上海市奉贤区2023-2024学年高三年级下册高三三模数学试卷（含答案解析）

上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期高三三模数学试卷

学校:..姓名:.班级:考号:

一、填空题

1.复数3+2i的虚部是.

2.函数>=sinx+2cosx的最小正周期为.

3.若a+b=l,则仍有最大值为.

4.若lg2=a,lg；=6,则lg98=.（结果用。,6的代数式表示）

5.为了研究某班学生的脚步x（单位厘米）和身高V之间有线性相关关系，设其回归直线

方程为3=4X+70.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为.

6.若数列｛%｝满足对任意整数〃有成立，则在该数列中小于100的项一共有

;=1

项.

Ici,e*—x?+x—1,x>0

7.若函数y=2,।八为奇函数，则。+6+。=______.

[x+bx+c-\.x<0

8.“3C中，BC=6,若荡在前上的投影为好.则.

3

9.如图，己知三角形0/8为直角三角形（。为直角），分别连接点B与线段0/的〃等分点

4，4，…，4T得到〃个三角形依次为7，勺，…，△"，将0/3绕看03所在直线旋转

一周，记、，与，…，△“旋转得到的几何体的体积依次为匕，匕，…,匕,若匕=1匕=49,

则三角形。43旋转得到的几何体的体积%=.

B

OA\A24-24-iA

10.已知/（x）=，_cosx,若非零整数出。使得等式（/（办+»）'=（/（B+d））'恒成立，则

-+4得所有可能得取值为.

ca

2

11.若曲线「:与-必=1代>0）得右顶点A,若对线段。/上任意一点尸，端点除外，在「上

试卷第1页，共4页

存在关于尤轴对称得两点。、R使得三角形尸。及为等边三角形，则正数。得取值范围

是.

12.已知正方体48co-&BC1A的棱长为3,E2,纥为正方形48CD边上的左个

两两不同的点.若对任意的点片，存在点马(。€｛1,2,…/｝，反力.使得直线4N与平面

4月4以及平面Gg与所成角大小均为;，则正整数上的最大值为_____.

6

二、单选题

兀]

13.在A4BC中,“/=一”是“sin/=—”的()

62

A.充分非必要条件B.必要非充分永件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.如果4百分别是45的对立事件，下列选项中不能判断件A与事件8相互独立的是()

A.P(AcB)=P(A)，P(B)B.P(/D万)=尸(4>(1-尸(2))

C.P(B\A)=P(A)D.P(B|A)=P(B)

15.有一组样本数据毛，巧，…，々024,其中4是最小值，Xz网是最大值，则下列说法正

确的是()

A.x2,x),---,x202)的中位数一定等于X],%,…,啊)24的中位数；

B.X2,X3,---,X2023的平均数一定等于占62,…，迎024的平均数；

C.X2,X3,---,X2023的标准差一定不小于西,马,…―24的标准差；

D.x2,x3,---,x2023的30百分位数一定不等于占,马,…,工2024的30百分位数.

16.若数列｛叫的前〃项和为5“，关于正整数〃的方程5“£”+尸。记为尸，命题P：对于任

意的aeR,存在等差数列｛%｝使得万有解；命题2：对于任意的aeR,存在等比数列他,｝

使得下有解；则下列说法中正确的是()

A.命题。为真命题，命题9为假命题；B.命题〃为假命题，命题0为真命题；

C.命题。为假命题，命题9为假命题；D.命题。为真命题，命题9为真命题；

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三、解答题

17.如图，四棱锥尸-/BCD的底面是梯形，ADHBC,AB1BC,AB=BC=1,己4_1平

面48mCD±PC.

⑴求证：CD，平面R4c

IT

(2)若二面角尸-的大小为求PD与平面R4C所成的角的大小.(结果用反三角函

数值表示)

18.已知三角形Z8C的三个角对应的边分别为。、b、c

(1)求证：存在以sin/,sin8,sinC为三边的三角形；

⑵若以sin2A,sin2B,sin2C为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形ABC的最小角.

19.在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成

绩傲视亚洲.在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此

回合的争夺中输球，则双方均不得分.但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球.

,3

(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为a，且各回合相互独

立.若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率；

(2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设：

假设1：各回合比赛相互独立；

假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为

求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？

2222

20.如图1,已知椭圆「的方程为、+4=1(。＞，＞0)和椭圆？：土+匕=1,其中48分别

ab42

是椭圆7的左右顶点.

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(1)若48恰好为椭圆r的两个焦点，椭圆r和椭圆7有相同的离心率，求椭圆r的方程；

22

⑵如图2,若椭圆「的方程为二+乙=1.P是椭圆。上一点，射线/尸石尸分别交椭圆「于

84

M,N,连接NN,8M均在无轴上方).求证：斜率之积底/图为定值，求

出这个定值；

⑶在(2)的条件下，若ANHBM,且两条平行线的斜率为左(左>0),求正数上的值.

21.若定义在R上的函数V=/(x)和N=g(x)分别存在导函数/'(X)和g。).且对任意x均有

f'M>g'(无)，则称函数V=/(%)是函数V=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程/'(X)=g'(x)

的不称为，，导控点，，.

(1)试问函数V=x是否为函数y=sinx的“导控函数”？

211

(2)若函数^=y3+8工+1是函数y=-x3+bx2+cx的“导控函数”,且函数y=-x3+bx2+cx是

函数y=41的“导控函数，，，求出所有的“导控点”；

⑶若p(尤)=e*+AeT,函数y=q(x)为偶函数，函数y=p(x)是函数y=夕0)的“导控函数”，

求证：“左=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x)-g)=c恒成立”.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.2

【分析】根据复数虚部的定义即可得解

【详解】复数3+2i的虚部是2.

故答案为：2.

2.2兀

【分析】利用辅助角公式化一，再根据三角函数的周期性即可得解.

【详解】＞=sinx+2cosx=V^sin(x+0),其中tane=2,

所以函数〉=sinx+2cosx的最小正周期为2兀.

故答案为：2兀.

3.-/0.25

4

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】因为。+6=1,显然当。力＞0时，/取得最大值，所以=,

当且仅当。=6时等号成立，所以

4

所以仍有最大值为

故答案为：~~.

4

4.a-2b/-2b+a

【分析】根据对数的运算性质化简即可.

【详解】Ig98=lg2+lg49=lg2-lg'=lg2-21g+a-2b.

故答案为：a-2b.

5.166

【分析】将x=24代入回归直线方程即可得解.

【详解】由题意，令x=24,则9=4x24+70=166,

即该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为166厘米.

故答案为：166.

6.25

【分析】根据。“与S”的关系求出数列｛%｝的通项，再令＜100即可得解.

答案第1页，共14页

【详解】设数列｛%｝的前〃项和为S”,

则S〃=2/-〃，

当〃=1时，ax=Sx=\,

当〃22时，an—Sn=2,一〃一2(〃一1『+(H—1)=4〃一3,

当〃=1时，上式也成立，

所以二4〃—3,

令?=4〃-3<100,贝〈拳103，

所以在该数列中小于100的项一共有25项.

故答案为：25.

7.3

【分析】利用函数是奇函数得到/(-')=-/(%),然后利用方程求解见Ac,即可得解.

【详解】因为函数歹=/(%)=仁,'，+：为奇函数，

[x+bx+c-l,x<0

所以/(—x)=—/(x),

当1>0时，贝！J—x<0,

贝Uf(一%)—_bx+c-1-—•e%-12+x-])——ci,ex4-x2-x+1,

艮flQ・e"+(l-6)x+c—2=0,

a=0a=0

所以1—b=0,解得卜=1,

c-2=0c=2

所以a+6+c=3.

故答案为：3.

8.24

【分析】作/D工8C，根据题意，求得丽=:就,得至IJ丽=六函结合五。=马明]

33311

即可求解.

【详解】如图所示，过点A作/£)15c于点。，

答案第2页，共14页

---、1---、----2——►

因为向量直在瑟上的投影为生，可得AD=；2C,所以

333

―►——►2―►——►21——-I22

又因为BC=6,则C4C5=—C5-C5=—C5=—x36=24.

33113

故答案为：24.

【分析】设。/=*OB=b,匕=；兀（色］/）=1,匕二%锥5—O/一/1,两式相除求出〃，再由

匕=1可得而/,再计算三角形。43旋转得到的几何体的体积即可.

【详解】设。/=。，OB=b,

1,1-}Y1,n-(n-\)

vn=%超一“一匕-1=鼻兀ab~^n\-n----ab-itbU------

35ynJ5n

1722n—1cz-x

二—Tiber——--=49,②

3n

②+①得〃=25,所以匕=」吧=1,可得就力=1875,

13252

则三角形0/3旋转得到的几何体的体积%=:加许=卜1875=625.

33

故答案为：625.

10.±2

【分析】根据复合函数的求导公式求导，然后根据(/(ax+b))'=(/(cx+d))'化简整理即可得

出答案.

【详解】由/(x)=X?-COSX,

得(/(ax+b))=a[2(ax+6)+sin侬+b],

(/(cx+d))=c[2(cx+d)+sin(cx+d)],

答案第3页，共14页

因为非零整数〃，c使得等式(7(办+»)'=(/("+d»恒成立，

所以2/%+2ab+〃sin(QX+Z?)=2c2x+2cd+csin[ex+d)恒成立，

所以有2/=2(?,所以”=±c,

若Q=c,贝lja(sin办+b)—〃sin(办+d)=2ad-lab,

所以b=d,

此时q+§=2,

ca

若a=-c,贝U(2(sintzx+Z?)+(7sin(-ex+d)=-lad-lab,

即a(sinax+b^-asin(-ex+d)=-2ad-lab,

所以b=-d,

ab八

此时一+：=—2,

ca

综上所述，-+^=±2.

ca

故答案为：±2.

11.(0,^3]

【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，转化为渐近线的斜率大于或等于且，即可求

3

解.

【详解】由任意点尸线段上，端点除外，在「上存在关于x轴对称得两点。，夫使得AP0R

为等边三角形，

即存在点。使得NQPx=300,所以存在点。使得AQOx<30。，

21

由双曲线「三r-/=1(X>0)的其中一条渐近线方程为y=±x,

aa

则满足y=的斜率大于或等于4I,即Lz迫，所以0w百，

a3q3

又由。>0,所以实数。的取值范围为(0,在].

故答案为：(0,在].

答案第4页，共14页

12.8

【分析】先确定当线4/与平面4耳4所成角大小均为冷IT时，耳，与满足的条件，同理当

0

直线//与平面所成角大小均为B时，耳，鸟满足的条件，再考虑如何作出耳，Ej

即可.

【详解】如图:

TT

设耳，鸟为正方形的两个点，且满足直线4/与平面4耳4.所成的角为T，过A作

6

AHLE,Ej于H,连接4”,则乙必〃为线4/与平面4月与所成的角，是匕

6

所以NH=/4，tan'=后

6

所以在平面/BCD内，以A为圆心，目为半径做圆，取H为圆上一点，过H作圆的切线，

切线与正方形/BCD边的交点即为耳，Ej.

又44//CQ,所以C。与平面Gg与所成的角为所以以C为圆心，行为半径做圆，做

6

该圆的切线，与正方形43。边的交点即为旦，Ej.

如图：

答案第5页，共14页

因为/C=30>26,所以。/与OC相离，两圆有4条公切线，与正方形/BCD的边有8

个交点.

在这8个点中，任选一个点耳，存在点与G/e{l,2,…,8},办/).使得直线4/与平面4耳与

7T

以及平面Gg4所成角大小均为2.

0

故答案为：8

【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚片,与点的作法.先根据直线与平面所成角的概

念，判断耳，与应满足的条件，以后的问题就好想多了.

13.A

【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论.

【详解】在“3C中，若/=2,贝lJsin/=：；

62

反之，若sinN=,，且/e(0,兀)，

2

所以/=9或/=暂，

66

兀]

故"/=7”是“sinA=；”的充分不必要条件.

62

故选：A.

14.C

【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即

可.

【详解】对于A,因为尸(Nc8)=尸(/)•尸(2),所以48相互独立，故A正确；

对于B,因为玖/>(1一/团)=尸(/)尸(5),玫/口方)=尸Q)•(1-P(B)),

所以尸(4『月)=尸(4)尸(M,

答案第6页，共14页

所以42相互独立，所以42相互独立，故B正确;

对于c,尸(切/)=爹?=尸(⑷,

P(/)

所以P(/3)=/>(/))(/),所以无法判断43相互独立，故C错误;

对于D,P(8|/)=萼空=P(8),

尸⑷

因为尸(Nc2)=尸(/)•尸(8),所以48相互独立，故D正确.

故选：C.

15.A

【分析】根据中位数、百分位数、平均数及标准差的定义一一判断即可.

【详解】对于A：因为再12,…户2。24的中位数为从小到大排列的第1013个数,设为%;

又X2,马,X2023的中位数从小到大排列的第1012个数恰为％,

所以n,凡,…,超023的中位数一定等于玉,马，…/2024的中位数，故A正确；

对于B：因为士t至磔与石士丛土二土—不一定相等，

22022

故X2，W，…#2。23的平均数与国广2,…产2024的平均数不一定相等，故B错误；

对于C：因为%,%3,…,福)23的极差不大于国42,…，々024的极差，

所以n,凡,…,超023的标准差不大于国,々,…,％024的标准差，故C错误；

对于D：因为2022x30%=606.7,2024x30%=607.2,

则网,马,…,马必的30百分位数为从小到大排列的第608个数，设为"；

马,另,…,々023的30百分位数为从小到大排列的第607个数恰为M,

故马,工3,…，工2023的30百分位数一定等于占,吃,…户2024的30百分位数，故D正确.

故选：A

16.D

【分析】根据题意，利用等差数列与等比数列的性质，结合S"6用=。有解，构造出满足条

件的等差、等比数列，即可求解.

答案第7页，共14页

【详解】当。=0时，可得%=0且S"=0,显然满足SjS用=。；

当。＞0时，设等差数列｛%｝的首项而，公差为d=—浮石，

=^-4a,a2=^-y/a,a3=-，止匕时S、二^-五凡二%+出=?拈&，

26623

满足S「邑=。，即存在等差数列｛。“｝使得F有解，

当“。时，设等差数列｛%｝的首项为=手口，公差为d=-gq,

可得％~~y[-a,a2--y[-a,a3=--V-a，此时S｝=-y[-a,S2=q+%=—^-4~ci，

26623

满足ScS2=a,即存在等差数列｛%｝使得F有解,

综上可得，对于任意的"eR,存在等差数列｛%｝使得尸有解，所以命题P为真命题;

当。=0时，取等比数列｛4｝的首项为。=1,公比为g=-1,可得，=(-1产，

则,此时满足5"£“+1=0,即5屋5用=。成立；

当。＞0时，取等比数列也｝的首项为4=5,公比为4=1,可得"=4，

止匕时、=小|,邑=2小|,满足岳•邑=“，即存在等比数列也｝使得尸有解；

当。＜0时，令6'=(-2尸右，即物,｝为首项仇=口，公比为0=-2的等比数列，

此时岳=二,其=4+4=-二，满足，邑=“，即存在等比数列也｝使得万有解；

综上可得，对于任意的“eR,存在等比数列｛"｝使得尸有解，所以命题9为真命题.

故选：D.

【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题

的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信

息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要

求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律

求解；

答案第8页，共14页

4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解；

5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进

行证明；

6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解.

17.(1)证明见解析；

(2)arctan；.

【分析】(1)利用线面垂直的性质、判定推理即得.

(2)由已知及(1)确定二面角的平面角及线面角，再结合数量关系求出线面角的正切.

【详解】(1)在四棱锥尸-/BCD中，连接/C,由R4_L平面/BCD,CDu平面/BCD,

得。而CZ)_LPC,尸/n尸C=尸,P4尸Cu平面K4C,

所以CD_L平面R4C.

(2)在梯形48CD中，由AB=BC=\,得4C=母,又ADI/BC,

7T

则NC/D=N3C/=-,由(1)知，CD,平面融C,NCu平面取C,得CDL/C,

4

则CD=/C=Vi，NDPC是尸。与平面P4C所成的角，/尸C4是二面角尸-CD-/的平面

角，

JT

BPZPCA=-,在Rt△尸/C中，PALAC,于是PC=2AC=26，

因此tanZDPC=*=g，所以尸。与平面PAC所成角的大小为arctang.

18.(1)证明见解析

【分析】(1)利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明；

7T

(2)由题意可得48,C均为锐角，不妨设sin24=sin28,则可得/=8或4+2=彳，然后

2

答案第9页，共14页

分情况讨论即可.

【详解】(1)证明：因为解瓦Ce(0,7t),所以sin/>0,sinB>0,sinC>0,

因为三角形4BC的三个角对应的边分别为。、b、c,

所以。+6>c,b+c>a,a+c>b,

设三角形NBC的外接圆半径为尺，则由正弦定理得

2RsinA+2RsinB>2RsinC,

2RsinB+2RsinC>2RsinA,

2RsinA+2RsinC>2RsinB,

所以sin/+sin5>sinC,sin5+sinC>sinA,sin/+sinC〉sinB,

所以存在以sinA,sinB,sinC为三边的三角形；

（2）因为以sin24sin2民sin2C为三边的三角形为等腰直角三角形,

所以sin2A>0,sin2B>0,sin2C>0,

所以45。都为锐角，

不妨设sin2力=sin28,因为24,25£（0,兀）,

所以2/=25,或24+23=兀，

TT

所以/=8或/+2=—，

2

JTTT

当/+§=—时，C=~,贝iJsin2C=0,不合题意，舍去，

22

当4=8时，C=7i-2Af贝！Jsin2C=sin2（兀一2/）二—sin44,

因为sin2C=后sin24，所以收sin24二-sin44=-2sin24cos24,

因为sin2/>0,所以收=—2cos24，

所以cos24=-'Z,因为，

2

兀

所以2/=三3，所以/=377i,

48

所以8=4=?3兀,

O

所以。=兀一/—5二兀一把一—=

884

71

所以三角形/3C的最小角为二.

4

5

19.⑴w

(2)不合理，理由见详解

答案第10页，共14页

【分析】(1)由全概率公式，即可求解;

(2)由已知条件，求出第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，与g比较，即可

得到答案.

【详解】(1)设事件4表示第一回合该中国队运动员赢球，事件4表示第二回合该中国队

运动员赢球，

事件5表示第二回合比赛有运动员得分，

由已知，尸(4)吊尸(4)=.⑷=；,2伍)=；,尸伍区)=尸⑷,尸仅同=尸⑷，

则尸⑶=尸⑷尸(同4)+耳㈤4相)=尺⑷用勾+6R

即第二回合比赛有运动员得分的概率为4

O

(2)设运动员甲先发球，记事件4表示第，回合该运动员甲赢球,

记事件A表示运动员甲先得第一分，

则/=4U(U44)u(4A4A4)U…,

则「(，)=；+出+出+…,

所以p(/)>g,即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于

则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合

理.

20.(1)—+—=1

84

(2)证明见解析，定值为-;

⑶E

6

【分析】(1)根据椭圆顶点坐标、焦点坐标、离心率和6,c的关系直接求解即可；

(2)设乂%>0),利用两点连线斜率公式表示出如•儿，结合P在椭圆上直接化

答案第11页，共14页

简整理即可；

（3）设直线NN与椭圆「交于另一点。，知关于坐标原点对称，将直线/N方程与椭

圆方程联立可得韦达定理的结论，利用人可构造方程求得结果.

225

【详解】（1）由7：?+三=1得：^4（-2,0）,5（2,0）,且]的离心率为拳;

48恰为r的两个焦点，即椭圆r的半焦距C=2,

又椭圆「的禺心率e=£=2=—―,:.a=2s/2>Z?2=a2—c2=4,

aa2

22

,椭圆「的方程为：—+—=1.

84

222

（2）设尸（%,划（%>0）,则段+会=1,即4=2-,,

二以®，%为定值，定值为

设直线/N与椭圆r交于另一点。，由椭圆对称性可知：。，/关于坐标原点对称,

设直线4¥:了=左（％+2）,N（Xi，yJ,Q（x2,y2）,则711（-工2，-%），

y=左（％+2）

由%2/1得：（1+2-卜2+8左2工+8左2-8=0,

—+—

I84

2

则A=64左4—（32左2-32）（1+2左?）=32k+32>0,