《找次品》-数学五升六衔接讲义人教版

人教版数学五升六衔接讲义(复习进阶)

专题08找次品

5个乒乓球，只有一个质量较轻，至少称几次能找出这

个质量较轻的乒乓球？

畸1

天平

5(2,2,1)-(至少2次)

天平两端放置质量相同的物体时，天平左右两端平不平衡2(1_cJ)

衡；哪一端的物体重，那一端就向下，轻的一端向上

将5个乒乓球分成(2,2,1)三份。

第一次称：将2个2份放在天平上称,若平衡，则没有称

❶把待测物品分成3份

的那个是较轻的乒乓球；

3尽可能平均分，不能平均分的，也应该使最佳方法第二次称：若第一次天平不平衡，将天平上翘一端的两

多的一份与少的一份只相差1个放在天平的两边称，上翘一端的是较轻的乒乓球

至少要称2次才能找到较轻的乒乓球。

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用天平找次品规律：

1、把所有物品尽可能平均地分成3份，(如余1则放入到最后一份中；如余2则

分别放入到前两份中)，保证找出次品而且称的次数一定最少。

2、数目与测试的次数的关系：

2〜3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次

4〜9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次

10〜27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次

28〜81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次

82〜243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次

244〜729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次

（寸^百分能力达标必

一、选择题（共6题；每题3分，共18分）

1.（3分）（2021五下•镇原期末）有12盒巧克力，其中的11盒质量相等，另有一盒少了几块，如果用天

平称，至少称（）次才能找出这盒巧克力。

A.5B.4C.3

【答案】C

【完整解答】解：12大于9小于27,至少称3次才能找出这盒巧克力。

故答案为：Co

【思路引导】找次品的规律：2〜3个物品，称1次；4〜9个物品，称2次；10〜27个物品，称3次；28~

81个物品，称4次。

2.（3分）（2020五下•富裕期末）有5盒优酸乳，其中一盒数量不够，至少称（）次一定能找出这盒

优酸乳。

A.1B.2C.3

【答案】B

【完整解答】解：第一次称：分成2、2、1三组，将相同数量的两组优酸乳放在天平的两端，若天平平衡

则数量不够的在没被选取的一组中；若天平不平衡，则数量不够的是天平高的一组中；

第二次称：在天平两端分别放一盒优酸乳，数量不够的是天平高的一组中。

所以至少称2次一定能找出这盒优酸乳。

故答案为：Bo

【思路引导】找次品的方法：

一、把待测物品分成3份；

二、能够平均分成3份就平均分成3份，如9（3,3,3）;不能平均分成3份的，要使3份每份分得尽量平

均，如7（2,2,3）o

接下来将组数相同的两组放在天平的两端，观察天平是否平衡。

注意：天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系：只含一个次品，已知次品比正品重或轻。

3.（3分）（2020五下•苍南期末）有7盒口香糖，6盒一样重，另一盒轻一些，如果要用天平称，下面表

示称一次就刚好找出较轻的口香糖的是（）。（8表示口香糖）

【答案】B

【完整解答】解：A：轻的一盒在天平右边的三盒中，一次找不出；

B：轻的就是剩下的那个，一次找出；

C：轻的在天平右边的两个盒中，一次找不出；

D：轻的在三盒中，一次找不出。

故答案为：B。

【思路引导】因为一盒较轻，所以天平上升的那端里面会有较轻的那盒。选项B天平平衡，说明较轻的就

是剩下的那盒。

4.（3分）王叔叔做的15个零件中有一个是次品，次品重一些，其他14个质量相同。如果用天平称，至少

称（）次可以保证找出次品。

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

施次品在剩下的1中

平衡剩5(2,2,1称

称（5,5）不平衡2（1,1）——重的是次品

【完整解答】15（5,5,5）----------

称(2,2)平衡次品在价的1中

不平衡5(2,2,1)--------称

不平衡2（1,1）——重的是次品

所以至少称3次可以保证找出次品。

故答案为：B。

【思路引导】要使称的次数最少保证找到次品，那么就把总数尽可能的平均分成3份，然后称相同数量的2

份，再来分析判断次品在哪里。

5.（3分）（2021五下•微山期末）有9盒月饼，其中1盒质量不同，用天平至少称（）次能保证找出

这盒月饼。

A.4B.3C.2

【答案】B

【完整解答】解：有9盒月饼，其中1盒质量不同，用天平至少称3次能保证找出这盒月饼。

故答案为：B。

【思路引导】把9盒月饼平均分成3份，每份3盒。第一次：在天平两端各放3盒，如果平衡，质量不同

的就在剩下的3盒中。此时需要把天平一端的3盒拿下，换上另外的3盒，以此来确定质量不同的是轻还

是重。如果换上的3盒下沉，质量不同的就重，然后换上的3盒上升，质量不同的就轻。此时共称2次，

把质量不同的缩小到3盒中。

第3次：在天平两端各放1盒，如果平衡，质量不同的就是剩下的1盒；如果不平衡，那么上升或下沉「

端的就是质量不同的。所以共需要3次才能保证找出这盒月饼。

6.（3分）（2019五下•单县期末）某公司包装的20箱牛奶中，有一箱不合格（轻一些），用天平秤，至少

秤（）次就能保证找到次品.

A.5B.3C.2

【答案】B

【完整解答】解：至少秤3次就能保证找到次品。

故答案为：B。

【思路引导】第一次，先把20箱牛奶分成三份：7箱、7箱、6箱，取7箱的两份分别放在天平两侧，若天

平平衡，则较轻的在未取的一份中，若不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份分成3份:

2箱、2箱、2箱（或3箱），分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若不平衡，取较

轻的一份继续；第三次，取较轻的一份（2箱或3箱）中的2箱，分别放在天平两侧，即可找到较轻的一份。

二、判断题（共5题；每题3分，每题2分，共15分）

7.（3分）（2021五下•南召期末）李师傅生产7个机器零件，其中有1个次品（次品轻些），至少称3次

就能找出次品。（）

【答案】（1）错误

【完整解答】解：至少称2次就能找出次品。

故答案为：错误。

【思路引导】要辨别的物品数目在2~3个时，保证能找出次品至少需要测的次数是1次；要辨别的物品数

目在4~9个时，保证能找出次品至少需要测的次数是2次；要辨别的物品数目在10~27个时，保证能找出

次品至少需要测的次数是3次；要辨别的物品数目在28~81个时，保证能找出次品至少需要测的次数是4

次；要辨别的物品数目在82~243个时，保证能找出次品至少需要测的次数是5次...........。

8.（3分）（2021五下•宽城期末）有27个零件，其中有1个是次品（稍重些），用天平称至少4次就能保

证找出次品。（）

【答案】（1）错误

【完整解答】解：用天平称至少3次保证能找到次品。

故答案为：错误。

【思路引导】先把27个零件分成9个、9个和9个，先把两个9个的零件放在天平的两边，

如果天平平衡，次品在剩下的9个中，把剩下的9个零件分成3个、3个和3个，把两个3个的零件放在天

平的两边，如果天平平衡，那么剩下的3个中有次品，把剩下的3个零件分成1个、1个和1个，把其中的

2个分别放在天平的两端，如果天平平衡，剩下的那个就是次品，如果天平不平衡，那么天平下降的那端就

是次品；

如果天平不平衡，次品在天平下降的那端，把这9个零件分成3个、3个和3个，把两个3个的零件放在天

平的两边，如果天平平衡，那么剩下的3个中有次品，把剩下的3个零件分成1个、1个和1个，把其中的

2个分别放在天平的两端，如果天平平衡，剩下的那个就是次品，如果天平不平衡，那么天平下降的那端就

是次品；

综上，用天平称至少3次保证能找到次品。

9.（3分）从27个乒乓球中找一个较重的，用天平称，至少需要4次肯定能找出来。

【答案】（1）错误

【完整解答】从27个乒乓球中找一个较重的，用天平称，至少需要3次肯定能找出来，原题说法错误.

故答案为：错误.

【思路引导】找次品时可以依据：2〜3个物品，称1次；4〜9个物品，称2次；10〜27个物品，称3次；

28〜81个物品，称4次……据此解答.

10.（3分）（2018五下•云南期末）有5袋糖，其中4袋质量相同，1袋轻一些，如果用天平称，至少称2

次可以找出轻的那一袋。

【答案】（1）正

【完整解答】解：把5袋糖分成2、2、1三份，第一次称两个2袋的，如果平衡剩下的1袋就是轻的；如

果不平衡，再称一次就能找出轻的；原题说法正确.

故答案为：正确

【思路引导】找次品时尽量把产品平均分成3份，如果不能平均分，也要把最后一份比另外的个数多1个

或少1个，这样称一次排除的个数是最多的.

11.（3分）（2020五下•陇县期末）有九瓶水，其中一瓶质量稍重些，其余八瓶质量相同。用天平至少称

3次保证能找出稍重的这瓶水。（）

【答案】（1）错误

【完整解答】把9瓶水平均分成3份：（3,3,3）,

第一次在天平两边各放3瓶水，可能出现两种情况：

情况一：如果天平平衡，则次品在剩余的3瓶水之中，则进行第二次称量，即把剩余的3瓶中的2瓶分别

放到两盘中，托盘下降者为次品；

情况二：如果天平不平衡，次品在托盘下降那边的三个里面，则进行第二次称量，取托盘下降的三瓶水中

的两瓶放到左、右盘中，如果天平平衡，则剩余的那瓶是次品，如果不平衡，下降者为次品；

用天平至少称3次保证能找出稍重的这瓶水，原题说法错误。

故答案为：错误。

【思路引导】此题主要考查了找次品的知识，根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物

品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一

份只相差1,据此解答。

三、填空题（共9题；每题2分，共18分）

12.（2分）（2020五下•云南期末）有15瓶口香糖，其中一瓶质量轻一些，另外14瓶质量相同，至少用

天平称次才能保证找出这瓶质量轻的口香糖。

【答案】3

【完整解答】解：第一次称，分成5、5、5三组，将任意的两组分别放在天平的两端，若天平平衡，则质

量轻的一瓶在没被选取的一组中；若天平不平衡，则质量轻的一瓶在天平较高的一边；

第二次称：将其中的4瓶口香糖分成2、2两组放在天平的两端，若天平平衡，则质量轻的一瓶是没被选取

的一瓶；若天平不平衡，则质量轻的一瓶在天平较高的一边；

第三次称：将2瓶口香糖分别放在天平的两端，则质量轻的一瓶在天平较高的一边。

综合可得至少用天平称3次才能保证找出这瓶质量较轻的口香糖。

故答案为：3。

【思路引导】找次品的方法：

一、把待测物品分成3份；

二、能够平均分成3份就平均分成3份，如9（3,3,3）;不能平均分成3份的，要使3份每份分得尽量平

均，如7（2,2,3）o

接下来将组数相同的两组放在天平的两端，观察天平是否平衡。

注意：天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系：只含一个次品，已知次品比正品重或轻。

13.（2分）（2020五下•许昌期末）有15袋糖果，其中有一袋少了2颗，质量较轻。如果用天平称，至少

称次才能保证找出这袋稍轻的糖果。

【答案】3

【完整解答】解：至少称3次才能保证找出这袋稍轻的糖果。

故答案为：3o

【思路引导】第一次：把15袋糖果平均分成3组，每组5袋，天平两端各放5袋，如果天平平衡，次品在

剩余的5袋中，如果不平衡，次品在较轻一端的5袋中；第二次：把较轻的5袋分成3份（2袋，2袋，1

袋），天平两端各放2袋，如果天平平衡，剩余的1袋就是次品，如果天平不平衡，较轻一端的两袋中有次

品；第三次：把较轻的两袋放在天平两端，较轻的一端就是次品。

14.（2分）（2020五下•利州期末）有8瓶药，其中七瓶质量相同，另有一瓶少5粒，用天平称至少称—

次能把这瓶药找出来。

【答案】2

【完整解答】解：第一次称：分成3份（3,3,2）,将瓶数相同的两组放在天平的两端，若天平平衡则少5

粒的一瓶在没被选取的2瓶中；若天平不平衡则天平高的一端含有少5粒的一瓶；

第二次称，若在2瓶中，将这两瓶分别放在天平的两端，则天平高的一端含有少5粒的一瓶；若在3瓶的

一组中，则任选其中的两瓶放在天平的两端，若天平平衡则没被选取的一瓶即是少5粒的一瓶，拖天平不

平衡则天平高的一端含有少5粒的一瓶。

综上所述，至少称2次能把这瓶药找出来。

故答案为：2o

【思路引导】找次品的方法：

一、把待测物品分成3份；

二、能够平均分成3份就平均分成3份，如9（3,3,3）;不能平均分成3份的，要使3份每份分得尽量平

均，如7（2,2,3）o

接下来将组数相同的两组放在天平的两端，观察天平是否平衡。

注意：天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系：只含一个次品，已知次品比正品重或轻。

15.（2分）（2020五下•二七期末）方方一家包的40个粽子中，有一个是方方学着包的，质量稍轻一些，

爸爸妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平称，至少次保证能找到方方包的粽子。

【答案】4

【完整解答】把40个粽子分成3组(13,13,14),把数量两组放在天平上称。

如平衡，次品在剩余1组中，把剩下的一组14个再分成(5,5,4),把数量两组放在天平上称，如平衡，

次品在剩余1组中，把剩下的一组4个再分成(1,1,2),如平衡，次品在剩余1组中，再称一次，轻的一

边即为次品，这样需要4次；

如不平衡，则轻的一组里面有次品，再分成(4,4,5),把数量两组放在天平上称。如果不平衡，轻的一

组里面有次品，再分成(1,1,2),把数量两组放在天平上称。如果不平衡，轻的1个是次品，这样需要3

次。如平衡，次品在剩余1组中，再称一次，轻的一边即为次品，这样需要4次。

故答案为：4o

【思路引导】要使称的次数最少保证找到次品，那么就把总数尽可能的平均分成3份，不能平均分的，也

应该使多的一份与少的一份只相差1,然后称相同数量的2份，再来分析判断次品在哪里。

16.(2分)一箱糖果有9袋，其中8袋质量相等，只有一袋不同。用天平至少称次能保证找到这

袋质量不同的糖果。

【答案】3

【完整解答】解：一箱糖果有9袋，其中8袋质量相等，只有一袋不同。用天平至少称3次能保证找到这

袋质量不同的糖果。

故答案为：3o

【思路引导】先把糖果平均分成3份，每份3袋。第一次：天平两端各放1份，如果平衡，则不同的一袋

是第三份；第二次：把第三份中的两袋各放在天平两端，如果平衡，则不同的一袋就是剩下的那袋；如果

不平衡，则把天平下沉的那端的一袋调换成第三袋，此时如果平衡，说明换下的那袋不同；如果仍不平衡,

则天平上升那端的那袋不同。这样需要称3次能保证找到这袋质量不同糖果。

第一次称时如果天平不平衡，则把天平下沉那端的1份调换，如果平衡，则换下1份有一袋不同，且质量

比其它袋子的重；如果仍不平衡，则上升那端的1份有一袋不同，且这袋比其它袋的质量轻。这样2次找

出不同的所在的1份，且能判断出这袋的质量是轻还是重；然后再称1次就能找出这袋。这样一共需要3

次。

17.(2分)(2020五下•兴县期末)9枚金币中有一枚是假的，它比真金币轻一点，如果用天平称，至少称

次能保证找到这枚假金币。

【答案】2

【完整解答】解：至少称2次能保证找到这枚假金币。

故答案为：2o

【思路引导】先把这9枚金币分成3、3、3,一共3份，取其中的2份放在天平的两边，如果天平平衡，说

明假金币在剩下的一份中，把这3枚金币中的2枚放在天平的两边，如果平衡，说明剩下的一枚是假金币，

如果不平衡，天平升高的一边是假金币；如果天平不平衡，说明假金币在升高的一边，然后把这3枚金币

中的2枚放在天平的两边，如果平衡，说明剩下的一枚是假金币，如果不平衡，天平升高的一边是假金币。

综上，至少称2次能保证找到这枚假金币。

18.（2分）有15盒饼干，其中14盒质量相同，另有1盒质量重一些。假如用天平称，至少称次

就能保证把它找出来。

【答案】3

【完整解答】解：至少称3次就能保证把它找出来。

故答案为：3。

【思路引导】先把15盒饼干分成3份，即5、5、5,先把其中的2份分别放在天平的两端，

如果天平平衡，那么次品在剩下的1份中，然后把剩下的1份分成3份，即2、2、1,把相同的2份分别放

在天平的两端，如果天平平衡，那么次品就是剩下的那盒，如果天平不平衡，那么把天平下降的那2盒分

别放在天平两端，天平下降的那个就是次品；

如果天平不平衡，那么把天平下降的那5盒分成3份，即2、2、1,把相同的2份分别放在天平的两端，如

果天平平衡，那么次品就是剩下的那盒，如果天平不平衡，那么把天平下降的那2盒分别放在天平两端，

天平下降的那个就是次品；

19.（2分）（2021五下•宽城期末）有8个零件，有一个是次品（稍微轻一点），用天平称，至少次

保证能找到次品。

【答案】2

【完整解答】解：用天平称，至少2次保证能找到次品。

故答案为：2o

【思路引导】先把8个零件分成3个、3个和2个，先把两个3个的零件放在天平的两边，

如果天平平衡，次品在剩下的2个中，把剩下的2个放在天平的两端，天平上升的那端就是天平上升的那

段；

如果过天平不平衡，次品在天平上升的那端，把上升那端的3个零件分成1个、1个和1个，把其中的2个

分别放在天平的两端，如果天平平衡，剩下的那个就是次品，如果天平不平衡，那么天平上升的那端就是

次品。

20.（2分）有100粒重量、外形完全相同的小铜珠，混进了一粒外形完全相同但较轻的一粒次品，用台天

平尽快地将它挑出来，最少称次。

【答案】5

【完整解答】解：用台天平尽快地将它挑出来，最少称5次。

故答案为：5o

【思路引导】本题可以每次分三堆，然后进行计算，即第一次：100(33,33,34)；第二次：33(11,11,

11),34(11,11,12)；第三次：11(4,4,3),12(4,4,4)；第四次：3(1,1,1),4(2,2)；第五

次：2(1,Do综上，最少称5次。

四、解答题(共7题；共49分)

21.(5分)有8颗钢珠，其中7颗一样重，另有一颗比这7颗略轻。用天平最少称几次才能保证找到这颗

较轻的钢珠？

【答案】解：先把8颗钢珠分成2、3、3共三份，第一次天平两边各放3颗；

如果一样重，则剩余2颗一对一进行第二次称重，轻的一方就是要找的钢珠；

如果不一样重，则选轻的一方的3颗珠子，将其中两颗拿出来进行第二次称重，如果一样重，则第三颗就

是要找的钢珠；如果不一样重，轻的一方就是要找的钢珠，至少要称2次。

答：用天平最少称2次才能保证找到这颗较轻的钢珠。

【思路引导】此题主要考查了找次品的知识，根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物

品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一

份只相差1,据此解答。

22.(9分)质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的19盒产品中有1盒不合格(质量稍轻一些)。

(1)(4分)至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？

(2)(5分)如果在天平的左右两边各放9盒产品，称一次有可能称出来吗?为什么？

【答案】⑴3次

(2)有可能。因为如果在天平的左右两边各放9盒产品，天平正好平衡，那么剩下的1盒定就是不合格产

品。

【思路引导】用天平找次品时，如果待测物品有3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分

的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差最少，这样可以保证找出次品需要

称量的次数最少，据此作答即可。

23.(5分)爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小明从一本信笺中撕了几页，你能用天

平把这本被撕过的信笺找出来吗？你至少要称几次？请用图例说一说。

【答案】至少称3次能找到被撕过的信笺。

【完整解答】从13本信笺中，任取12本，平均分成2份，每份6本，分别放在天平秤两端，若天平秤平

衡，则未取那本即为被撕过的信笺，若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的6本信笺中，平均分成2

份，每份3本，分别放在天平秤两端，天平秤会不平衡；第三次：把天平秤较高端的3本，拿2本分别放

在天平秤两端，天平秤平衡，则剩下的为次品，如果天平秤不平衡，天平秤较高端的信笺即为次品.

答：至少称3次能找到被撕过的信笺.

【思路引导】此题主要考查了找次品的知识，根据天平的平衡原理解答即可，从13本信笺中，任取12本,

平均分成2份，每份6本，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那本即为被撕过的信笺，若天平

秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的6本信笺中，平均分成2份，每份3本，分别放在天平秤两端，天

平秤会不平衡；第三次：把天平秤较高端的3本，拿2本分别放在天平秤两端，天平秤平衡，则剩下的为

次品，如果天平秤不平衡，天平秤较高端的信笺即为次品.

24.（5分）有29瓶同样的纯净水，向其中■瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐

的纯净水？

【答案】解：把29瓶分成10瓶、10瓶、9瓶；

第一次：两端各放10瓶，如果平衡次品就在9瓶中；如果不平衡，次品在下沉的那10瓶中；

第二次：①把9瓶平均分成3份，每份3瓶；称1次找出次品所在的3瓶，再称1次找出次品；共称3次;

②把次品所在的10瓶分成3、3、4,称1次找出次品所在的4瓶；再称1次找出次品所在的2瓶，再称1

次找出次品，共称4次.

答：至少称4次能保证找出加盐的纯净水.

【思路引导】注意盐水的质量比水的质量重.找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使

多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少.

25.（10分）药厂抽检一批药品，抽查的19盒药中有1盒不合格（质量稍重一些）。

（1）（5分）至少称几次能保证将这盒药找出来？

（2）（5分）如果在天平两端各放9盒的话，称一次有可能称出来吗？为什么？

【答案】（1）解：把19盒药分成三份：6盒、6盒、7盒，

①在天平两端各放6盒，如果平衡，次品在7盒中；如果不平衡，下沉的那端的6盒中有次品；

②如果次品在7盒中，把这7盒分成2盒、2盒、3盒，在天平