南京市秦淮区四校2024年中考数学最后一模试卷（含解析）

南京市秦淮区四校~2024年中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量.把130000000kg

用科学记数法可表示为（）

A.13xl07kgB.0.13X1Q8kgC.1.3xlQ7kgD.1.3xlQ8kg

2.气象台预报“本市明天下雨的概率是85%”，对此信息，下列说法正确的是（）

A.本市明天将有85%的地区下雨B.本市明天将有85%的时间下雨

C.本市明天下雨的可能性比较大D.本市明天肯定下雨

3.1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开

始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此

种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（）

A.810年B.1620年C.3240年D.4860年

4.我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了

太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻.将423公里用科学记数法表示应为（）米.

A.42.3X104B.4.23X102C.4.23x10sD.4.23xl06

k

5.如图，已知反比函数y=-的图象过RtAABO斜边OB的中点D,与直角边AB相交于C,连结AD、OC,若AABO

X

的周长为4+2#,AD=2,则4ACO的面积为（）

A.-B.1C.2D.4

2

6.如图所示是由几个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图.若小正方体的体积是1,则这个几何体的体积为

（）

主视图左视图

俯视图

A.2B.3C.4D.5

7.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,

则DE的长是（）

9.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5nm（lnm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有

毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5|nn用科学记数法可表示为（）

A.2.5x10-5〃？B.0.25xl0-77nC.Z.SxlO-6/?/D.25xl0-5m

x+22

10,计算--------的结果为（）

xx

1x+2

A.1B.xC.-D.-------

xx

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是

12.据统计，今年无锡章头渚“樱花节”活动期间入园赏樱人数约803万人次，用科学记数法可表示为___人次.

13.分解因式：x2y-4xy+4y=.

14.二次根式而T中的字母a的取值范围是.

15.如果某数的一个平方根是-5,那么这个数是.

16.如图，已知点A（4,0）,O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A）,过P、O两点的二次函数yi

和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD

=3时，这两个二次函数的最大值之和等于.

17.（8分）如图，点3在线段AD上，BCDE,AB=ED,3。=".求证：ZA=ZE.

BD

41x~-2,x+1I%—1...

18.（8分）先化简，再求值，7+--j--+7，其中x=l.

X-1）X+1

19.（8分）如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=4,BC=1.在BC上求作一点P,使PA+PB=BC；（尺规作图，不

写作法，保留作图痕迹）求BP的长.

20.（8分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共

花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同.

（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元.

(2)学校为了响应“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行

调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、

B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的80%,且保证这次购买的B种品牌足球不少于20个，则这次学校有哪

几种购买方案？

(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

21.(8分)如图，已知AB是圆O的直径，弦CD_LAB,垂足H在半径OB上，AH=5,CD=46,点E在弧AD

上，射线AE与CD的延长线交于点F.

(1)求圆O的半径；

(2)如果AE=6,求EF的长.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AA3。的边A8垂直于x轴，垂足为点8,反比例函数y

=—(x>0)的图象经过A。的中点C,交于点O,且AO=L设点A的坐标为(4,4)则点C的坐标为；若

X

点。的坐标为(4,n).

①求反比例函数7=&的表达式；

②求经过c,O两点的直线所对应的函数解析式；在⑵的条件下，设点E是线段上的动点(不与点c,。重合),

过点E且平行y轴的直线I与反比例函数的图象交于点F,求小OEF面积的最大值.

23.(12分)如图1,已知直线1：y=-x+2与y轴交于点A,抛物线y=(x-1)2+m也经过点A,其顶点为B,将该

抛物线沿直线1平移使顶点B落在直线1的点D处，点D的横坐标n(n>l).

(2)平移后的抛物线可以表示为.（用含n的式子表示）;

(3)若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,且点C的横坐标为a.

①请写出a与n的函数关系式.

②如图2,连接AC,CD,若NACD=90。，求a的值.

24.某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结

果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.

请结合以上信息解答下列问题:

(1)m=

(2)请补全上面的条形统计图;

(3)在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为

(4)已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有.名学生最喜爱足球活动.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

试题分析：科学计数法是指：ax10",且14时＜10,n为原数的整数位数减一.

2、C

【解析】

试题解析：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：

A、明天降水的可能性为85%,并不是有85%的地区降水，错误；

B、本市明天将有85%的时间降水，错误；

C、明天降水的可能性为90%,说明明天降水的可能性比较大，正确；

D、明天肯定下雨，错误.

故选C.

考点：概率的意义.

3、B

【解析】

根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案.

【详解】

由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，

故镭的半衰期为1620年，

故选B.

【点睛】

本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键.

4、C

【解析】

423公里=423000米=423x1()5米

故选C.

5、A

【解析】

在直角三角形A03中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出08的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边

AB=x,表示出Q4,利用勾股定理求出A5与04的长，过。作垂直于x轴，得到E为04中点，求出OE的长,

在直角三角形OOE中，利用勾股定理求出OE的长，利用反比例函数上的几何意义求出左的值，确定出三角形AOC

面积即可.

【详解】

在RtZkAQB中，AD=2,AO为斜边QB的中线,

由周长为4+2"

,得至(JA3+4O=2#，

设AB-x,贝！]AO=2yf6-x,

根据勾股定理得：AB^+O^OB2,即好+(276-x)2=42,

整理得：x2-2y[6x+4=0,

解得Xl=瓜+陋,X2=瓜-逝，

••AB-+^2，0A=-y^2,，

过。作。E，x轴，交x轴于点E,可得E为A。中点，

.•.0E=；Q4=；(n-&)(假设。4=6+正，与04="-夜，求出结果相同)，

在RtAOEO中，利用勾股定理得：DE=yloD2-OE2=|(76+72))»

k=-DE>OE=-y(76+V2))x；(«-夜))=1.

11

SAAOC=-DE*OE=-

22t

故选A.

【点睛】

本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例

函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键.

6、C

【解析】

根据左视图发现最右上角共有2个小立方体，综合以上，可以发现一共有4个立方体，

主视图和左视图都是上下两行，所以这个几何体共由上下两层小正方体组成，俯视图有3个小正方形，所以下面一层

共有3个小正方体，结合主视图和左视图的形状可知上面一层只有最左边有个小正方体，故这个几何体由4个小正方

体组成，其体积是4.

故选C.

【点睛】

错因分析容易题，失分原因：未掌握通过三视图还原几何体的方法.

7、B

【解析】试题解析：A.是轴对称图形但不是中心对称图形

B.既是轴对称图形又是中心对称图形；

C.是中心对称图形，但不是轴对称图形；

D.是轴对称图形不是中心对称图形；

故选B.

8、C

【解析】

先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEOsaACD,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】

VAB=6,BC=8,

/.AC=10（勾股定理）；

1

AO=—AC=5,

2

VEO1AC,

.,.ZAOE=ZADC=90°,

,/ZEAO=ZCAD,

.,.△AEO^AACD,

.AEAO

••一,

ACAD

即—=-,

108

25

解得，AE=—,

4

257

••DE=8一—=—9

44

故选：c.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解

题的关键.

9、C

【解析】

试题分析：大于0而小于1的数用科学计数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0

的个数.

考点：用科学计数法计数

10、A

【解析】

根据同分母分式的加减运算法则计算可得.

【详解】

原式「+2-2」近

XX

故选：A.

【点睛】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

口、L

4

【解析】

试题分析：画树状图为:

6

123456

共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9,所以“两枚骰子的点数和小于8

91

且为偶数”的概率=一=二.故答案为二.

3644

考点：列表法与树状图法.

12、8.03x106

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lS|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.803万=8.03x106.

13、j(x-2)2

【解析】

先提取公因式y,再根据完全平方公式分解即可得.

【详解】

原式=y(x2-4x+4)=y(x-2)2,

故答案为y(x-2)2.

14>a>-1.

【解析】

根据二次根式的被开方数为非负数，可以得出关于a的不等式，继而求得a的取值范围.

【详解】

由分析可得，a+l>0,

解得：aN-1.

【点睛】

熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键.

15、25

【解析】

利用平方根定义即可求出这个数.

【详解】

设这个数是x(x>0),所以x=(-5)2=25.

【点睛】

本题解题的关键是掌握平方根的定义.

16、V5

【解析】

此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综

合性试题.

【详解】

过B作BFLOA于F,过D作DEJ_OA于E,过C作CMLOA于M,则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和,

BF〃DE〃CM,求出AE=OE=2,DE=后,设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,推出AOBF^>AODE,

AACM^AADE,得出生="?,=4丝，代入求出BF和CM,相加即可求出答案.

DEOEDEAE

过B作BF_LOA于F,过D作DE_LOA于E,过C作CM_LOA于M,

VBF±OA,DE±OA,CM±OA,

•\BF〃DE〃CM.

VOD=AD=3,DE±OA,

1

:.OE=EA=—OA=2,

2

由勾股定理得：DE=^OD2-OE2=5,设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,

；BF〃DE〃CM,

/.△OBF^AODE,△ACM^AADE,

.BFOFCMAM

DE~OE'DE~AE'

VAM=PM=-(OA-OP)=-(4-2x)=2-x,

22

2-x

解得：BF=—x,CM=V5-—x

22

；.BF+CM=R

故答案为君.

【点睛】

考核知识点：二次函数综合题.熟记性质，数形结合是关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、证明见解析

【解析】

若要证明NA=NE,只需证明△ABC@Z\EDB,题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了

DE//BC,可得NABC=NBDE,因此利用SAS问题得解.

【详解】

VDE//BC

，ZABC=ZBDE

在AABC与小EDB中

AB=DE

<ZABC=ZBDE,

BC=BD

/.△ABC^AEDB(SAS)

/.ZA=ZE

18、1.

【解析】

先根据分式的运算法则进行化简,再代入求值.

【详解】

解：原式=(a+等)x岩=马、岩

二、1;

将x=l代入原式=六=1.

【点睛】

分式的化简求值

19、(1)见解析；(2)2.

【解析】

(1)作AC的垂直平分线与BC相交于P；(2)根据勾股定理求解.

【详解】

⑴如图所示，点P即为所求.

⑵设BP=x,贝!]CP=l-x,

由(1)中作图知AP=CP=1-x,

在RtAABP中，由AB2+BP2=AP2可得42+x2=(l-x)2,

解得：x=2,

所以BP=2.

【点睛】

考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.

20、(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个5种品牌的足球需要80元；(2)有三种方案，具体见解析;

(3)3150元.

【解析】

试题分析：(1)、设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，从而求

出x和y的值得出答案；(2)、设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球(50—m)个，根据题意列出不等式组求出

m的取值范围，从而得出答案；(3)、分别求出第二次购买时足球的单件，然后得出答案.

试题解析：(1)设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元

；50x+25v=4500:x=50

,解得

']=x+30lv=80

⑵设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球(50—m)个

r(50+4)w+SOx0.9(50-w)<4500x70%

,解得25WmW27

[50-«>23

；m为整数...m=25、26、27

(3)•.,第二次购买足球时，A种足球单价为50+4=54(元)，B种足球单价为80x0.9=72

当购买B种足球越多时，费用越高此时25x54+25x72=3150(元)

3

21、(1)圆的半径为4.5；(2)EF=—.

2

【解析】

(1)连接根据垂径定理得：DH=2非，设圆。的半径为r,根据勾股定理列方程可得结论;

(2)过。作OGLAE于G,证明AAGOSAAH尸，列比例式可得A尸的长，从而得E尸的长.

【详解】

(1)连接OD,

\•直径AB,弦CD,CD=4加，

DH=CH=^CD=2遥，

在，RtZkODH中，AH=5,

设圆。的半径为r,

根据勾股定理得：OD2=(AH-OA)2+DH2,BPr2=(5-r)2+20,

解得：r=4.5,

则圆的半径为4.5；

(2)过O作OG_LAE于G,

.\AG=—AE=—x6=3,

22

VZA=ZA,NAGO=/AHF,

/.△AGO^AAHF,

•.*AGzzAH，

AOAF

3„5

••③下，

~2

…15

..AF=,

2

153

.\EF=AF-AE=—-6=—.

22

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理

和相似三角形的判定与性质.

41_

22、(1)0(2,2)；⑵①反比例函数解析式为y=—;②直线C。的解析式为y=--x+1；⑴机=1时，SAOEF最大，最

x2

大值为一.

4

【解析】

(1)利用中点坐标公式即可得出结论；

(2)①先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C,D坐标代入反比例函数中即可得出结论；

②由n=l,求出点C,D坐标，利用待定系数法即可得出结论；

(1)设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论.

【详解】

⑴,•,点C是。4的中点，44,4),0(0,0),

.<4+04+0)

,•q丁丁)

.".C(2,2)；

故答案为(2,2)；

⑵①0(4,n),

：.A(4,n+1),

••,点C是。4的中点，

k

・・,点C,D(4,〃)在双曲线丁=一上,

x

左=2义巴口

：.<2,

k=4n

n-\

[k=4

4

・・・反比例函数解析式为y=2；

x

②由①知，n=l,

AC(2,2),。(4,1),

设直线CD的解析式为

.(2a+b=2

/.《，

4〃+b=1

设点£(如---m+1),

2

由(2)知，C(2,2),D(4,1),

4

*：EF//y轴交双曲线y二—于凡

x

4

/.F(m,一),

m

14

••EF=--/n+1-—f

2m

11411。1,1

:.SAOEF=—(——机+1—-)xm=—("-nr+\m-4)=-—(m-1)2H—,

22m2244

V2<m<4,

=1时，SAOEF最大，最大值为一

4

【点睛】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立SA