人教版初中八年级数学上册同步讲义-分式方程（原卷版）

第04讲分式方程

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握分式方程的概念、能够熟练的判断分式方程，并

①分式方程的概念

根据分式方程的概念求值。

②解分式方程

2.掌握解分式方程的方法并能够熟练的解分式方程。

③分式方程的实际应用

3.能够熟练的应用分式方程解决实际问题。

思维导图

分式方程的概念

1解分式方程的过程

分式方程篇分式方程

分式方程解决实际问麴的步修

分式方程的应用

知识点01分式方程的概念

i.分式方程的概念：

分母中含有的方程叫做分式方程。

题型考点：①判断分式方程。

【即学即练1】

i.下列方程中，是分式方程的是（）

A.—+—=1B.x+—=2C.2x=x-5D.x-4v=l

32x

【即学即练2】

2.在①/-X+2，②[-3=a+4,③三+5尤=6,④2=1中，其中关于x的分式方程的个数为()

xa2x-3

A.1B.2C.3D.4

知识点02解分式方程

1.解分式方程的基本思路：

去分母：分式方程的两边同时乘以分母的。使分式方程转化为整式方程再进行求解。

2.解分式方程的基本步骤：

①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的,将分式方程转化为整式方程。

②解整式方程：

③检验：将解出的整式方程的解带入中，若最简公分母不为0,则整式方程的解就是

分式方程的解。若最简公分母为0,则整式方程的解是分式方程的,原分式方程无解。

④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。

注意解分式方程一定要检验。

题型考点：①解分式方程。②分式方程的曾根与无解。③分式方程的特殊解

【即学即练1】

3.解分式方程.

(1)-^--1=^；(2)

2

4-xx-4xx-1y_y

【即学即练2】

4.解方程:

（2）2+3

（1）—-------=1；

x-2x+1x-1

X2_4

【即学即练3】

5.解下列分式方程:

(1)+(2)f+1=^-

2x-ll_2xX2-4X-2

【即学即练4】

6.若在解关于尤的方程包+2屋■时，会产生增根，则机的值为（）

X-1X-1

A.3B.-3C.1D.-1

【即学即练5】

7.若关于尤的分式方程.3+X一川有增根,则根的值是（）

x-44-x

A.0B.1C.2D.-1

【即学即练6】

8.若关于尤的分式方程一^―=/X+3且无解,则左的取值是（）

x-lx（x-l）X

A.-3B.-3或-5C.1D.1或-5

【即学即练7】

9.若关于尤的方程的解为正数，则根的取值范围是（）

X-11-X

A.m<3B.m>3C.m>3且mD.m<3且加

【即学即练8】

10.已知关于x的分式方程」L+l==的解是非负数.则m的取值范围是（）

x-22-x

A.mW2B.加22C.mW2且机力-2D.根<2且机W-2

知识点03列分式方程解实际应用题

1.列分式方程解实际应用题的基本步骤：

①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的

②设：设出未知数。

③列：列出分式方程。

④解：解分式方程。

⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。

⑥答：写出答案。

题型考点：①由实际问题抽象出分式方程。②列分式方程解决实际问题。

【即学即练1】

H.2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，

在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15,结果2000名同学全部撤离的时间比

第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为()

A2000^2000_R2000_2000..

A-----=+240B.----=-2Q40

xx+15xx+15

「2000_2000〜石20002000

c-----=-^+240Dn-+2n4j10A=­

xx-lbxx-15

【即学即练2】

12.为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士

陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了30偌%后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知

汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xbM/?.根据题意，下列方程正确的是()

A,西二上B,西4d

x22xx2x2

「15rc15n1515cc

c--+30=-z-D.—^—+30

x2xx2x

【即学即练3】

13.某文教用品商店购进甲、乙两种文具进行销售，一个甲种文具的进价比一个乙种文具的进价多5元，

用4000元购进甲种文具的数量是用1500元购进乙种文具的数量的2倍.

(1)求每个甲种文具的进价是多少元？

(2)该商店将每个甲种文具的售价定为30元，每个乙种文具的售价定为25元，商店根据市场需求，决

定向文具厂再购进一批文具，且购进乙种文具的数量比购进甲种文具的数量的2倍还多6个，若本次购

进的两种文具全部售出后，总获利不低于3360元.求该商店本次购进甲种文具至少是多少个？

【即学即练4】

14.杭州亚运会于9月23日正式开幕，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”受到了广大群众的喜爱，学校计划

购买一批吉祥物挂件和吉祥物徽章作为奖品，其中吉祥物挂件占3.

5

(1)求吉祥物徽章的个数占吉祥物挂件个数的几分之几？

(2)通过对学生的调查得知，喜欢吉祥物徽章的学生较多，因此学校决定再多买50个吉祥物徽章，这

样吉祥物徽章的数量就占吉祥物挂件的求学校共买了多少个吉祥物挂件？

6

(3)在(2)的条件下，若授权店将吉祥物徽章按照原价马销售，那么吉祥物徽章的单价恰好是吉祥物

5

挂件单价的工，但购买当天授权店无优惠活动，学校购买吉祥物挂件和吉祥物徽章共花14750元，求吉

5

祥物挂件的单价为多少元？

题型精讲

题型01判断分式方程

【典例1】

在方程1=3,三上=0,三口中，分式方程有3个.

x+1y-232x

【典例2】

下列方程不是分式方程的是（

x_4

A.—+x—2+3xB.

x2x+35

C.旦-坦=4D.J__A_=i

n3x-5+2x+3

【典例3】

下面是分式方程的是（

2x+l5x6

A.---+—B.

2x~3x+973

C.£+5=2(x-6)D.2+二一=1

23x-l2x+l

【典例4】

1

有下列方程：①2X+^L=10；②X」=2-3=0；=0.属于分式方程的有（)

5x2x+l④等专

A.①②B.②③C.③④D.②④

题型02解分式方程

【典例1】

嘉淇解分式方程工--1的过程如下：

x-l3x-3

解：去分母，得6=2x-（3x-3）①

去括号，得6=2x-3尤-3②

移项、合并同类项，得x=-9③

因为x=-9时，各分母均不为0,

所以，原分式方程的解是尤=-9.④

以上步骤中，最开始出错的一步是（）

A.①B.②C.③D.④

【典例2】

解方程：

5x+2=3x-3_3x

2x+2~x+l

【典例3】

解方程：

(1)2

【典例4】

解方程：

(1)-

【典例4】

解方程：

2

x+13x+3x+33-xx-g

题型03分式方程的曾根与无解

【典例1】

若关于x的分式方程一3_=1*II有增根，则m的值是（）

x-44-x

A.0B.1C.2D.-1

【典例2】

旦当!.有增根，且关于的不等式机+〃中有个整数解,则整数〃是（

若关于X的分式方程-+2yWyW82)

x-33-x

A.3B.2C.1D.0

【典例3】

―^有增根，则机的值为（

若关于X的分式方程)

X-1x+1x^-l

A.1B.-2C.1或-2D.-1或2

【典例4】

若关于X的分式方程=1无解，则m的值是（）

4-x2x-2

A.m=2或m=6B.m=2C.m=6D.m=2或m=-6

【典例5】

若关于X的方程上=上一+1无解，贝Ua的值是（）

X-1X-1

A.1B.3C.-1或2D.1或2

题型04分式方程的特殊解

【典例1】

，2x-7>x-8

若整数a使关于x的不等式组，a-6x、有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程」-一^-二一］的

—i—>-2y-33-y

解满足y<7,则所有满足条件的整数。的值之和为（）

A.8B.6C.10D.7

【典例2】

若关于x的方程2+三也=2的解为正数，则根的取值范围是（）

x-22-x

A.m<6B.m>6C.mV6且根WOD.m>6且mW8

【典例3】

4x>3(x-l)

如果关于x的分式方程上曳+2=L有整数解，且关于X的不等式组，

2x-l，•I,、有且只有四个

x-22-xxk2<y（a-l）

整数解，那么符合条件的整数。的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

【典例4】

L

如果关于尤的分式方程第=1的解是负数，那么实数机的取值范围是（)

A.m<-1B.m>-1且mWO

C.m>-1D.m<-1且m7-2

【典例5】

3x~l2x+l

23

若整数a使得关于x的不等式组《至少有2个整数解,且使得关于y的分式方程

x+a

+4>2x

2

也L」一=7有整数解，则满足条件的整数a之和为（)

y-22-y

A.-2B.-1C.2D.4

题型05分式方程的实际应用

【典例1】

阅读，正如一束阳光.孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界.某

区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800

米和400米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学

提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（）

x1.2x.B1.2xX/

A-------=4

800400800400

「400800,D800400,

-------=4

1.2xx1.2xX

【典例2】

甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.5倍，这样由甲地到乙地的行驶

时间缩短了90分钟，设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（）

A.210-90=^B.叫90兽

X1.bxx1.bx

C210“l210n210,「210

一1・5-rlD.-+--1-.-5-「

X1.5xX1.5x

【典例3】

市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，

打造美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实

际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为

x万平方米，则所列方程正确的是()

A9090B9090

.-—oOUf).-—ooUn

x(1+25%)xx25%x

「9090,—OH9090i

-3UD

(1+25%)xx(1-25%):XX

【典例4】

习近平总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”.某公司积极

响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价

的1.5倍，现公司用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进2型汽车的数量少20辆.

(1)求每辆2型汽车进价是多少万元？

(2)A型汽车利润率为5%,B型汽车利润率为8%,那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？

【典例5】

某搬运公司计划购买A,8两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物,

且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同.

（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器售价1.5万元，每台8型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台,

满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案.

【典例6】

酸辣粉是重庆的特色美食，三峡广场某小吃店推出两款酸辣粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“肉

沫哨子酸辣粉”.已知1份“经典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“经典手工酸

辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元.

（1）求“经典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的单价；

（2）红薯粉条是制作酸辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格

比第二季度上涨了20%,第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条

数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价.

强化训练

1.下列各式中为分式方程的是（）

A.x』B.-^=~

x+12x~3

哈D

C.5-展+x=0

2.解方程_1-_2=迎去分母，两边同乘（x-1）后的式子为（

X-11-X

A.1-2—-3xB.1-2(x-1)=-3x

C.1-2(1-x)=-3xD.1-2(x-1)=3x

3.分式通-与2互为相反数，则X的值为()

1-xX

A.1B.-1C.-2D.-3

4.若关于尤的分式方程无解，贝卜2=()

x+2X+2

A.-1B.0C.1D.—

2

5.青年志愿团队到某地开展志愿服务活动,他们从距离活动地点llhw的地方出发.一部分人骑自行车先

走，过了30〃沏后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车速度是骑车志愿者速度的2倍,

设骑车志愿者的速度为根据题意，下列方程正确的是（）

A-*B.包工」

x2x2

D.手

「C・一11+O3A0=丁11

x2xx2x

6.分式方程包一2nm有增根，则m的值为（)

x-1(x-1)(x+2)

A.3B.6C.1或-2D.0或6

x-4

<x-4

~3~

7.若关于x的不等式的解集为x>4,且关于尤的分式方程2+1山3有正整数解，则满

ITTX<0x-3x-3

~5~

足条件的所有整数m的和为（）

A.5B.6C.7D.9

8.新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能.小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里

程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容

积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸爸选

择的两台汽车的续航里程是（

A.600kmB.500kmC.450kmD.400km

2

9.己知代数式与生工的值互为倒数，则尤=

X2.42X+5

10.若分式方程2+三也=1的解是正数，则机的取值范围为.

x-44-x

11.甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池.甲，丁两管

齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，