高考数学（理）二轮练习：数列、不等式含答案

数列、不等式

要点回扣

Si(〃=1)

1.已知前〃项和5"=。1+。2+。3T---卜斯，则斯=

Sn—Sn-i(〃、2)

由斗求斯时，易忽略〃=1的情况.

［问题1］已知数列｛呢｝的前"项和&=〃2+1,则呢

2,n=l

答案

2n~1,几

2.等差数列的有关概念及性质

(1)等差数列的判断方法：定义法an+i—an=d(d为常数)或an+i—an=an—an-i(n^2).

(2)等差数列的通项：a“=ai+(w—1)1或许=砺+("—m)d.

(3)等差数列的前〃项和：S〃=幽抖，出="/+迎产d.

(4)等差数列的性质

①当公差d#0时，等差数列的通项公式诙=〃1+(〃-1)/=办+〃1-1是关于n的一次函数，

且斜率为公差&前〃项和S,=W1+双展4=12+(m—多〃是关于n的二次函数且常数项为

0.

②若公差d>0,则为递增等差数列；若公差d<0,则为递减等差数列；若公差d=0,则为常数

列.

③当加+"=p+<7时，则有而+斯=4p+〃q,特别地，当m+九=2’时，则有即+飙=2〃p.

④Sn，S2n~Snf的〃-512〃成等差数列.

［问题2］已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且Sio=12,S2O=17,则530为()

A.15B.20C.25D.30

答案A

3.等比数列的有关概念及性质

(1)等比数列的判断方法：定义法等=q(q为常数)，其中gWO,以片0或等=a(“>2).如

劭an。〃一1

一个等比数列｛斯｝共有2"+1项，奇数项之积为100,偶数项之积为120,则%+i=|.

ninm

(2)等比数列的通项：an=aiq~或an=amq~.

(3)等比数列的前w项和：当q=l时，Sn=nau当qWl时，%=友肾2=号誉.

易错警示：由于等比数列前”项和公式有两种形式，为此在求等比数列前几项和时，首先要

判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要

对q分4=1和qWl两种情形讨论求解.

(4)等比中项：若a,A,方成等比数列，那么A叫做。与》的等比中项.值得注意的是，不是

任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为乐.如已知两个正

数m6(arb)的等差中项为A,等比中项为8,则A与2的大小关系为

⑸等比数列的性质

当〃z+w=p+q时，则有厮5=小的，特别地，当机+〃=2p时，则有而s=a2p.

［问题3］(1)在等比数列｛诙｝中，的+痣=124,°4。7=-512,公比夕是整数，贝!Iaio=.

(2)各项均为正数的等比数列｛a〃｝中，若°5&=9,则log3ai+log3a2H---Hog3aio=.

答案(1)512(2)10

4.数列求和的方法

(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；

⑵分组求和法；

⑶倒序相加法；

(4)错位相减法；

(5)裂项法;

如：〃(w+l)nn-\-Vn(n-\-k)

(6)并项法.

数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法.

［问题4］数列｛a“｝满足a"+a"+i=T(〃GN,〃21),若痣=1，S"是｛为｝的前w项和，则S21的

值为.

9

答案2

5.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等

式表示.

［问题5］不等式一3f+5x—2>0的解集为.

答案停1)

6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘

时，必须注意同向同正时才能进行.

［问题6］已知a,b,c,d为正实数，且c>d,则"a>b"是"ac>bd”的条件.

答案充分不必要

7.基本不等式："(。，/?>0)

⑴推广：\一一一T(〃，6>0).

7一+工

ab

(2)用法：已知x,y都是正数，则

①若积孙是定值p,则当x=y时，和x+y有最小值2、万；

②若和x+y是定值s,则当x=y时，积孙有最大值52.

易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.

14.„,

［问题7］已知。>0,b>0,a+b=l,则y=£+］的取小值是.

答案9

8.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.

以20,

［问题8］设定点40,1),动点P(x,y)的坐标满足条件.贝U|B4|的最小值是________.

户了，

姣安

口木2

赛I警^_____________________________

易错点1忽视对等比数列中公比的分类讨论致误

例1设等比数列｛诙｝的前〃项和为S”若8+56=59,则数列的公比q是.

错解T

找准失分点当q=l时，符合要求.很多考生在做本题时都想当然地认为qWL

正解①当q=l时，S3+S6=9ai,Sg=9a\,

；.S3+S6=S9成立.

②当qWl时，由邑+56=59

彳目的(l-q3)+ai(l-q6)_a］Q—q9)

年l~ql—qT—q

・W一统一4+1=0,即l)(q6—1)=0.

,.,产1,^3—17^0,q6=l,'.q=~\.

答案1或一1

易错点2忽视分类讨论或讨论不当致误

例2若等差数列｛斯｝的首项3=21,公差d=-4,求：Sk=\ai\+\a2\+\a3\~\----\~\ak\.

错解由题意，知斯=21-4(〃-1)=25—4〃，

因此由斯20,解得亍，即数列｛诙｝的前6项大于0,从第7项开始，以后各项均小于0.

|。1|+|。2|+|。31H-----H4小

—（。1+。2+。3+…+。6）—（。7+。8+…+诙）

=2（。1+。2+…+。6）—31+42+…+.6+47+08+…+伙）

=2^-23^+132

所以5&=2/-23左+132.

找准失分点忽视了左W6的情况，只给出了％27的情况.

正解由题意，知。"=21—4（〃-1）=25—4n,因此由斯20,解得“W1,即数列｛。〃｝的前6

项大于0,从第7项开始，以后各项均小于0.

当K6时，

5左=©I+1。21H------m+a2H-------------Fez/：

=一2妤+23左

当左27时，同+㈤+日】----Ha*l

=（。1+。2+。3+…+。6）—（。7+。8+…+诙）

=2（。1+。2+…+。6）—31+42+…+燃+。7+08+…+伙）

=2^-23^+132,

、J—2S+23左（左W6）

所以“一[3—23^+132/>7）'

易错点3忽视等比数列中的隐含条件致误

例3各项均为实数的等比数列｛斯｝的前〃项和为S”若Sio=lO,$30=70,则S4o=.

错解150或一200

找准失分点数列No,S20-S10,S30-S20,S40一$30的公比点°>。.忽略了此隐含条件，就产生

了增解一200.

正解记仇=Sio,fe—S2o—Sio,03=830—520,64=840—830,

bi,岳，加，儿是以公比为r=/°>0的等比数列.

①+岳+。3=10+10r+10^=530=70,

.,・/+/-6=0,.\r=2或厂=—3（舍去），

,,,10（1-24）

・・S40=〃l+82+。3+。4=；=150.

1—Z

答案150

易错点4忽视基本不等式中等号成立的条件致误

例4已知：〃>0,b>0,a+b=l,求（。+5）2+[+32的最小值.

错解由（〃+!）+[b+y2=a2+b2+*+/+4

22必+2+42叭/必4+4=8,

ab\lab

得（“+》+6+任的最小值是8.

找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到.

=（1-2"）（1+忐）+4

由得l—2abNl—9g,

且力"16』+忐三17.

二原式17+4=竽（当且仅当a=b=T时，等号成立），.,.（。+!）2+（6+/）2的最小值是苧.

查缺补漏

1.在等差数列｛。八｝中，已知〃3+。8=10，则3〃5+。7等于（）

A.10B.18

C.20D.28

答案C

解析因为。3+。8=10,所以由等差数列的性质，得痣+。6=10,

所以3。5+47=2。5+2（/6=20,选C.

2.若《<1<0，则下列不等式：①a+b<ab；②|。|>|回；③中，正确的不等式有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

答案B

解析由得a<0,b<0,

故a+b<0且ab>0,所以a+b<ab,即①正确；

11

由悬<0,得->b-

〃

两边同乘|。例，得|6|>同,故②错误；

由①②知|6|>|a|,a<0,b<0,所以。泌，即③错误，选B.

3.已知，尤>1,J>1,且;Inx,Iny成等比数列，则盯有()

A.最小值eB.最小值必

C.最大值eD.最大值五

答案A

解析X>1,y>l,且3nx,

4,Iny成等比数列，41nx】ny—J)?,即《一lnx-lnyW(?)2,

lnx+lny21,Inxy^l,故孙2e.

4.设等比数列｛斯｝的前〃项和为S”,若Sio：$5=1：2,则Si5：S5等于()

A.3：4B.2：3

C.1：2D.1：3

答案A

解析:｛斯｝是等比数列，

,S10一$5,S15—S10也构成等比数列，

记S5=2M/W0),则SIO=Z,可得SIO-Ss=­k,

,13

进而得S15—510=/,于是S15=/,

3

故S15：$5=1左：2k=3:4.

5.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四

个括号内一个数，…循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),则第

50个括号内各数之和为()

A.195B.197

C.392D.396

答案c

解析将三个括号作为一组，则由50=16X3+2,知第50个括号应为第17组的第二个括号，

即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为

数列｛2”一1｝的第16X6=96项，第50个括号的第一个数应为数列｛2”一1｝的第98项，即为

2X98—1=195,第二个数为2X99—1=197,故第50个括号内各数之和为195+197=392.

故选C.

6.已知点A(机，力在直线x+2y—1=0上，则2"，+4"的最小值为.

答案2吸

解析点A(m,〃)在直线尤+2y-l=0上，则加+2”=1；2"+4"=2"+22"22停工万=2严"

=2y）2.

7.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，%,c,d,y成等比数列，则的最小值是.

答案4

解析由％,a,b,y成等差数列知a+6=x+y,①

由％,c,d,y成等比数列知〃=孙，②

222

把x①o②d代、人、（〃曾+。得）2r（〃+。=）2寸（x+y）=x+y:2+2孙"4,,（tir+Z7）的,,最e小..值.为,4.

fOWxW小

8.已知平面直角坐标系xOy上的区域。由不等式组｛yW2给定.若M（x,y）为。上的

〔尤Wgy

动点，点A的坐标为（、n，1）,则2=血•位的最大值为

答案4

解析画出可行域。，如图中阴影部分所示，而2=。族。4=也关+',

••y—一y/^x+z,

令Zo：y——y/2x,

将/o平移到过点（陋，2）时，

截距z有最大值,

故ZTnax='\I^X/i+2—4.

(4一柳+4(点6),

9.已知函数八无)=12(a>0,aWl).数列｛斯｝满足斯=/i>)("eN*),且｛a〃｝

ax~5(x>6)

是单调递增数列，则实数a的取值范围是

答案（4,8）

解析：｛斯｝是单调递增数列，

力<8

.,.彳a>\,<a>l

(4-^)X6+4<a2、〃<一7或〃>4

10.已知正项数列｛斯｝,其前〃项和%满足85=*+4斯+3,且〃2是的和。7的等比中项.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）符号国表示不超过实数元的最大整数，记b=[log2（""：3）],求加+岳+b3H---\-