考研数学三（填空题）专项练习试卷7（共180题）

考研数学三（填空题）专项练习试卷7（共9套）（共180题）考研数学三（填空题）专项练习试卷第1套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设其中ai≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)。则线性方程组ATX—B的解是________。标准答案：(1，0，…，0)T。知识点解析：因为a1，a2，…an两两不相等，故范德蒙行列式|A|=(ai一aj)≠0，所以方程组ATX=B的系数行列式|AT|=|A|≠0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为X=(1，0，…，0)T。2、设f(x)=，则f’(1)=___________．标准答案：知识点解析：f(x)是2014个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦．其实，当把x=1代入每个因式后，只有第一项tan一1=0，而其余所有项都不等于0．记g(x)=3、＝_______．标准答案：ln｜χ9＋8｜－ln｜χ｜＋C知识点解析：暂无解析4、曲线y=（x—5）的拐点坐标为________。标准答案：（—1，—6）知识点解析：已知x=—1时，y"=0，在x=—1左、右两侧的微小邻域内，y"异号；x=0时，y"不存在，在x=0左、右微小邻域内，y"＞0。其中y（—1）=—6，故曲线的拐点为（—1，—6）。5、已知，则X=______．标准答案：知识点解析：由事件的运算性质，可得6、标准答案：知识点解析：7、设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且F(0)=0，则F(x)=______.标准答案：-2sinx知识点解析：按题意F(x)=为求f(x)，将题设等式求导得f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]=(cos2x+C)’=-2sinxcosx，从而f(x)=-2cosx，于是8、设X1，X2，…，X9是来自总体X一N(μ，4)的简单随机样本，而是样本均值，则满足=0．95的常数μ=______．(φ(1．96)=0．975)标准答案：1．3067知识点解析：根据题意可知9、若函数2=2x2+2y2+3xy+ax+by+C在点(－2，3)处取得极小值－3，则常数a、b、c之积abc=_________．标准答案：30知识点解析：由极值的必要条件知在点(－2，3)处，zˊx=0，zˊy=0，从而可分别求出a、b、c之值．10、设r（A）=2，则a=________。标准答案：0知识点解析：对A作初等行变换，则有当a=0时，r（A）=2。11、从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=__________．标准答案：知识点解析：由于事件{X=1}，{X=2}，{X=3}，{X=4}是一个完备事件组，且P{X=i}=，i=1，2，3，4．条件概率P{Y=2｜X=1}=0，P{Y=2｜X=i}=，i=2，3，4．根据全概率公式12、设矩阵A满足A2+A-4E=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=_______.标准答案：1/2(A+2E)．知识点解析：矩阵A的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞．应当考虑用定义法．因为(A-E)(A+2E)-2E=A2+A-4E=0．故(A-E)(A+2E)=2E．按定义知(A-E)-1=1/2(A+2E)．13、设总体X～N(0，8)，Y～N(0，22)，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则～______标准答案：知识点解析：14、设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A*)2+3A*+2E有特征值__________．标准答案：知识点解析：因为A可逆，所以λ0≠0，A*对应的特征值为，于是(A*)2+3A*+2E对应的特征值为．15、设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，-2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表出，β2=(0，1，2)T不能由α1，α2，α3线性表出，则a=_____.标准答案：-1知识点解析：依题意，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解.因为两个方程组的系数矩阵相同，故可合并一次加减消元，即可见a=-1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故a=-1.16、设一次试验中，出现事件A的概率为P，则n次试验中A至少发生一次的概率为__________，A至多发生一次的概率为________．标准答案：(1一p)n—1[1+(n一1)p]知识点解析：令B={A至少发生一次)，则P(B)=1一Cn0p0(1一p)n=1一(1一p)n，令C={A至多发生一次}，则P(C)=Cn0p0(1一p)n+Cn1p(1一p)n—1=(1一p)n—1[1+(n一1)p]．17、设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，则ρUV=__________。标准答案：知识点解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)一4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)由X，Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以18、某单位员工中有90％的人是基民(购买基金)，80％的人是炒股的股民，已知在是股民的前提条件下，还是基民的人所占的比例至少是________．标准答案：0．875知识点解析：设事件A，B分别表示员工是基民、股民，依题意P(A)=0．9，P(B)=0．8．P(AB)=P(A)+P(B)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1=0．7，因此19、设二维随机变量的分布律为则随机变量Z=Y.min{X，Y)的分布律为________．标准答案：知识点解析：Z全部可能取值为0，1，2，3，且20、设n阶实对称矩阵A满足A2+2A=O，若r(A)=k(0＜k＜n)，则|A+3E|=__________．标准答案：3=-k(0＜k＜n)．知识点解析：由A2+2A=O知，A的特征值为－2或0，又r(A)=k(0＜k＜n)，且A是n阶实对称矩阵，则故|A+3E|=3n－k．考研数学三（填空题）专项练习试卷第2套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、标准答案：所以知识点解析：暂无解析2、设y＝sin4χ＋cos4χ，求y(n)＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析3、设y＝xarctanx＋＝______．标准答案：知识点解析：4、设=__________．标准答案：知识点解析：复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设利用复合函数求导法则即得5、如果f(x)在[a，b]上连续，无零点，但有使f(x)取正值的点，则f(x)在[a，b]上的取值符号为________．标准答案：正知识点解析：利用反证法，假设存在点x1∈[a，b]，使得f(x1)＜0．又由题意知存在点x2∈[a，b]，x2≠x1，使得f(x2)＞0．由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点ξ介于x1和x2之间，使得f(ξ)=0，显然ξ∈[a，b]，这与已知条件矛盾．6、曲线的过原点的切线是________。标准答案：x+25y=0与x+y=0知识点解析：显然原点（0，0）不在曲线上，首先求出切点坐标。设切点为则切线方程为把（0，0）代入上式得x0=—3或x0=—15。则斜率分别为k1=y’|x=—3=—1；k2=y’|x=—15=所以切线方程为x+25y=0与x+y=0。7、则y′=__________．标准答案：知识点解析：暂无解析8、设，其中f连续，则φ”(x)=__________标准答案：知识点解析：9、设f(x)二阶连续可导，且则标准答案：由得f(0)=0，f′(0)=1，于是知识点解析：暂无解析10、∫0+∞xe-xdx=______．标准答案：1知识点解析：原积分=一∫0+∞xde-x=一xe-x|0+∞+∫0+∞e-xdx=∫0+∞e-xdx=一e-x|0+∞=1．11、标准答案：知识点解析：令则x=t2+2，dx=2tdt，12、设f(x，y)可微，且f’a(一1，3)=一2，f’2(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，则dz｜(1，3)=__________．标准答案：一7dx+3dy知识点解析：13、若函数2=2x2+2y2+3xy+ax+by+C在点(－2，3)处取得极小值－3，则常数a、b、c之积abc=_________．标准答案：30知识点解析：由极值的必要条件知在点(－2，3)处，zˊx=0，zˊy=0，从而可分别求出a、b、c之值．14、设B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=______．标准答案：6知识点解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．15、将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为X，用切比雪夫不等式估计P(14＜X＜28)=________．标准答案：知识点解析：16、设随机变量X的密度函数为则E(X)=______，D(X)=______．标准答案：E(X)=1，知识点解析：因为于是E(X)=1，17、标准答案：知识点解析：18、设随机变量x服从几何分布G(θ)，其中0<θ，则P{X=3}=___________。标准答案：知识点解析：P{X≤2}=P{X=1}+P{x=2}=θ(1一θ)1-1+θ(1—θ)2-1=2θ—θ2=，解得θ=(舍)，故P{X=3}=θ(1一θ)2=。19、设幂级数在x=0收敛，在x=2处发散，则该幂级数的收敛域为______．标准答案：[0，2)知识点解析：暂无解析20、设(X，Y)的概率密度为－∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=_______________．标准答案：知识点解析：由已知条件X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，1)，从而Z=X－Y服从N(0，2)，即考研数学三（填空题）专项练习试卷第3套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A=，则A一1=________．标准答案：知识点解析：设2、设f(x)为奇函数，且f’(1)＝2，则f(x3)｜x＝－1＝______．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由f(x3)＝3x2f’(x3)得＝3f’(－1)＝3f’(1)＝6．3、设方阵A满足A2-A-2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩阵，则(A+2E)-1=________标准答案：知识点解析：由A2-A-2E=O，即可得(A+2E)(A-3E)=-4E，于是有(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1因此(A+2E)-1=(A-3E)．4、曲线y=xln(e+)(x＞0)的渐近线方程为___________．标准答案：y=x+知识点解析：本题中曲线分布在右半平面x＞0上，因xlnx=0—0=0，故该曲线无垂直渐近线．又其中利用了当x→∞时，故曲线仅有斜渐近线y=x+．5、设则fn(x)=___________.标准答案：知识点解析：6、将f(χ)＝展开为χ的幂级数_______．标准答案：f(χ)＝(－1)n-1n(χ＋1)n-1－2＜χ＜0知识点解析：暂无解析7、求幂级数的收敛区间_______与和函数f(χ)＝_______．标准答案：(－1，1)；2χarctanχ－ln(1＋χ2)＋知识点解析：暂无解析8、设可导，则a=__________，b=__________．标准答案：f(1一0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1．又因为且f(x)在x=1处可导，所以a=3．故a=3，b=一2．知识点解析：暂无解析9、已知齐次线性方程组有通解k1(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，则方程组的通解是_____标准答案：k(13，-3，1，5)T(k为任意常数)知识点解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1)的通解为满足(2)的第三个方程，得(2k1+3k2)-2(-k1+2k2)+0k2+k1=0，得到5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得5k2(2，-1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，-3，1，5)T，是方程组(2)的通解．10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、标准答案：其中C为任意常数知识点解析：12、设D={(x，y)|x0+y2≤1}，则(x2一y)dxdy=___________。标准答案：知识点解析：利用函数奇偶性及轮换对称性13、若二次曲面的方程为x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经正交变换化为，则a=_______标准答案：1知识点解析：本题等价于将二次型f(x，y，z)=x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz经正交变换后化为了f=由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1，4，0．由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为A=，即可得｜A｜=-(a-1)2=0，因此a=1．14、设随机事件A，B及A∪B的概率分别为0．4，0．3和0．6，则=____________．标准答案：0.3知识点解析：15、微分方程2y"=3y。满足初始条件y(—2)=1，y’(一2)=1的特解为__________．标准答案：知识点解析：16、设f(x)连续，则标准答案：πr2cos(ξ+η)．知识点解析：17、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，记Y=X1—2X2+3X3，则D(y)=________．标准答案：46知识点解析：由D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3得D(Y)=D(X1—2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46．18、设总体X的概率密度函数为f（x；θ）=其中0＜0＜1是位置参数，c是常数，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则c=________；θ的矩估计量=________。标准答案：知识点解析：根据题意可知，19、设总体X，Y相互独立且服从N(0，9)分布，(X1，…，X9)与(Y1，…，Y9)分别为来自总体X，Y的简单随机样本，则U=～________．标准答案：知识点解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得(X1+X2+…+X9)～N(0，1)．因为Y1，…，Y9相互独立且服从N(0，9)分布，所以(Y1/3)2+(Y2/3)2+…+(Y9/3)2～χ2(9)，即(Y12+…+Y92)～χ2(9)．因此U=20、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3则D(Y)=___________．标准答案：46知识点解析：依题设有D(X1)=(b－a)2／12，D(X2)=σ2=4，D(X3)=λ=3，又因X1，X2，X3相互独立，故D(Y)=D(X1－2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=46．考研数学三（填空题）专项练习试卷第4套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则=________标准答案：1知识点解析：2、设X～N，(2，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0．4，则P(X＜0)＝______．标准答案：0．1知识点解析：暂无解析3、设X为总体，E(X)＝μ，D(X)＝σ2，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，S2＝，则E(S2)＝______．标准答案：σ2知识点解析：4、设K，L，δ为正的常数，则=_____标准答案：KδL1-δ知识点解析：5、曲线y=xln(e+)(x＞0)的渐近线方程为___________．标准答案：y=x+知识点解析：本题中曲线分布在右半平面x＞0上，因xlnx=0—0=0，故该曲线无垂直渐近线．又其中利用了当x→∞时，故曲线仅有斜渐近线y=x+．6、设n维向量α1，α2，α3满足2α1－α2+3α3=0，对于任意的n维向量β，向量组l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3都线性相关，则参数l1，l2，l3应满足关系__________．标准答案：2l1－l2+3l3=0知识点解析：因l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3线性相关<=>存在不全为零的k1，k2，k3，使得k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0，即(k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0．因β是任意向量，α1，α2，α3满足2α1－α2+3α3=0，故令2l1－l2+3l3=0时上式成立．故l1，l2，l3应满足2l1－l2+3l3=0．7、已知f（x）=则f’（x）=________。标准答案：知识点解析：当x＜0时，f’（x）=cosx；当x＞0时，f’（x）=1；8、设a=(1，0，-1)T，矩阵A=aaT，n为正整数，则｜aE-An｜=___________．标准答案：a2(a-2n)知识点解析：暂无解析9、=__________。标准答案：一(e-2xarctanex+e-x+arctanex)+C知识点解析：∫arctanexde-2x=[e-2xarctanex一=(e-2xarctanex－(e-2xarctanex+e-x+arctanex)+C。10、当x→0时，kx2与[*]是等阶无穷小，则k=___________.标准答案：3/4知识点解析：暂无解析11、设连续函数z=f（x，y）满足=0，则dz|（1，0）=________。标准答案：2dx—dy知识点解析：根据以及函数z的连续性可知f（0，1）=1，从而已知的极限可以转化为或者f（x，y）—f（0，1）=2x—（y—1）+根据可微的定义，f（x，y）在点（0，1）处是可微的，且有fx’（0，1）=2，fy’（0，1）=—1，dz|（0，1）=2dx—dy。12、设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=__________。标准答案：0知识点解析：因为0≤|x|≤|x|→0，利用夹逼定理知，=0。又知f(0，0)=a，则a=0。13、若β=(1，3，0)T不能由α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T线性表出，则a=________。标准答案：一1知识点解析：β不能由α1,α2,α3线性表出方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解．又因为a=一1时方程组无解，所以a=一1时β不能由α1,α2,α3线性表出．14、设f(x)是连续函数，且0x3-1f(t)dt=x，则f(7)=________．标准答案：知识点解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得令x=2，即得f(7)=15、无穷级数的收敛区间为___________。标准答案：知识点解析：幂级数的系数为an=(1+)n2则因此，幂级数xn的收敛半径为，收敛区间为。16、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，X3为取自X的样本，则Y=服从的分布为__________．标准答案：F(1，1)知识点解析：17、设矩阵A与B=相似，则r（A）+r（A—2E）=________。标准答案：3知识点解析：矩阵A与B相似，则A—2E与B—2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r（A）+r（A—2E）=r（B）+r（B—2E）=2+1=3。18、设则A-1=__________．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设(X1，X2，…，Xn，Xn+1，…，Xn+m)为来自总体X～N(0，σ2)的简单样本，则统计量U=服从_________分布．标准答案：因为相互独立，所以知识点解析：暂无解析20、已知在x=0处连续，则a=______．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（填空题）专项练习试卷第5套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、某城市共有N辆汽车，车牌号码从1到N．有一人将他所遇到的该城市的行辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是k(1≤k≤N)的概率为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析2、=________标准答案：知识点解析：3、设A=．B=P-1AP，其中P为3阶可逆矩阵、则B2004-2A2=________.标准答案：知识点解析：A2004=(A2)1002=E.B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1EP-2A24、设=8，则a=________．标准答案：lna知识点解析：，由e3a=8，得a=ln2．5、=_______.标准答案：π/4e知识点解析：暂无解析6、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3的正、负惯性指数都是1，则a=_________．标准答案：-2知识点解析：暂无解析7、f(sinx)=cos2x+3x+2，则f′(x)=___________．标准答案：由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1一2sin2x+3x+2，f(x)=1一2x2x+3arcsinx+2，知识点解析：暂无解析8、曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.标准答案：2知识点解析：暂无解析9、设3阶矩阵A的特征值为，则行列式｜(A2)-1＋12A*－E｜＝_______．标准答案：1620知识点解析：暂无解析10、设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为：则随机变量Z=max｛X，Y｝的分布律为_________．标准答案：知识点解析：P｛Z=0｝=P｛X=0，Y=0｝=P｛X=0｝P｛Y=0｝=P｛Z=1｝=1－P｛Z=0｝=11、标准答案：．其中C为任意常数知识点解析：12、设z=f(x，y)二阶连续可导，且f′x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=______，标准答案：由得由f′x(x，0)=2x得φ(x)=2x，即再由得由f(0，y)=sin2y得h(y)=sin2y，故知识点解析：暂无解析13、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)—y(x)，且，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=__________．标准答案：知识点解析：14、设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2}，则二重积分=________．标准答案：知识点解析：被积函数的特点含有x2+y2的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便，15、设总体X服从参数为p的0—1分布，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的概率分布为________．标准答案：知识点解析：总体X的概率分布为，此概率分布也可以表示为于是样本X1，X2，…，Xn的概率分布为p(x1，x2，…，xn)=如果记xi，则样本X1，X2，…，Xn的概率分布为p(x1，x2，…，xn)=16、设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]－1＝______(用A*表示)．标准答案：知识点解析：由A*＝｜A｜A－1得(A*)*＝｜A*｜．｜(A*)－1＝｜A｜n－1．(｜A｜A－1)－1＝｜A｜n－2A，17、若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。。标准答案：2知识点解析：因为αTβ=2，所以（βαT）β=β（αTβ）=2β，故βαT的非零特征值为2。18、设A=，则A-1=______．标准答案：知识点解析：则A-1=19、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X一3，则E(Y)=________，D(Y)=__________。标准答案：32知识点解析：因为X～P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(y)=4E(X)一3=5，D(Y)=16D(X)=32．20、设随机变量Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)独立同分布，E(Xij)=2，则行列式的数学期望E(Y)=________．标准答案：0知识点解析：解一由行列式定义，有因Xij(i=1，2，…，n；n≥2)相互独立，同分布，且E(Xij)=2，故由期望的性质得到将上述和式再用n阶行列式定义写成一个由E(Xij)为元素的n阶行列式，即解二由式①得到因n阶排列的全部n!个排列中逆序数N(j1j2…jn)为奇数和偶数的个数各半，故从而考研数学三（填空题）专项练习试卷第6套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=________．标准答案：e6知识点解析：2、设y＝y(χ)由y＝tan(χ＋y)所确定，试求y′＝_______，y〞＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析3、函数y-x+2cosx在区间上的最大值为_____________________。标准答案：知识点解析：令y’=1-2sinx=0，解得，把分别代入函数解析式中得因此函数在区间上的最大值为。4、＝______．标准答案：知识点解析：5、设随机变量X的密度函数为f(x)＝，则E(X)＝______，D(X)＝______．标准答案：E(X)＝1，D(X)＝知识点解析：因为f(x)＝，于是E(X)＝1，D(X)＝．6、设y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy=___________．标准答案：知识点解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=7、曲线ex+y-sin(xy)=e在点(0，1)处的切线方程为______．标准答案：知识点解析：ex+y-sin(xy)=e两边对x求导得ex+y.(1+y’)-cos(xy).(y+xy’)=0，将x=0，y=1代入得y’(0)=故所求的切线方程为8、函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=______.标准答案：-2n（n-1)!知识点解析：暂无解析9、设A、B均为3阶矩阵，E是3阶矩阵，已知AB＝2A＋B，B＝，则(A－E)-1＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.标准答案：2edx+(e+2)dy知识点解析：暂无解析11、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为3的泊松分布，则D(X1一2X2+3X3)=_______．标准答案：46知识点解析：根据题设可知，D(X1)=．D(X2)=22=4，D(X3)=3，于是D(X1一2X2+3X3)=D(X1)+4D(X3)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．12、函数F(x)=∫1x(1－ln)dt(x＞0)的递减区间为__________．标准答案：[e2，+∞)知识点解析：需要考虑F(x)的导函数Fˊ(x)=1－ln．令Fˊ(x)≤0，即得x≥e2．13、设A，B是任意两个事件，则=_________．标准答案：0知识点解析：14、D是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则(1+x)sinydσ=__________。标准答案：+sinl+cosl一2sin2一cos2知识点解析：积分区域可以表示为D={(x，y)|0≤y≤1+x，0≤x≤1}，则(1+x)sinydσ=∫01dx∫01+x(1+x)sinydy=∫01[(1+x)一(1+x)cos(1+x)]dx，利用换元法，令1+x=t，x∈[0，1]时，t∈[1，2]，则(1+x)sinydσ=∫12(t—tcost)dt=+sinl+cosl—2sin2一cos2。15、设f(x)满足等式xf’(x)－f(x)＝，且f(1)＝4，则∫01f(x)dx＝______．标准答案：知识点解析：∫01f(x)dx＝xf(x)｜01－∫01xf’(x)dx＝f(1)－∫01[f(x)＋]dx＝4－∫01f(x)dx＋∫01d(1－x)＝4－∫01f(x)dx－∫01dt＝4－∫01f(x)dx－cos2θdθ＝4－∫01f(x)dx－，于是∫01f(x)dx＝2－．16、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)．证明：当n充分大时，随机变量Zn=近似服从正态分布，并指出其分布参数．标准答案：因为X1，X2，…，Xn独立同分布，所以X12，X22，…，Xn2也独立同分布且E(Xi2)=a。，D(Xi2)=a4一a22，当n充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故乙近似服从正态分布，两个参数为μ=a2，σ2=。知识点解析：暂无解析17、微分方程满足初值条件y(0)=0，y’(0)=的特解是_______．标准答案：x=ey—e-y一知识点解析：熟悉反函数的导数的读者知道原方程可化为x关于y的二阶常系数线性方程．将式①代入原方程，原方程化为解得x关于y的通解为当x=0时，y=0代入上式，得0=C1+C2．再将式②两边对y求导，有解得C1=1，C2=一1，于是得特解x=ey一e-y一18、已知一2是A=的特征值，其中b是不等于0的任意常数，则x=______标准答案：一4知识点解析：由|λE一A|=|-2E-A|=0，可求得x=一4．19、设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_________．标准答案：t＞2知识点解析：二次型的矩阵为A==1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．20、若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置矩阵，则矩阵βαT的非零特征值为__________．标准答案：2知识点解析：因A=βαT的秩为1，由命题2．5．1．8知，A非零的特征值为αTβ=2．注：命题2．5．1．8设α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T，A=αβT，则秩(A)=秩(αβT)=1，A的n个特征值为考研数学三（填空题）专项练习试卷第7套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、∫01sin2xtdt＝______．标准答案：知识点解析：2、设X的分布函数为F(x)＝且Y＝X2－1，则E(XY)＝______．标准答案：－0．6知识点解析：随机变量X的分布律为X～E(XY)＝E[X(X2－1)]＝E(X3－X)＝E(X3)－E(X)，因为E(X3)＝－8×0．3＋1×0．5＋8×0．2＝－0．3，E(X)＝－2×0．3＋1×0．5＋2×0．2＝0．3，所以E(XY)＝－0．6．3、设随机变量X的概率分布P(X=k)=，k=1，2，…，其中a为常数。X的分布函数为F(x)，已知F(b)=，则b的取值应为________。标准答案：3≤b＜4知识点解析：首先确定a，由当i≤x＜i+1时，F(x)=故i=3，3≤b＜4。4、由方程χyz＋所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的全微分dz＝_______．标准答案：dχ－dy知识点解析：暂无解析5、∫max{x+2，x2}dx=______．标准答案：知识点解析：max{x+2，x2}=当x≤－1时，∫max{x+2，x2}dx=+C1；当－1＜x＜2时，∫max{x+2，x2}dx=+2x+C2；当x≥2时,∫max{x+2，x2}dx=C3，6、标准答案：1知识点解析：原式可化为7、设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)为顶点的三角形区域，则标准答案：8知识点解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)两个部分(见图4．13)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=所以于是I=0+8=8．8、设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}=________。标准答案：知识点解析：由题意知X与Y的概率密度均为：9、已知一2是的特征值，则x=__________．标准答案：x=-4知识点解析：因为一2是矩阵A的特征值，所以由10、若数列（an+a2）+（a3+a4）+…+（a2n—1+a2n）+…发散，则级数an_________。标准答案：发散知识点解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设an收敛，则级数（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n—1一．+a2n）+…收敛，与题设矛盾，故an发散。11、设随机变量Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij=2，则行列式的数学期望EY=________。标准答案：0知识点解析：由n阶行列式的定义知，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，r(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数。而Xij(i，j=1，2，…，n)独立同分布且EXij=2，故12、微分方程xy’+2y=sinx满足条件的特解为________。标准答案：知识点解析：将已知方程变形整理得，根据通解公式得，13、设f(x)在x=0处连续，且=一1，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．标准答案：知识点解析：14、微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是______．标准答案：，其中C为任意常数知识点解析：原方程化为由通解公式得其中C为任意常数．15、二次型f（x1，x2，x3）=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是________。标准答案：z12+z22一z32知识点解析：二次型的矩阵所以矩阵A的特征值是2，6，—4，即正交变换下的二次型的标准形是2y12+6y12—4y32，因此其规范形是z12+z22一z32。16、标准答案：知识点解析：17、将“充分”、“必要”、“充要”、“充分而非必要”、“必要而非充分”之一填入空格：标准答案：(1)必要；(2)充要；(3)充分；(4)充分；(5)必要；(6)充分．知识点解析：暂无解析18、设z=xf(x+y)+g(x一y，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=________．标准答案：f’+xf"+xy一1g’1+yxy一1lnxg’1+yx2y一1lnxg"11+2yy一1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22知识点解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy一1g’1(xy，x2+y2)+2xg’2(xy，x2+y2)=f’+xf"+xy一1g’1+yxy一1lnxg’1+yx2y一1lnxg"11+2yy一1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"2219、设n阶(n≥3)矩阵A的主对角元均为1，其余元素均为a，且方程组Ax=0只有一个非零解组成基础解系，则a=________．标准答案：知识点解析：，AX=0只有一个非零解组成基础解系，故r(A)=n一1，20、设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=，λ3=，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，一3α1，一α2)，则P一11(A一1+2E)P=________．标准答案：知识点解析：P1(A1+2E)P=P1A1P+2E，而P1A1P=，所以P1(A1+2E)P=考研数学三（填空题）专项练习试卷第8套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为__________．标准答案：(1，0，0)T．知识点解析：设A=(α1,α2,α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T。2、sin（x一t）2dt=________。标准答案：sinx2知识点解析：令x—t=u，则3、微分方程y’’＋4y＝4x－8的通解为______．标准答案：y＝C1cos2x＋C2sin2x＋x－2知识点解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y＝C1cos2x＋C2sin2x＋x－2．4、已知f(x)=，则∫01fxf(x)dx=___________．标准答案：(e-1—1)知识点解析：用分部积分法．由于f’(x)=，故5、设曲线y=f(x)与y=x2一x在点(1，0)处有公共切线，则=___________.标准答案：一2知识点解析：由题设知f(1)=0，f’(1)=1．6、设函数f(x)=且λ＞0，则∫-∞+∞xf(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：已知x≤0时，函数值恒为0，因此可得∫-∞+∞xf(x)=∫0+∞λxe-λx=-∫0+∞xd(e-λx)=xe-λx|0+∞+∫0+∞e-λxdx7、设3阶矩阵A的特征值为，则行列式｜(A2)-1＋12A*－E｜＝_______．标准答案：1620知识点解析：暂无解析8、函数f(x，y，z)=-2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是________．标准答案：一4知识点解析：由拉格朗日乘数法即得．9、标准答案：2知识点解析：10、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为________，其值等于________．标准答案：知识点解析：由得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为11、设区域D由y=｜x｜与y=1围成，则(y2sinx+x2y)dxdy=_______．标准答案：知识点解析：由对称性得(y2sinx+x2y)dxdy=x2ydxdy=∫01dy∫-yyx2ydx=∫01ydy∫-yyx2dx=2∫01ydy∫0yx2dx=∫01y4dy=12、设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=________．标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)=fx’[x，f(x，2x)]+fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)=fx’[1，f(1，2)]+fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4×(3+8)=47．13、幂级数在收敛区间(一a，a)内的和函数S(x)为________．标准答案：知识点解析：14、二次型f（x1，x2，x3）=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是________。标准答案：z12+z22一z32知识点解析：二次型的矩阵特征多项式所以矩阵A的特征值是2，6，一4，即正交变换下的二次型的标准形是2y12+6y22一4y32，因此其规范形是z12+z22一z32。15、微分方程y"-4y=e2x的通解为y=________．标准答案：C1e-2x+(C2+)e2x，其中C1C2为任意常数知识点解析：y"一4y=0的特征根λ=±2，则其通解为y=C1e-2x+C2e2x．设其特解y*=Ae2x代入y"一4y=e2x，可解得A=．所以y"—4y=e2x的通解为C1e-2x+(C2+)e2x,其中C1，C2为任意常数．16、的通解为______．标准答案：+Ce2y(C为任意常数)知识点解析：由-2x=y2，则x=(∫y2.e∫-2dydy+C)e-∫-2dy=(∫y2.e-2ydy+C)e2y=+Ce2y(C为任意常数)．17、一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为(k=1，2，3)，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=_________．标准答案：知识点解析：令Ak={第k个零件不合格)(k=1，2，3)，18、设A是3阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|=______．标准答案：6知识点解析：由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知A有特征值一1，一2，一3，则A+4E有特征值3，2，1，故|A+4E|=6．19、设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，x1，x2，…，xn是其观察值，则未知参数θ的最大似然估计值为________．标准答案：知识点解析：似然函数为解得θ的最大似然估计值为20、设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0．5，则E(X2)=______．标准答案：39知识点解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．考研数学三（填空题）专项练习试卷第9套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、求极限＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析2、行列式D==______标准答案：120知识点解析：利用行列式的性质和范德蒙德公式．将行列式第四行加到第一行上后，就可以提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即原式3、已知A，B，C都是行列式值为2的3阶矩阵，则D==____标准答案：知识点解析：根据行列式按行(列)展开法则，得4、标准答案：知识点解析：5、=__________标准答案：知识点解析：6、设f(x)=在x=0处连续，则a=__________．标准答案：e—1知识点解析：因为，所以a=e—1．7、设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝5，E(X2)＝，则n＝______，p＝______．标准答案：15，知识点解析：因为E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，E(X2)＝D(X)＋[E(X)]2＝np