2024-2025学年人教版九年级数学上册 几何证明与计算 综合题压轴题突破

第二模块几何证明与计算综合题

专题一直线型证明与计算⑴一中心对称与倍长

01.如图，点P是等边.△ABC内一点，且NBPC=120。,点M是边BC的中点，连接PA,PM.

(1)如图1,若点A,P,M三点共线，则AP与PM的数量关系是:

⑵如图2,若点A,P,M三点不共线，问(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理

由；

(3)如图3,若AB=2V37,^=J直接写出AP的长是一.

Dr4

02.在RtAABC^URt△CDE中,AC=BC=a,CD=CE=b(b<a),^ACB=4DCE=90°「如图1,以AC,CE

为边作平行四边形ACEM,以CD,CB为边作平行四边形BCDN,点F,G分别是CM,BD的中点，当△DCE

绕点C旋转时.

(1)证明：△MCA三XDBC;

(2)①求△CFG的面积；(用含a,b的代数式表示)

②直接写出FG的长度的最大值为.(用含a,b的代数式表示)

专题二直线型证明与计算(2)一构造手拉手与中点(新热点)

01操作与思考：如图1,在小ABC中，AB=AC,ZBAC=a,D是异于A,B的一点，且NADB=90。.将线段AD绕点

A逆时针旋转a.画出对应线段AE,连接DE交BC于点F,猜想BF与CF的数量关系，并证明你的猜想；

迁移与运用：如图2,在4ABC和4CDE中，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°,ACV10CD=&,E

D的延长线交AB于点F,且/BDC=90。，直接写出EF的长.

图1图2

02如图1,△ABC中，ZBAC=60°,以AB为边向形夕卜作△ABD,其中NBAD=9(F,AB=AD,连DC.

(1)画出将△ADC绕A点逆时针旋转90°,其中C点的对应点为E,连BE;

⑵如图2,点N为BC中点以AC为边向形外作△ACM,其中.ZAMC=90°,AM=CM,连MN.若AC=2,

AD=2百，求MN的长.

03.问题背景：如图1,在△力BC与△ADE中,若.AB=AC,AD=AE.^BAC=则存在一对全等三角形，

请直接写出这对全等三角形.

尝试运用：如图2,在等边△4BC中，BC=12,,点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边，△ADE,F

是DE的中点，连接BF.若.BD=4,求BF的长.

拓展创新：如图3,在等腰Rt△力BC中，乙BAC=90°,BC=12,,点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作

等腰Rt△ADE,连接BE.设BD=x,BE2=y,,直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）

图1图2图3

04.如图1,在△ABC和△ADE中，ZDAE=ZBAC,AD=AE,AB=AC.

(1)求证：AABD^AACE;

(2)如图2,在小ABC和4ADE中,NDAE=NBAC,AD=AE,AB=AC,/ADB=90。,点E在4ABC内，延长DE交B

C于点F,求证：点F是BC中点；

(3)AABC为等腰三角形,NBAC=120。，AB=AC,点P为4ABC所在平面内一点，ZAPB=120°,AP=2,BP=4,

请直接写出CP的长.

图1图2图3

专题三直线型证明与计算(3)——旋转与对角互补加等腰(新热点)

01.如图，在等边AABC中，点D为边BC上一动点，以AD为底在直线AD左侧作等腰△4DE,且AE=DE,

^AED=120TD点在运动过程中，点E始终在AABD的内部).

(l)ZADB和/BAE的数量关系为

⑵如图1所示，判断△BDE的形状并证明；

⑶当D点运动到如图2所示的位置时，延长BE交AD于点F,若。尸=2AF,BF=2+2百,则等边△ABC

的边长为

专题四直线型证明与计算(4)——旋转和等腰直角三角形

01.已知，在正方形ABCD中，AB=5,点F是边DC上的一个动点，将△ADF绕点A顺时针旋转90。至AABE,

点F的对应点E落在CB的延长线上，连接EF.

(1)如图1,求证：Z.DAF+乙FEC=^AEF-

(2)将△4DF沿AF翻折至△4GF,连接EG.

①如图2,若.DF=2,求EG的长；

②如图3,连接BD交EF于点Q,连接GQ,则,sin/QEG｝的最大值为.

专题五直线型证明与计算(5)——旋转与夹半角

01.正方形ABCD的边长为2,M,N分别为边BC、CD上的动点，且Z.MAN=45°.

(1)猜想线段BM,DN,MN的数量关系并证明；

(2)若BM=CM,P是MN的中点求AP的长；

(3)M,N运动过程中，请直接写出△AMN面积的最大值______和最小值_____

图2

02.如图，已知点M,N是线段AB上的点，AM=1,将线段AM绕点M旋转，将线段BN绕点N旋转，点A,点B

的对应点恰好重合记作点P,设MN=x.

(1)当AB=3时，求x的取值范围;

⑵如图，当NPMN=90。时，/MPN>/PNM,作/NPC=45。时PC交MN于点C,过PN上一点D作DE_LPM

于点E,交PC于点F.若DE=PM,求证：MC=DF-PE;

⑶当AB=3,x=l时,平面内一点Q满足/PQN=30。.若PQ=m,NQ=n,则MQ=（直接用m,n表示）

图3

专题六直线型证明与计算(6)——旋转与切线(千斤顶最值)

01.如图，在等边.△力BC中，点D为BC的中点点E为AD上一点连EB,EC,将线段EB绕点E顺时针旋转至

EF，使点F落在BA的延长线上.

(1)在图1中画出图形；

①求NCEF的度数；

②探究线段AB,AE,AF之间的数量关系，并加以证明；

(2)如图2,若.AB=4,点G为AC的中点，连DG,将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN,直线BM,AN

交于点P.连CP,在△CDG旋转一周过程中,,请直接写出△BCP的面积最大值为__________.

A餐

BDCBDC

图1图2

02.如图1,AABC中，AC=BC=4,点D,E分别是AC,BC边上中点.将4DEC绕点C旋转角度网0。＜”360。）得

至以D'E'C,连接AD'.BE'.

（1）如图2,若