初中数学++线段的垂直平分线第2课时+三角形三边的垂直平分线及作图课件　　+北师大版八年级数学下册

1.3线段的垂直平分线第一章三角形的证明第2课时三角形三边的垂直平分线及作图1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.线段的垂直平分线的作法.复习引入ABCD性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.新课导入作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？

P三条边的垂直平分线交于一点P新课探究例2求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.PABC已知：如图，在△ABC

中，边AB的垂直平分线与边BC

的垂直平分线相交于点P.求证：边

AC的垂直平分线经过点

P，且PA=PC.点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？BCAPlnml是

AB的垂直平分线m是

BC的垂直平分线PA=PBPB=PCPA=PC点

P在

AC的垂直平分线上证明：连接

PA，PB，PC.∵点

P在

AB，AC的垂直平分线上，∴PA=PB，PA=PC

(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等).∴

PB=PC.∴点

P在

BC的垂直平分线上

(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).BCAPlnm定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.归纳总结应用格式：∵点

P

为

△ABC

三边垂直平分线的交点，∴

PA=PB=PC．ABCP

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.做一做做一做：

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边

a和这边上的高

h.求作：△ABC，使

BC=a，BC边上的高为

h.AlDCBAah(D)CBAahAlDCBAahAl提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.尺规作图(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

例3

已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.已知：如图，线段a，h.求作：△ABC，使

AB=AC，且

BC=a，高AD=h.ah作法：（1）作线段BC=a.（2）作线段

BC的垂直平分线l，交BC于点D.（3）在l

上作线段DA，使DA=h.（4）连接

AB，AC.△ABC为所求的等腰三角形.BCDA做一做

已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.ABm你明白这个作法吗？ABPmlPl

如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.ABmPl议一议随堂演练1.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.ABEDC解：因为DE为AB的垂直平分线，

所以AE=BE.

△BCE的周长为d=EC+BE+BC

=EC+AE+BC

=AC+BC

=27+BC

=50.

所以BC=23.ABEDC2.分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.在三角形内在斜边中点在三角形外3.如图，在△ABC

中，BC=2，∠BAC

＞90°，AB

的垂直平分线交

BC于点

F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.ABCEFABCEF解：AE=BE，AF=CF.（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=24.如图，已知线段

a，求作以a

为底边、以a

为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？12ABPaa12这是个等腰直角三角形5.已知：△ABC

中，AB=AC，AD

是

BC边一上的中线，AB

的垂直平分线交

AD

于

O.

求证：OA=OB=OC.ABCDO证明：∵AB=AC，

AD

是BC的中线，∴AD

垂直平分

BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.

又∵AB的垂直平分线与交于点

O，∴OB=OC=OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）.ABCDO1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB

的垂直平分线交

AB

于

D，交

AC

于

E，连接

BE，则∠CBE

等于(

)A．80°

B．70°

C．60°D．50°CBADEC2.下列说法错误的是()A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称D3.如图所示，在△ABC

中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC

于点

D，DF⊥AC于点

F，

并与

BC边上的高

AE交于

G.求证：EG＝EC.FABCEGDFABCEGD证明：连接

AD.∵点

D在线段

AB

的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°.∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.∵AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.∴AE＝DE.又∵

DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°.∴∠CAE＝∠CDF.∴△DEG≌△AEC(ASA).∴EG＝EC.作法：(1)作直线

l.(2)在直线

l上任取一条线段

DE.(3)作线段

DE的垂直平分线MN

交

DE

于

C.(4)在射线

CE

上截取

CA=a，在射线

CM

上截取

CB=a.(5)连接

AB.△A