>必一20恒成立,

当％=0时，上式成立；

当TWx<0,a<x-—,明显函数y=工-型在[TO）上单调递增，

一20

所以,min=-4=1，所以QV1；

-4

当0<%W4时，依2一2%+3>0恒成立，即----^恒成立，

XX

令t=—,+00>1,则a>2―3/在L+co]上恒成立，

x[4J14

1

又_y=2t-3『开口向下，对称轴为/=」€—,+oo

*34

所以y=2-3/的最大值为2义；-3*[]=1,

所以a〉L

3

综上：实数a的取值范围是

故选：D.

16.答案：A

解析：对于命题①，对于数列｛q｝,

.f1,n=1„,f1,n=1

令a“=，,，则S,=《，

”[2"-2,n>2"[2"-l,n>2

数列｛S“｝为公比不为1的等比数列，

当”=1时，1=1是数列｛a“｝中的项，

当心2时，S"=2"T是数列｛q,｝中的项,

所以对任意的“eN*,S,都是数列｛叫中的项，

故命题①正确；

对于命题②，等差数列｛a“｝，令则%=6+(〃一l)d=(八一2)。,

因为〃—22—1且〃—2eZ,

小一)」]_n[n-5)

34-->-1,且〃eN*,——^eZ

22^2)82

所以对任意的“eN*,S“都是数列｛4｝中的项,

所以对于任意的实数%,都存在实数d,使得以4为首项、d为公差的等差数列｛4｝为

“T数列”，

故命题②正确；

故选：A.

17.答案：(1)a=l

(2)(0,2)

解析：(1)由/(尤)为奇函数，可知/(-1)=-/⑴,

即一(1+2a)=—(2+ci),解得a=1,

9X+12~x+11+2”

当a=l时，/(%)=---/(-犬)=不-=「彳=-/(%)对一切非零实数%恒成立,

2—12—11—2

故。=1时，y=/(x)为奇函数.

A.-X-n

(2)由/(2)=a,可得一-—=a,解得a=2,

2*+22V-4

所以/(x)〉a=------->2=--------<0=1<2工<4

2X-12X-1

解得：0<x<2,所以满足/(x)>a的实数x的取值范围是(0,2).

18.答案：(1)证明见解析

(2)arctan20

解析：(1)连接皮)，它与AC交于点R连接ER

四边形A3CD为矩形，

1为的中点,

PB//平面AEC,平面PBD经过且与平面AEC交于EF,

PB//EF,

又点尸是3。的中点，

二点E是棱PD的中点.

(2)方法一：24,平面ABC。，AC,AD,CDu平面ABC。，

:.PA±AC,PAA.AD,LCD且/PC4就是PC与平面ABC。所成的角,

tanZPCA=—=.2,解得A5=2技

ACJ(2后+A.23

四边形A3CD为矩形，

:.AD±CD,又K4LCD,以与AD是平面心。内的两相交直线，

..CD,平面PAD.

在平面E4D内作OGLAE,垂足为G,连接GE则CGLAE,

.•.NCGD是二面角D—AE-C的平面角.

在直角三角形以。中，PA=2,AD=2指，点E是PD的中点，

D

H

ZEAD=ZADE=-,且。G=ADsin/=Q,

66

CD,平面PA。，£>Gu平面PA。，

:.CD±DG,故tan/CG£>=.=*=20,所以NCG£>=arctan2也，

DGG

故二面角O-AE-C的大小为arctan2亚.

方法二：平面ABC。，AC,AD,CDu平面ABC。，

:.PA±AC,PA±AD,24，。0且/「04就是尸。与平面43。所成的角,

又四边形A3CD为矩形，.IABLAD,

分别以A3,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系O-孙z,

设AB=Z,々=(x,y,l)是平面AEC的一个法向量，二面角D-AE-C的大小为，，

PA21r-

由tanAPCA==',=—,可得％=2V6,

AC3

则AC=(2卡,20,0),AE=(O,A1)-

4-AC=(x,y,1).(2几,2百,0)=2瓜+2百y=0

故＜

4-AE=(x,y,1)1(0,6,,=有＞y+1=0

解得x=逅且y=_且，所以逅，一走,1

63163;

又%=(1,0,0)是平面AED的一个法向量，且夕为锐角,

故cos，=白鲁

阿♦冈

所以二面角AE-C的大小为arccosL

3

19.答案：(1)分布列见解析，39

(2)36%,98:27

解析：(1)随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为上53士+”47=50%,

200

1,

P(X=100)=-x0.22=0.02,

P(X=70)=；XC；X0.2><0.8=0.16,

p(X=50)=；x0.2=0.1,

1,

P(X=40)=-X0.82=0.32,

P(X=20)=1x0.8=0.4,

所以X的分布为

X20405070100

p0.40.320.10.160.02

E(X)=100x0.02+70x0.16+50x0.1+40x0.32+20x0.4=39,

即X的数学期望为39.

(2)设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A,“从该社

区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件B,

则p(A)=70%,P(A)=30%,P(B\A)®56%,P(B)a50%,

由P(B)=P(A)-P(B\A)+P(A)-P(B\A),

可得50%合70%-56%+30%4(31A),所以5(B|A)»36%,

诉索川伯—P(4B)_P⑷A)P(B)〜70%-56%_98

一P(A|B)-P(B)P(A)-P(B|A)~30%-36%—27

估计60岁及以上人员的合格率约为36%,成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60

岁及以上人数之比约为98:27.

22

20.答案：（1）土+匕=1与7一V=i

54'

（2）（2,73）

（3）证明见解析

22

解析：⑴设“、厂2的方程分别为二+4=1（。〉6〉0）与

ab

由HH得c=l，故耳，工的坐标分别为（-1,0），（1，。），

所以2a=阿用+阿闾=：逐+：6=26故"5/?=，/—02=2,

22

故厂1与厂2的方程分别为4+?=1与必-V=L

（2）当点P在第四象限时，直线尸耳，尸层的倾斜角都为钝角，不适合题意；

当P在第一象限时，由直线PK的倾斜角是直线PK的倾斜角的2倍，

可知N居耳尸=/鸟尸月,故归国=用司=2,

设。点坐标为（x,y）,可知（x—iy+V=4且必—/=i（x〉0,y〉0）,

解得x=2,y=6,故点尸的坐标为（2,0），

（3）设直线尸耳，尸工的斜率分别为匕，&,点P,A,3的坐标分别为（毛,％）,

（wx）,（%，%），

则年-短=1,人上=上=上=祗=1

XQ+1XQ_1_1/2一]

尸片的方程为y=-x+l）,

r2

代入十=1可得（4+5左2）,2_8外_16左2=0,

4

,,-16k2

故%%=互中

所以机=川阿|=『/.|巾『看.闻=16化2+1）

1+

F%7

同理可得〃=16(&+1),又左=,，故〃

4+5月-&4左；+5

1।1_4+5婷।4左；+5_9（6+1）_9_

mn~16^+1）16（左：+1）—16（左；+1）—16

BPm+n=一mn,所以存在s,使得m+a=smn.

16

21.答案：(1)函数工(x)的图象存在“自公切线”；函数&(x)的图象不存在“自公切

线”，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

解析：⑴显然直线y=：my=sinx的图象于点§/)，(三,1),

直线y=1是y=sinx的图象的一条“自公切线”，因此函数工(x)的图象存在“自公切

线”・

对于力(x)=lnx,力'(x)=L(x>0)是严格减函数，则力(%)在不同点处的切线斜率不

X

同，

所以函数力(X)的图象不存在“自公切线”.

(2)由g'(x)=」一—l=£±±=tan2x»0恒成立，且仅当x=0时g，(x)=0,

cosXcosX

则y=g(x)是sin(2A+?=；上的严格增函数，可得它至多有一个零点，

令81（尤）-sinx-（x-a）cosx（x,

由y=8](%)的图象是连续曲线，且&(-5)g柠)=-1<0,

因此gI(x)在sin(2A+-)=-上存在零点，即在sin(2A+-)=-±^(%)=存在零点,

3232cosx

所以g(x)有唯一零点；

假设g(x)的图象存在“自公切线”，则存在X2e(-K)且