1.2.3等差数列的前n项和（第2课时）课件高二上学期数学选择性

等差数列的前n项和第2课时等差数列的前n项和的性质第1章数列湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用;2.能利用等差数列前n项和的函数特征求最值;3.掌握等差数列的各项的绝对值的和的求法.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点1等差数列前n项和的函数特征等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程Sn=na1+,整理得Sn=,所以Sn可以看成y=当x=n(n∈N+)时的函数值等差数列的前n项和公式与二次函数的关系令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列.②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的一次函数,{an}为各项非零的常数列.③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0)名师点睛等差数列前n项和的最值的求法(1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数,所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.(2)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数,所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.(3)若a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列,S1是{Sn}的最大值.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(

)(2){an}是等差数列,其前n项和为Sn,{|an|}的前n项和也是Sn.(

)2.当一个数列的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R,且a≠0)满足什么条件时,数列的通项公式是分段形式?××提示由等差数列的前n项和的函数特征可知,当c≠0时,数列的通项公式是分段形式.知识点2等差数列前n项和的性质

2.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.3.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则4.若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),5.若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,6.若{an}为等差数列,则S2n-1=(2n-1)an.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为3.(

)(2)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则S3,S6,S9也成等差数列.(

)2.在等差数列{an}中,S2=3,S4=6,则S6=

,数列的公差为d=

.

√×90解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴3+(S6-6)=2×3,得S6=9.∵(S4-S2)-S2=22d=0,∴d=0.3.在等差数列{an}中,若a4=10,则S7=

.

70解析

由S2n-1=(2n-1)an,可知S7=7a4=70.重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列前n项和的性质及其应用【例1】

(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为

.

分析

根据题目的特征,选择相应的性质求解.210解析

(方法1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.

∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.变式探究

规律方法

利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.探究点二等差数列前n项和的最值【例2】

在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9.请问数列{an}的前多少项和最大?解

(方法1)设数列{an}的公差为d,∵a1=25,S17=S9,故该数列的前13项和最大,最大值是169.(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.∴数列的前13项和S13最大.(方法4)由方法1,得数列{an}的公差d=-2.故当n=13时,Sn有最大值.故数列的前13项和S13最大.规律方法

求等差数列前n项和的最值的方法

[提醒]一个等差数列的前n项和存在最值的条件:一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值.变式训练在数列{an}中,an=3n-12,求数列{an}的前n项和Sn的最小值,并指出何时取最小值.探究点三

求数列{|an|}的前n项和问题

【例3】

若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.分析根据题意求出数列的通项公式,根据通项公式,求出项的正负,根据项的正负,去掉绝对值号后求和.变式探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和Tn.规律方法

已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的方法:先根据通项公式判断{an}的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题.要注意转化的等价性.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列前n项和的函数特征;(2)等差数列前n项和的性质.2.方法归纳:性质转化法求解基本量,前n项和最值的求法,分类转化法求{|an|}的前n项和.3.注意事项:等差数列前n项和的性质与通项公式的性质的区别,利用二次函数性质求最值要注意n是正整数的限制,求{|an|}的前n项和分类讨论去掉绝对值后,要注意分段求解.学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练123456789101112131415161718191.已知等差数列{an}的前11项和S11=88,则a2+a10=(

)A.16 B.17

C.18

D.19A解析

由等差数列{an}的性质可得a1+a11=a2+a10.由于前11项和S11=88=,因此a1+a11=16,则a2+a10=16.故选A.123456789101112131415161718192.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,公差d=-,则Sn取得最大值时n的值为(

)A.3 B.4

C.5

D.6A123456789101112131415161718193.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15=(

)A.84 B.108

C.144

D.156B解析

由等差数列前n项和的性质可知S5,S10-S5,S15-S10成等差数列.由等差中项性质可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10),解得S15=108,故选B.123456789101112131415161718194.[2024甘肃临夏高二期中]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(

)A.27 B.45C.81 D.18B解析

因为数列{an}为等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,可得2(S6-S3)=S3+S9-S6,即2(36-9)=9+S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故选B.123456789101112131415161718195.(多选题)已知等差数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,且满足a7=3a5,则下列结论正确的是(

)A.d>0B.a1<0C.当n=5时,Sn最小D.当Sn>0时,n的最小值为8ABD12345678910111213141516171819解析

设等差数列{an}的公差为d,因为{an}是递增数列,所以d>0.因为a7=3a5,所以a5+2d=3a5,所以d=a5,所以a1=a5-4d=-3d<0,故A,B正确;又因为a4=a5-d=d-d=0,所以S3=S4,且为Sn的最小值,故C错误;123456789101112131415161718196.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,下列选项可能是{Sn}的图象的是(

)ABC

12345678910111213141516171819解析

因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以Sn=an2+bn(a,b为常数,n∈N+),则其对应函数y=ax2+bx,当x∈N+时的函数值,函数的图象是过原点的一条曲线.当a=0时,该曲线是过原点的直线,如选项C;当a≠0时,该曲线是过原点的抛物线,如选项A,B;选项D中的曲线不过原点,不符合题意.故选ABC.123456789101112131415161718197.在等差数列{an}中,a1>0,a10a11<0,若此数列的前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18=

.

60解析

由a1>0,a10a11<0,知d<0,且a10>0,a11<0,所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.123456789101112131415161718198.[2024甘肃庆阳高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2023<0,S2024>0,则当Sn最小时,n的值为

.

1012解析

因为在等差数列{an}中,S2

024=1

012(a1+a2

024)=1

012(a1

012+a1

013)>0,所以a1

012<0,a1

013>0,则当Sn最小时,n=1

012.123456789101112131415161718199.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列

1234567891011121314151617181910.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S10,S6=Sk,则k的值是(

)A.6 B.7 C.8

D.9B级关键能力提升练B1234567891011121314151617181911.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=2024,且=3,则S2021=(

)A.1×20212

B.2×20212C.3×20212

D.4×20212D1234567891011121314151617181912.[2024甘肃定西高二阶段练习]已知等差数列{an}共有21项,若奇数项的和为110,则偶数项的和为(

)A.100 B.105C.90 D.95A1234567891011121314151617181913.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知a3=12,S12>0,S13<0,则下列结论正确的有(

)A.a6+a7<0B.a7<0C.d可以取负整数D.对任意n∈N+,有Sn≤S6BD12345678910111213141516171819所以2a1+11d>0,a1+6d<0,即a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,所以d<0,所以对任意n∈N+,有Sn≤S6.由a3=12得a1=12-2d,联立2a1+11d>0,a1+6d<0,解得

<d<-3,故d不能取负整数.故选BD.1234567891011121314151617181914.(多选题)已知等差数列{an}是递减数列,且前n项和为Sn,若S7=S11,则(

)A.a10>0 B.当n=9时,Sn最大C.S17>0 D.S19>0BC

解析

由S7=S11,得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0,则a9+a10=10.又因为{an}是递减数列,所以a9>0,a10<0,故A错误,B正确;1234567891011121314151617181915.(2023新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C

1234567891011121314151617181916.设数列{an}的前n项和为Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,那么S1,S2,S3,S4中最小的为

.

S3解析

∵数列{an}的前n项和为Sn,a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,∴数列{an}是首项为-5,公差为2的等差数列.∴a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1.∴S1=-5,S2=-8,S3=-9,S4=-8.∴S1,S2,S3,S4中最小的为S3.1234567891011121314151