2025中考数学专项复习：勾股定理之“风吹树折”模型

2025中考数学专项复习勾股定理

之“风吹树折”模型

勾股定理之“网或树折〃模型

。【知识梳理】

风吹树折类题就数学知识本身其实很简单,考查的就是句股定理,最多设个未知数列方程就能求解，但是对很

多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.

一.选择题（共2小题）

题目□一旗杆在其£的B处折断，量得人。=5米,则旗杆原来的高度为

A.g米B.2西米C.10米D.米

题目区如图,一根旗杆折断之前的高度是24米，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆在离地面多少米处

断裂（）

A.15B.12C.9D.21

二.填空题（共3小题）

题目区如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部

12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有高.

题目⑷如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑美”

袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有米（保留

至I]0.1米）.

1题目回有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩,如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小

孩至少离开大树米之外才是安全的.

三.解答题（共6小题）

题目回如图，受台风影响，一棵大树在高于地面5米处折断,大树顶部落在距离大树底部10米处的地面上,

问这棵大树原来有多高？

题目⑶某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为7m的电线杆AC,被台风从离地面2m的B处吹断裂，倒下

的电线杆顶部C是否会落在距离它的底部4m的快车道上？说说你的道理.

题目瓦如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部

12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？

题目⑥台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16

米,求旗杆在什么位置断裂的？

题目jo］如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从高地面5米处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部

12米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高?

题目①学校的一棵大树被风吹断了，如图,距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8nl处，求

此树原高是多少米？（图1）

有两棵大树，一棵高8m,另一棵高2m,BC=6,一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？

（图2）

一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8馆,现将梯子顶端沿墙面下滑2m,则梯子底端与墙面距

离是否也增长2小？请说明理由（图3）

【过关检测】

一.选择题（共2小题）

题回刀（2021秋•长沙期中）一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹

角,这棵大树在折断前的高度为（）

A.10米B.15米C.25米D.30米

题目句（2021秋•常宁市期末）如图，一棵大树在离地面9米高的5处断裂,树顶A落在离树底BC的12米

处，则大树断裂之前的高度为（）

二.填空题（共7小题）

题目3（2021秋•郸城县校级月考）如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没

折断前的高度的结果是.

［题目⑷（2022秋•东方期末）如图,一旗杆离地面67n处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之

题O］（2021春・都善县期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4

米处,这棵大树在折断前的高度为m.

题目回（2023春•云阳县期中）如图，一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之

前有米.

1目IJ（2021秋・靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,

问折者高几何?”题意是:一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺，则

折断处离地面的高度为尺.

题目同（2021秋•邓州市期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委

地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?”

译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚

有3尺，牵索沿地面退行,在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为尺.

题目］0（2022•淹桥区校级模拟）折竹抵地（源自《九章算术》）：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折

者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈,虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子处

3尺远.则原处还有尺竹子.（1丈=10尺）

=.解答题（共1小题）

题目lol（2021秋・广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从。处吹折,竹子的

顶端A刚好触地,且与竹子底端的距离是4米.求竹子折断处与根部的距离CB.

勾股定理之“网或树折〃模型

。【知识梳理】

风吹树折类题就数学知祖本身其实很简单，考查的就是句股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对

很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.

W【考点剖析】

一.选择题（共2小题）

题目①一旗杆在其卷的B处折断，量得人。=5米,则旗杆原来的高度为（）

O

3M

A.瓜米B.2瓶米C.10米D.米

【分析】可设AB=c,则进而在△ABC中，利用勾股定理求解c的值即可.

【解答】解：由题意可得，人。2=BC2-AB2,即（202—/=5?,解得①=整，

所以旗杆原来的高度为3z=5遍，故选：O.

【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形.

:题目囱如图，一根旗杆折断之前的高度是24米,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆在离地面多少米

【分析】利用勾股定理，用一边表示另一边，代入数据即可得出结果.

【解答】解：由图形及题意可知,设旗杆在离地面z米处断裂，有（24-①y-±2=144,得①=9,

故选：C.

【点评】本题主要是考查学生对勾股定理的熟练掌握.

二.填空题（共3小题）

题目⑤如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部

12米处,那么这根旗杆被吹断前至少有24m高.

【分析】根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：由勾股定理得斜边为：府G=15米，

则原来的高度为9+15=24米.

故答案为：24m.

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形,再利用

勾股定理解答.

题目⑷如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑

美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米,则这棵大树折断前有13.6米

（保留到0.1米）.

【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高是酒土=”74,所以折断前树的高度是5+V74^13.6米.

【解答】解:在Rt/\ABC中，47=V52+72=旧48.6米，

5+8.6=13.6米.

故答案为：13.6.

【点评】考查了勾股定理的应用，比较简单.

直言可有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩,如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小

孩至少离开大树4米之外才是安全的.

【分析】根据题意靛赢三角形利用勾股定理解答.

【解答】解:如图，

地面—J地面、、、—J

折断前折断后

BC即为大树折断处4??1减去小孩的高1m,则BC=4—1=3m,AB=9—4=5m,

在Rt4ABe中，4C=y/AB2-BC2=V52-32=4.

【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答.

三.解答题（共6小题）

题目回如图,受台风影响，一棵大树在高于地面5米处折断,大树顶部落在距离大树底部10米处的地面

上，问这棵大树原来有多高？

【分析】该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一直角三角形，设大树高为2,则折断部分为

,一5,由勾股定理可得出方程：52+1。2=Q—5巴解该方程可得出大树原来的高.

【解答】解:设大树断掉的部分长为，米，

利用勾股定理：52+1。2=（0—5）2,

解得2=5+5V5,

答:大树原来的高为（5+5函）米.

【点评】利用勾股定理解应用题,关键在于把折断部分、大树原来部分和地面看作一个直角三角形,利用勾

股定理列出方程求解.

，题目⑶某地遭台风袭击,马路边竖有一根高为7巾的电线杆AC,被台风从离地面27n的B处吹断裂，倒下

的电线杆顶部C是否会落在距离它的底部4m的快车道上？说说你的道理.

【分析】电线杆折断后构成一个直角三角形，利用勾股定理求出的长,即可得出正确结论.

【解答】解:根据题意，AB=2m,则BC—7—2=5小,于是47=V52-22=

又因为J方＞4,

/.电线杆顶部。会落在距它的底部4M的快车道上.

【点评】此题是勾股定理在生活中应用的典型例子，只要善于观察，便可用数学知识解决生活中的诸多问

题.

题目回如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部

12米处,那么这根旗杆被吹断前至少有多高？

【分析】根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：由勾股定理得斜边为V9M?=15米,则原来的高度为9+15=24米.

【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，比较简单.

题目⑥台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16

米，求旗杆在什么位置断裂的？

【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可

将折断的未知求出.

【解答】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16-x）m,

根据勾股定理得：^+82=（16-,）2,

可得：2=6m,即距离地面6米处断裂.

【点评】本题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解.

题目®如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从高地面5米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底

部12米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

【分析】先根据勾股定理求出BC的长,再由旗杆高度=AB+BC解答即可.

【解答】解：旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，

BC=y/AB2+AC2=13m,

/.旗杆的高=AB+BC=13+5=18m.

答:这根旗杆被吹断裂前有18米高.

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学

模型,再根据勾股定理进行解答.

［题目叵］学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6M处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8巾处，求

此树原高是多少米？（图1）

有两棵大树,一棵高8小,另一棵高2m,BC=6,一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？

（图2）

一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m,现将梯子顶端沿墙面下滑2小,则梯子底端与墙面距

离是否也增长2机？请说明理由（图3）

A

A

【分析】解决本题的关键是找出合适的直角三角形，并且运用勾股定理求解.

为直角三角形，可以运用勾股定理；

（2）将BC向上平移2馆,可以得到直角三角形,在三角形中已知2边，求第3边.

（3）在直角三角形ABC中求48,在直角三角形中求BE.

【解答】（1）在直角三角形ABC中，力。2=4B2+BC2,

所以？1。=耳目=10m；

/.此树原高=10+6=16m.

（2）两点之间，直线最短,所以最短距离为直接从。点飞到4点，所以最短距离为：

AD=V（8-2）2+62=6V2m；

（3）在直角三角形ABC中,AB=8m,AC=10m,则BC=V102—82=6m,

现将梯子顶端下移至。点，则BD=6m,DE=10小,所以在直角三角形BDE中，

BE—-7102—（8—2）2=8m,-6??z=2小，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m.

【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的应用，找出题目中的隐藏信息是解决本题的关键.

廿【过关检测】

一.选择题（共2小题）

［题目①（2021秋•长沙期中）一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹

角,这棵大树在折断前的高度为（）

A.10米B.15米C.25米D.30米

【分析】如图，在Rt/\ABC中，ZABC=30°,由此即可得到AB=2AC,而根据题意找到CA=5米，由此即

可求出AB,也就求出了大树在折断前的高度.

【解答】解:如图，在RtAABC中,

■：/ABC=30°,

AB=2AC,

'：CA=5米，

AB=10米，

AB+AC=15米.

所以这棵大树在折断前的高度为15米.

故选：R

77

R

【点评】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于

观察题目的信息,利用信息解决问题.

题目叵］（2021秋•常宁市期末）如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米

处，则大树断裂之前的高度为（）

B.15米C.21米D.24米

【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可.

【解答】解：由题意得3。=9,在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：-3=^92+122=15米.

所以大树的高度是15+9=24米.

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理.熟记9,12,15这组勾股数，计算的时候较快.

二.填空题（共7小题）

IIf0（2021秋・郸城县校级月考）如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树

没折断前的高度的结果是18米.

【分析】该大树折断后，AB,BC,AC构成直角三角形，且AB,已知，则根据勾股定理可以求得大

树折断前的高度为AB+BC.

【解答】解:大树折断后形成直角△ABC,且为斜边，

AB2+AC2^BC2,

■：48=5米,力。=12米,

/.BC=-JA&+AC2=13米，

大树折断前的高度为AB+BC=5米+13米=18米.

故答案为：18米.

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中明白题目的意思求AB+BC,并根据勾股定理

求BC是解题的关键.

「题目⑷（2022秋・东方期末）如图，一旗杆离地面6巾处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之

前的高度是16TYI.

4

【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方.此题要求斜边和直

角边的长度,解直角三角形即可.

【解答】解:旗杆折断后,落地点与旗杆底部的距离为8馆,旗杆离地面6馆折断，且旗杆与地面是垂直的，

所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形.

根据勾股定理，折断的旗杆为J石炉=10小，

所以旗杆折断之前高度为10m+6m=16m.

故此题答案为16m.

【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键.

题目回（2021春•鄱善县期末）如图,一棵大树在一次强台风中于离地面3馆处折断倒下，树干顶部在根部

4米处,这棵大树在折断前的高度为8m.

【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：由勾股定理得，断下的部分为存彳=5米，折断前为5+3=8米.

【点评】此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单.

I题目回（2023春•云阳县期中）如图，一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之

【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米,则折断前树的高度是15+9=24米.

【解答】解:因为AB=9米，人。=12米，

根据勾股定理得BC=府五/=15米，

于是折断前树的高度是15+9=24米.

故答案为：24.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算,是基础知识，比较简单.

（题目［7］（2021秋・靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地,去根三

尺，问折者高几何？”题意是:一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3

尺，则折断处离地面的高度为4.55尺.

【分析】设折断处离地面的高度为，尺,则折断的长度为（10-0尺,根据勾股定理列方程解方程即可.

【解答】解：设折断处离地面的高度为。尺,则折断的长度为（10-2）尺，

由勾股定理得/+32=（10-02,

解得a;=4.55,

折断处离地面的高度为4.55尺，

故答案为：4.55.

【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练利用勾股定理列出方程是解题的关键.

I题目回（2021秋•邓州市期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，

委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?”

译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分

尚有3尺，牵索沿地面退行,在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为器尺.

【分析】设绳索AC的长为工尺,则木柱AB的长为Q-3）