初中数学中考复习讲义练习：四边形的存在性问题

四边形的存在性问题

例题精讲

【例1】如图1,四边形筋CD中，AD//BC,Z4DC=90°,4)=8,BC=6,点反从

点。出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点8出发，以每秒1个单

位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N

作NP1AQ于点?，连接AC交NP于点0,连接设运动时间为「秒.

(1)AM=,AP=.(用含r的代数式表示)

(2)当四边形4VCP为平行四边形时，求才的值

(3)如图2,将^AQM沿AD翻折，得/\AKM,是否存在某时刻t>

①使四边形AQ/欧为为菱形，若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由

②使四边形AQMK为正方形，则AC=.

DM=2t,

:.AM=AD-DM=S-2t.

•在直角梯形ABQ)中，ADIIBC,ZADC=9Q°,NP1AQ于点P,

二.四边形CNPD为矩形，

:.DP=CN=BC-BN=6-t,

:.AP=AD-DP^8-(6-t)^2+t；

故答案为：8-2z,2+t.

(2)四边形4VCP为平行四边形时，CN=AP,

6—/=8—(6—f),

解得：t=2,

(3)①存在时刻f=l,使四边形AQ儿成为菱形.

理由如下：

NPLAD,QP=PK,

二当市=a时有四边形AQMK为菱形，

.-.6-r-2r=8-(6-0，

解得U1,

②要使四边形AQMK为正方形.

ZADC=90°,

...NOW=45°.

二四边形AQ/WK为正方形，则CD=AD,

AD=8,

.。=8,

AC=8忘.

故答案为：8A/2.

【变式训练1】在矩形MCD中，AB=3,BC=4,E、尸是对角线AC上的两个动点，

分别从A,C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为r秒，其中0W5.

（1）若G,立分别是AZ?,。。中点，求证：四边形EGFH是平行四边形（E、尸相遇时

除外）.

（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求,的值.

（3）若G,〃分别是折线A-8-C,C-Q-A上的动点，与E,F相同的速度同时出发，

若四边形EGFH为菱形，求『的值.

【解答】（1）证明：：四边形是矩形，

:.AB=CD,AB//CD,ADIIBC,ZB=90。,

AC=siAB2+BC2=5,Z.GAF=ZHCE,

G,a分别是Ab,DC中点，

:.AG=BG,CH=DH,

:.AG=CH,

AE=CF,

:.AF=CE,

在41田7和小侬中，

AG=CH

<ZGAF=ZHCE,

AF=CE

:.MFG^ACEH(SAS),

：.GF=HE,

同理：GE=HF,

.•・四边形EGFH是平行四边形；

(2)解：由(1)得：BG=CH,BG//CH,

，四边形BCHG是平行四边形，

:.GH=BC=4,当£F=GH=4时，平行四边形EG阳是矩形,

分两种情况：①AE=CF=t,EF=5-2?=4,

解得：/=0.5；

®AE=CF=t,EF=5-2(5T)=4,

解得：f=4.5；

综上所述：当r为。5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形；

(3)解:连接AG、CH,如图所示：

泗边形EGFH为菱形，

:.GH1EF,OG=OH,OE=OF,

:.OA=OC,AG=AH,

.•・四边形AGCH是菱形，

:.AG=CG,

设AG=CG=x,则BG=4-x,

由勾股定理得：AB2+BG2=AG2,

即32+(4-x)2=X2,

解得,x=—，

8

【变式训练2】在矩形ABCD中，AB=6,8。=8,点E为5c延长线上一点，且

连接£?£■，。为Z2E■的中点，有一动点尸从8点出发，沿5C以每秒1个单位的速度向E点

运动，运动时间为f秒.

（1）如图1,连接近、PQ,则Sgp2=（用含/的式子表示）；

（2）如图2,M，N分别为AB、AD的中点，当，为何值时，四边形MVQP为平行四边

图⑶

【解答】解：（1）「四边形MCD是矩形，AB=6,BC=8,

:.BC=8,CD=6,

BD=yjBC2+CD2=10

:.BD=BE=10

。为Z2E■的中点，

-Q--Lq,

••2AopQ_2^DPE

^ADPQ=~(^ABED-^ABDP)--(~X6X1O--X?X6)=15--?

乙乙乙乙乙

故答案为：15-3,

2

(2)当U5时，四边形VNQ尸为平行四边形，

理由如下：M>N分别为AB、AO的中点，

：.MN//BD,MN=-BD=5^

2

1二5时，

.•.BP=5=LBE，且点。是1的中点，

2

/.PQ//BD,PQ=；3D=5

.'.MN//PQ,MN=PQ

/.四边形MNQ尸是平行四边形

最新模拟题

1.如图，在矩形ASCD中，CD3cm,BC=4an,连接5D,并过点。作。V_L50,垂

足为N,直线/垂直5C,分别交BD、5c于点尸、Q.直线/从M出发，以每秒law

的速度沿BC方向匀速运动到CD为止；点M沿线段ZM以每秒kro的速度由点D向点

A匀速运动，到点A为止，直线1与点又同时出发，设运动时间为f秒。>0).

17

(1)线段OV=—；

一5一

(2)连接和QN,当四边形MPQN为平行四边形时，求才的值；

(3)在整个运动过程中，当f为何值时AWVCV的面积取得最大值，最大值是多少？

【解答】解：(1)四边形ABCD是矩形

：.BC=AD=4cm,ZBCD=90°=ZA,

BD=A/BC2+CD2=5cm,

iXtiy-D=-2BCXCD=-2XBDXCN

:.CN=—

5

故答案为：-

5

(2)在RtACDN中，DN=yICD2-CN2

四边形叱QN为平行四边形时

:.PQ//MN,且PQ_LBC,AD//BC

:.MN±AD

:.MN11AB

/.ADMN^ADAB

DMDN

~AD~~BD

9

即"

..DMcm

25

36

=一s

25

9

(3)BD=5,DN=-

5

,7

如图，过点〃作于点H,

sinZMDH=sinZBDA=—=——

BDMD

3MD

-'r~

3

5

当0＜，＜出

25

BQ=t,

94165

:.PN=BD—BP—DN=5---------1=--------1

5554

:、"MN=gxPNxA/H=gx*xda=_*2+||.

.•.当r=^s时，5AM亚有最大值，且最大值为理，

25625

当/=一s时，点P与点N重合，点尸，点N,点M不构成三角形;

PN=BP-BN=-t-—

45

S.=-xPNxMH=-x-tx(-t-—)=-t2-—t

"PMN22545825

当II<K4时，S.N随t的增大而增大，

154

.•.当,=4时，5AM最大值为

54384

—>---

25625

二综上所述：f=4时，APMV的面积取得最大值，最大值为四.

2.如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm,BC=12an,ZB=60°,G是CD的中点，E

是边AD上的动点，EG的延长线与3c的延长线交于点/，连接CE,DF.

（1）求证：四边形CEZ邛是平行四边形；

（2）①AE=c〃z时，四边形CEZ>是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）；

②AE=。〃时，四边形CS乃是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）.

【解答】（1）证明：.•四边形ABCD是平行四边形，

:.AD//BC,

:.ZDEG=ZCFG,ZGDE=ZGCF.

G是8的中点，

DG=CG,

ZDEG=ZCFG

在AEDG和AFCG中，］ZGDE=ZGCF,

DG=CG

AEDG=AFCG（AAS）.

:.ED=FC.

ED//CF,

四边形C⑦尸是平行四边形.

（2）解：①当=时，四边形CEC昭是矩形.理由如下:

作AP_L5C于P,如图所示：

AB=8cm,ZB=60°,

:.ZBAP=30°,

BP=—AB=4cm,

2

四边形ABC。是平行四边形，

ZCDE=ZB=60°fDC=AB=8cm,AD=BC=12cmf

AE=8cm,

/.DE=4cm=BP,

AB=CD

在AAB尸和ACDE中，］ZB=ZCDE,

BP=DE

.•.AABPvACDE(SAS),

ZCED=ZAPB=90°,

平行四边形CED尸是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形),

故当AE=8沏时，四边形CEZ＞是矩形；

故答案为：8.

②当AE=4s时，四边形CED方是菱形.理由如下：

AE=4cm,AD=12cm.

/.DE=8cm.

DC=8cm,ZCDE=ZB=60°.

「.ACDE是等边三角形.

:.DE=CE.

二平行四边形CEZ用是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).

故当AE=4cm时，四边形CED尸是菱形；

故答案为：4.

3.如图，在AABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF//3C分别交入4CB、

外角NACD的平分线于点E、F.

(1)猜想与证明，试猜想线段OE与缈的关系，并说明理由.

(2)连接AE、AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并

说明理由.

(3)若AC边上存在一点O,使四边形AECF是正方形，猜想AABC的形状并证明你的结

论.

【解答】(1)证明：CE平分NACS,CF平分NACD,

.\ZACE=ZECB,ZACF=ZDCF,

EF//BC,

:.ZECB=/OEC,NF=/DCF,

:.ZACE=NOEC,ZACF=/F,

:.OE=OC,OC=OF,

:.OE=OF；

(2)解：如图，当。在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：

当O为AC中点时，则有Q4=OC=O£1=O尸，

二.四边形AECF为平行四边形，AC=EF,

二.四边形AECF为矩形.

(3)解：当点。在边AC上运动到AC中点时，使四边形AECF是正方形，AABC是直角

三角形(NAC3=90。).理由如下：

由(2)可得点。在边AC上运动到AC中点时，平行四边形AEC尸是矩形，

ZACB=90°,

:.ZACE=45°

平行四边形AECF是矩形，

:.EO=CO,

:.NOEC=ZACE=45。,

..ZEOC=90。，