高考数学一轮复习题型与专项训练：幂函数题型战法

第二章函数

2.6.1塞函数(题型战法)

知识梳理

一募函数的概念

一般地，函数＞=产称为募函数，其中。为常数.

注意：新函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.

二募函数的图像与性质

(1)五个常见幕函数的图像：

如右图所示

(2)五个常见幕函数的性质：

函数

-1

y=xy-x2J=X2y=%3y=%

性质

定义域R[0,+oo)RR(fO,0)U(0,+OO)

值域R[0,+QO)[0,+GO)R(7D,0)U(0,+OO)

奇偶性奇非奇非偶偶奇奇

(—00,0)上减(—00,0)上减

单调性R上增[0,+co)上增R上增

[0,+oo)上增(0,+oo)上减

(1)所有的幕函数在区间(0,+8)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像

都过点(1,1).

公共点

(2)如果。＞0,幕函数图像过原点，并且在［0,+8)上是增函数

(3)如果。＜0,器函数图像过原点，并且在［0,+8)上是减函数

题型战法

题型战法一幕函数的概念

典例1.下列函数是幕函数的是（）

A.y=2xB.y=x2-lC.j=x3D.y=2x

变式1-1.下列函数是嘉函数的是（）

,,1

A.y=2x2B.y=-xC.y=—D.y=2'

变式12已知幕函数尸了（力的图象过点（2,8）,则4-2）的值为（）

A.8B.-8C.4D.—4

变式1-3.已知幕函数y=（川一3加+3）-一7的图象不过原点，则实数机的取值为（）

A.1B.2C.-2D.1或2

变式1-4.已知幕函数/（x）=Ax"（左的图象过点（；,0）,则左+々等于（）

A.；B.1C.—D.2

22

题型战法二幕函数的图像

典例2.函数y=«的图象大致为（）

变式2-1.已知幕函数〃x)的图象过点(9,3),则函数的图象是()

变式2-2.如图，①②③④对应四个累函数的图像，其中①对应的幕函数是()

变式2-3.图中。、C2、C3为三个幕函数＞在第一象限内的图象，则解析式中指数。的值依次

可以是()

A.；、3、-1B.-1、3、-yC.；、-1、3D.-1、：、3

变式24已知累函数和g(x)=N,其中a＞尸＞0,则有下列说法:

①“X)和g(x)图象都过点(1,1)；

②于8和g(x)图象都过点(-1,1)；

③在区间口,+(»)上，增长速度更快的是/(X);

④在区间口，内）上，增长速度更快的是g（x）.

则其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

题型战法三幕函数的定义域

典例3.下列嘉函数中，定义域为R的是（）

-1-11

A.y-XB.y—2C・y--^3D.-y-JQI

3

变式3-L若（x-2）w有意义，则实数x的取值范围是（）

A.[2,+oo)B.(-Q0,2]C.(2,-HX))D.(f2)

变式32函数〃=—x产+（2x-1）°的定义域是（）

A.（-8,1]B.S'Jug'l]C.（-00,-1）D.

4524

变式3-3.5个幕函数：①y=x-2；②y=/；③y=/；④y=尤3；⑤y=”.其中定义域为R的是（）

A.只有①②B.只有②③C.只有②④D.只有④⑤

变式3-4.若函数〃x）=xW则函数y=*4x—3）的定义域是（)

A.(—00,+oo)B.

C[”

D.2:

题型战法四塞函数的值域

典例4.函数厂一在区间；,2上的最小值是（）

A.-B.--C.4D.-4

44

变式4-1.在下列函数中，定义域和值域不同的是（）

t£52

A・y=WB.y=C.y-D・y=x§

变式4-2.幕函数y=〃x)的图象过点(2,3),则函数y=x-"x)的值域是()

A.(^30,-K0)B.c.一;，+001D.[一；，+°°

13%—2%<1

变式43已知函数/(%)=1'、'则函数/(%)值域是()

1%2,1v汽44,

A.(F,2]B.(-2,2]

C.(1,4]D.(-oo,4]

变式4-4.已知嘉函数/（x）=x“的图象过点（2,；）,则函数7⑴的值域为

A.（一8,0）B.（0,+oo）c.（-oo,0）u（0,+oo）D.（-8,+8）

题型战法五塞函数的单调性

典例5.下列函数在（0,+⑹上为减函数的是（）

A.y=4xB.y=-C.”尤？D.y=x

~X

1

变式5-1.已知函数人元）='一以+3尸的增区间为（）

A.（3,+oo）B.（2,+oo）C.（-°°,2）D.（-℃』）

(a+2)x,(x<l)

变式5-2.已知函数〃尤）=是减函数，则实数。的取值范围是（)

xa-6,(x>1)

A.[-7,-2)B.(-oo,-2)C.(-co,-7)D.(-7,-2)

变式5-3.已知幕函数〃司=（1一4加+4），-2，”在（0,+8）上是增函数，则实数机的值为（）

A.1或-3B.3C.-1D.-I或3

变式54已知事函数〃x）=（8疗一2时/在（O,+e）上为增函数，则〃4）=（）

A.2B.4C.6D.8

题型战法六幕函数的奇偶性

典例6.下列函数是奇函数的为（）

A.y=2vB.y=x~l

Qy=logiD.y=x2

变式6-1.下列函数中，值域是［0,+动且为偶函数的是（）

A.y=x'2B.y=e%+e-xC.y=|lgx|D.）=%

变式6-2.下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）

A.y=tanxB.y=log2x

2a

C.y=-D.y=d

X

变式6-3.设使函数y=x&的定义域是R,且为偶函数的所有。的值是（

A.2B.1,2

C.2D.1,2

变式6-4.已知幕函数〃同=（/-3°+3卜"M为偶函数，则实数。的值为（）

A.3B.2C.1D.1或2

题型战法七比较大小与解不等式

典例7.设。=1.2。2,5=0.9""=0.3"，则a,b,c大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

202

变式7-1.a=0.5°-,Z7=logl1c=0.4,则（）

23

A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

变式7-2.设a=o.75,6=o,8“c=bg3]，则（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

变式7-3.已知(5_2“/<(,”#，则m的取值范围是()

A.(2,+oo)B.(2,|C.(-oo,2)D.[1,2)

变式7-4.若(”+1鼠(3_2/，则实数。的取值范围是()

A.卜,|[B.C.1，"D.1,|

第二章函数

2.6.1幕函数（题型战法）

知识梳理

一事函数的概念

一般地，函数丁=/称为黑函数，其中a为常数.

注意：幕函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.

二塞函数的图像与性质

（1）五个常见募函数的图像：

如右图所示

（2）五个常见幕函数的性质：

函数1_

2y"

尸Xy-x1y=xy二/

性质

定义域R[0,+oo）RR

值域R［。,+8）[0,+co）R（^X）,O）U（O,-Ko）

奇偶性奇非奇非偶偶奇奇

（一8,0）上减（一8,0）上减

单调性R上增［0,+co）上增H上增

［0,+oo）上增（0,+oo）上减

（1）所有的褰函数在区间（O，+s）上都有定义，因此在第一象限内都有图像，

并且图像都过点（1,1）.

公共点

（2）如果a〉0,幕函数图像过原点，并且在［0,+8）上是增函数

（3）如果募函数图像过原点，并且在［0,+8）上是减函数

题型战法

题型战法一幕函数的概念

典例1.下列函数是幕函数的是（）

A.y=2xB.y=x2-l

C.j=x3D.y=2*

【答案】C

【解析】

【分析】

由幕函数定义可直接得到结果.

【详解】

形如＞=丁的函数为幕函数，则y=三为幕函数.

故选：C.

变式1-1.下列函数是惠函数的是（）

A.y=2x2B.y=-x~l

C.D.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

根据幕函数的定义判断.

【详解】

形如y=（a为常数且a£R）为事函数,

所以，函数丫=：=尸为幕函数，函数y=2/、y=-x-1y=2,均不是幕函数.

故选：C.

变式12已知褰函数y=〃x）的图象过点（2,8）,则2）的值为（）

A.8B.—8C.4D.—4

【答案】B

【解析】

【分析】

设〃司=/，由已知条件求出a的值，可得出函数〃力的解析式，由此可求得了（-2）

的值.

【详解】

设/(x)=x",由〃2)=2"=8,可得a=3,贝1]〃力=/，因此，/(-2)=(-2)3=-8.

故选：B.

变式1-3.已知幕函数y=（疗_3.+3）/»的图象不过原点，则实数机的取值为（）

A.1B.2C.-2D.1或2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，可知系数为1,指数应小于0,由此列出不等式组，解得答案.

【详解】

m2-3m+3=1

由题意可知:

m2-m—2<0

解得机=1,经经验，符合题意,

故选：A.

变式14已知幕函数/（尤）=依。（左的图象过点（；,血），则左+e等于（）

A.；B.1C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据幕函数的定义，结合代入法进行求解即可.

【详解】

因为了⑴是幕函数，所以左=1,又因为函数“X）的图象过点（；,血），

所以d）0=2-。=2万=。=一!，因止匕后+a=,，

222

故选：A

题型战法二幕函数的图像

典例2.函数y=«的图象大致为（）

【解析】

【分析】

根据幕函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象.

【详解】

由y=&NO,排除B、D,根据对应幕函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除

C.

故选：A.

变式2-1.已知幕函数的图象过点（9,3）,则函数的图象是（）

【解析】

【分析】

设出函数的解析式，根据幕函数＞=/（尤）的图象过点（9,3）,构造方程求出指数的值,

再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象.

【详解】

设幕函数的解析式为了。）=/

•••幕函数〉二八刈的图象过点囚⑶,

解得a=g

:.y=f（x）=Q,其定义域为［0,+s）,且是增函数,

当0＜工＜1时，其图象在直线V=x的上方.对照选项可知C满足题意.

故选:C.

变式2-2.如图，①②③④对应四个幕函数的图像，其中①对应的幕函数是（）

c.y=x

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数图象求出幕函数的指数取值范围，得到正确答案.

【详解】

根据函数图象可得：①对应的幕函数y=x。在［0,+。）上单调递增，且增长速度越来越

慢，故ae（0,1）,故D选项符合要求.

故选：D

变式2-3.图中。、C2、C3为三个幕函数y=y在第一象限内的图象，则解析式中指

数a的值依次可以是（）

A.；、3、-1B.-1、3、1C.；、-1、3D.-1、J、3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据募函数y=x。在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数。的可能取值.

【详解】

由幕函数〉=丁在第一象限内的图象，结合幕函数的性质，

可得：图中。对应的a<0,C2对应的0<<z<l,C3对应的£>1,

结合选项知，指数。的值依次可以是3.

故选：D.

变式24.已知幕函数/(无)=丁和g(x)=/,其中a>用>0,则有下列说法：

①/(X)和g(x)图象都过点(1,1)；

②/(x)和g(x)图象都过点(一1,1)；

③在区间［1,+8)上，增长速度更快的是/(X)；

④在区间口,+◎上，增长速度更快的是g(x).

则其中正确命题的序号是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】A

【解析】

【分析】

由募函数的性质进行分析判断即可

【详解】

幕函数的图象过定点CM),①正确，

在区间口,+(»)上，a越大y=x"增长速度更快，③正确，

故选：A.

题型战法三幕函数的定义域

典例3.下列新函数中，定义域为R的是()

A.y—XB・y=%2C・y-j^3D・y=九2

【答案】c

【解析】

【分析】

直接根据幕函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义,

分式则必须分母不为0

【详解】

对选项A,则有：尤力。

对选项B,则有：x>0

对选项C,定义域为：R

对选项D,则有：x>0

故答案选：C

3

变式3-1.若(x-2户有意义，则实数x的取值范围是()

A.[2,+w)B.2,2]C.(2,向D.(—,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

将分式指数幕化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x的不等式，即可解得实

数x的取值范围.

【详解】

_31

由负分数指数褰的意义可知，(“一2)4=1_2)3，

所以》-2>0,即x>2,因此X的取值范围是(2,+«)).

故选：C.

变式3-2.函数〃x)=(l_x)W+(2x-l)°的定义域是()

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数解析式有意义可得出关于实数x的不等式组，由此可解得函数〃x)的定义

域.

【详解】

因为"X)=(1T)W+(2X_1)°=/+(2X_1)°,

则有I：：；,解得》<1且门；,因此〃x)的定义域是um

故选：B.

4524

变式3-3.5个新函数：①尸婷；②了=必；③产/；④>=户；⑤厂”淇中定

义域为R的是()

A.只有①②B.只有②③C.只有②④D.只有④⑤

【答案】C

【解析】

【分析】

分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可.

【详解】

①y=H的定义域为(f0)(o,+a>),

4

②了二行的定义域为R，

③y=£的定义域为(。，+8)，

2

④y=#的定义域为R，

4

⑤y=”的定义域为(-8,0)J(0,+8),

故选：C.

【点睛】

本题考查幕函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.

1

变式3-4.若函数〃%)=f万则函数y=/(4x—3)的定义域是()

A.(―GO,+oo)B.1一

C.、，+[D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出“4x-3）=寻有，根据褰函数的定义域求解即可.

【详解】

/、--1

幕函数〃尤）=X2=7，

y=〃4尤_3）=

3

所以41一3>0,所以%>:，

4

所以函数y=〃4x-3）的定义域是',+，），故选D.

【点睛】

本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法:

⑴已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）对实际问题:

由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解;（3）若已知函数〃x）的定义域

为［。,0，则函数f（g（x））的定义域由不等式a<g（x）<b求出.

题型战法四塞函数的值域

典例4.函数y=一在区间；,2上的最小值是（）

A.-B.--C.4D.-4

44

【答案】A

【解析】

【分析】

由于函数y=/在区间；，2上是减函数，从而可求出其最小值

【详解】

•.•函数y=H在区间1,2上是减函数，

二Xnin=2-=；,

故选：A.

【点睛】

此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题

变式4-1.在下列函数中，定义域和值域不同的是（）

£52

A.y=x§B.y=X2C.y=D.y=J

【答案】D

【解析】

【分析】

把幕函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.

【详解】

由y=_J=也可知，xeR,y&R,定义域、值域相同；

由>=£=«可知彳€[°，+8），je[O,-H»）,定义域、值域相同；

由>可知，xeR,,定义域、值域相同ywR；

2

由〉=/=疗可知，xeR,ye[0,+oo）,定义域、值域不相同.

故选：D

变式42幕函数y=〃x）的图象过点（2,©,则函数y=的值域是（）

A.（-CO,-KO）B.1-00'：）C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设〃X）=£,带点计算可得〃x）=£，得到y=x_xT，令转化为二次函数的值

域求解即可.

【详解】

设/（力=/,

代入点（2,点）得2"=应

1

"°=2'

•."（x）=x2

贝"y=x-/，令./°

函数y=x-〃x)的值域是一；,+"

故选：C.

3X—2x<1

1'、'则函数/(力值域是()

{%2,1<%《4,

A.(—oo,2]B.(—2,2]

C.(1,4]D.(一叫4]

【答案】B

【解析】

【分析】

结合分段函数的单调性来求得〃x)的值域.

【详解】

当时，y=3=2单调递增，值域为(-2』；当1<%,4时，y=£单调递增，值域

为。，2],故函数值域为(-2,2].

故选：B

变式4-4.已知幕函数/(x)=x"的图象过点(2,g),则函数f(x)的值域为

A.(-0o,0)B.(0,+oo)C.(-co,0)u(0,+oo)D.(-℃,+(»)

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：f(x)=x”的图象过点(2,；)，2"=；."=_1二〃司=尤T,值域为

(-00,0)u(0,+oo)

考点：骞函数值域

题型战法五塞函数的单调性

典例5.下列函数在(0,一)上为减函数的是()

A.y=yjxB.y=-(2.〉=尤2D.y=x

X

【答案】B

【解析】

【分析】

依据幕函数的性质去判断各选项的单调性即可解决.

【详解】

选项A：由;>0可得y=£=«在(0,+8)上单调递增.不符合要求，排除；

选项B：由-1<0可得>=无一=」在(0,y)上单调递减.符合要求，可选；

X

选项C：由2>0可得y=x2在(0,+◎上单调递增.不符合要求，排除；

选项D：由1>0可得，=彳在(0,入)上单调递增.不符合要求，排除.

故选：B

变式5-1.已知函数/(幻=仔-©+3)；的增区间为()

A.(3,+oo)B.(2,+8)C.(-8,2)D.(-℃,1)

【答案】A

【解析】

先求得函数的定义域，再令r=Y-4x+3,结合y=j的单调性，利用复合函数的单

调性求解.

【详解】

由x?—4x+320,

解得xN3或xWl,

因为才=》2一4x+3在递减，在[3,+00)递增，

又因为y=1在。+00)递增，

所以增区间为(3,+oo)

故选：A

变式5-2.已知函数"》)=[(“：2匕(》1)是减函数，则实数a的取值范围是()

IX-6,(%>1)

A.[-7,-2)B.(-oo,-2)C.(f,-7)D.(-7,-2)

【答案】A

【解析】

【分析】

〃+2<0

由分段函数“X）是减函数及幕函数的单调性，可得“<0,解不等式组即

1°-6<（6?+2）X1

可得答案.

【详解】

解：因为函数"X）=卜：是减函数，

［尤"-6,（x>D

«+2<0

所以<a<0,解得一74。<—2,

F-6<（«+2）xl

所以实数〃的取值范围是［-7,-2）,

故选：A.

变式5-3.已知累函数〃尤）=（疗-赤+勺—―在（o,+8）上是增函数，则实数小的值

为（）

A.1或-3B.3C.-1D.-1或3

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数是幕函数，解得根=3或%=1,再代入原函数，由函数在（0,+"）上是增函数确

定最后的加值.

【详解】

,函数是幕函数,则加2_4m+4=1,工〃?=3或加=1.当〃?=3时=在（0,+ao）上

是增函数，符合题意；当加=1时〃力=/在（0,+8）上是减函数，不合题意.

故选：B.

变式54已知幕函数〃x）=（8病一2时/在（0,+向上为增函数，则〃4）=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

—2'trj—1—0

由于幕函数在在(0,+8)上为增函数，所以可得c一，求出加的值，从而

m>0

可求出幕函数的解析式，进而可求得答案

【详解】

141m7上汨18/-2〃2-1=01

由ZEA息、倚1,倚m=~，

Im>02

则〃彳)=户=石，44)=2.

故选：A

题型战法六幕函数的奇偶性

典例6.下列函数是奇函数的为()

A.y=2xB.y=x-1

C.yTog^xD.y=f

2

【答案】B

【解析】

【分析】

奇函数应该满足f(x)=-/(-x),且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可.

【详解】

奇函数应该满足“X)=-〃T),

2T〜23y=%尤的定义域为(0,+力)

显然A,C,不成立，

当xwO时，有(-x)T=-尤t,所以y=x-为奇函数，

由(-尤)2=Y可知，y=x?为偶函数.

故选：B.

变式6-1.下列函数中，值域是［0,+e)且为偶函数的是()

A.y=x'2B.y=ex+exC.y=|lgx|D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.

【详解】

y=H的值域为（0,+巧，不符合题意，A选项错误.

y=e*+er»2je*-eT=2,当x=0时等号成立，不符合题意，B选项错误.

>=旭,的定义域为（。，+“），是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误.

令〃力=声，其定义域为R，〃T）=（T）3=X3=〃X），所以是偶函数，

且120，即“X）的值域为［0,+8），符合题意，D选项正确.

故选：D

变式6-2.下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）

A.y=tanxB.y=log2x

C.y=—D.y=x3

x

【答案】D

【解析】

【分析】

根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

对于A,y=tanx的定义域为万发

JfU>y,但tang;r=-^3<君=tan三，

故》=1211元在定义域上不是增函数，故A错误.

对于B,>=1。82》的定义域为（0,内），它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，

故B错误.

对于C,因为2>1时，故y=4在定义域上不是增函数，故C错误.

21x

对于D,因为y=V为塞函数且幕指数为3,故其定义域为R,且为增函数，

而（-彳）3=-%3,故l=T为奇函数,符合.

故选：D.

变式63设公］,1,2卜使函数y=x。的定义域是R,且为偶函数的所有。的值是

()

A.2B.1,2

C.I，2D.1,2

【答案】A

【解析】

【分析】

把a=g,l,2分别代入验证即可.

【详解】

当a=1•时，y=xa=4x,定义域为［0,+8),故a

当tz=l时，y=xa=x,定义域为R,