2024-2025学年高中数学第二章平面向量章末综合测评含解析北师大版必修4

PAGE8-章末综合测评(二)平面对量(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，0)，那么|eq\o(AB,\s\up8(→))|等于()A．2 B．3C．(1，2) D．5B[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，0)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(32＋02)＝3.故选B.]2．若eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1，－1)，则eq\o(AB,\s\up8(→))＝()A．(－2，3) B．(0，1)C．(－1，2) D．(2，－3)D[eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1，－1)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).]3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．6 D．2C[∵向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，∴6－k＝0，解得k＝6，故选C.]4．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)B[设a＝k1e1＋k2e2，A选项，∵(3，2)＝(k2，2k2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))无解，B选项，∵(3，2)＝(－k1＋5k2，2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的e1，e2可把a表示出来．同理，C、D选项同A选项，无解．]5．设O是正方形ABCD的中心，则向量eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))是()A．相等的向量 B．平行的向量C．有相同起点的向量 D．模相等的向量D[这四个向量的模相等．]6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．－eq\f(3,2)a2 B．－eq\f(3,4)a2C．eq\f(3,4)a2 D．eq\f(3,2)a2D[eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\r(3)a·acos30°＝eq\f(3,2)a2，故选D.]7．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列选项错误的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))的坐标表示为(2，0) B．eq\o(CA,\s\up8(→))＝－3eq\o(AB,\s\up8(→))C．eq\o(CB,\s\up8(→))的坐标表示为(4，0) D．eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(AB,\s\up8(→))C[选项C不正确．故选C.]8．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．2B[a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝eq\f(1,2).]9．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满意eq\o(AB,\s\up8(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝2a＋b，则下列选项正确的是()A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up8(→))D[在△ABC中，由eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up8(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，故选D.]10．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，b＝(0，－1)，则a与b的夹角等于()A．θ－eq\f(π,2) B．eq\f(π,2)＋θC．eq\f(3π,2)－θ D．θC[设a与b的夹角为α，a·b＝cosθ·0＋sinθ·(－1)＝－sinθ，|a|＝1，|b|＝1，所以cosα＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－sinθ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))，因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α∈[0，π]，y＝cosx在[0，π]上是递减的，所以α＝eq\f(3π,2)－θ，故选C.]11．已知点O，N在△ABC所在平面内，且|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|，eq\o(NA,\s\up8(→))＋eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))＝0，则点O，N依次是△ABC的()A．重心，外心 B．重心，内心C．外心，重心 D．外心，内心C[由|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|知，O为△ABC的外心；由eq\o(NA,\s\up8(→))＋eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))＝0，得eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))，取BC边的中点D(图略)，则eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(NB,\s\up8(→))＋eq\o(NC,\s\up8(→))＝2eq\o(ND,\s\up8(→))，知A、N、D三点共线，且AN＝2ND，故点N是△ABC的重心．]12.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的随意一点，若P为半径eq\o(OC,\s\up8(→))上的动点，则(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))的最小值为()A．2 B．0C．－1 D.－2D[由平行四边形法则得eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))，故(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))·eq\o(PC,\s\up8(→))，又|eq\o(PC,\s\up8(→))|＝2－|eq\o(PO,\s\up8(→))|，且eq\o(PO,\s\up8(→))与eq\o(PC,\s\up8(→))反向，设|eq\o(PO,\s\up8(→))|＝t(0≤t≤2)，则(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))·eq\o(PC,\s\up8(→))＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1].∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→)))·eq\o(PC,\s\up8(→))的最小值为－2.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知向量eq\o(OA,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝3，则eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝________．9[因为eq\o(OA,\s\up8(→))⊥eq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))－OA2＝0，所以eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝OA2＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＝9，即eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝9.]14．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为eq\r(2)，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．135°[如图，eq\o(OA,\s\up8(→))为水速，eq\o(OC,\s\up8(→))是船行驶路程最短的情形，eq\o(OB,\s\up8(→))是船行驶的速度，易知∠AOB＝135°.]15．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．eq\f(1,2)[eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).]16．已知a＝(1，3)，b＝(1，1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(5,2)，且λ≠0))))[c＝(1＋λ，3＋λ)，∵a，c夹角为锐角，∴0<cos〈a，c〉<1，∵cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(10＋4λ,\r(10)·\r(（1＋λ）2＋（3＋λ）2))＝eq\f(10＋4λ,\r(20λ2＋80λ＋100))，∴0<eq\f(10＋4λ,\r(20λ2＋80λ＋100))<1，∴0<10＋4λ<eq\r(20λ2＋80λ＋100)，∴λ>－eq\f(5,2)，且λ≠0，∴实数λ的取值范围是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(5,2)，且λ≠0)))).]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq\f(1,2)AB.求证：AC⊥BC.[证明]以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD＝1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－1，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1，1)，eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－1×1＋1×1＝0，所以eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即AC⊥BC.18．(本小题满分12分)设eq\o(OA,\s\up8(→))＝(2，－1)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(3，0)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(m，3).(1)当m＝8时，将eq\o(OC,\s\up8(→))用eq\o(OA,\s\up8(→))和eq\o(OB,\s\up8(→))表示；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满意的条件．[解](1)当m＝8时，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(8，3)，设eq\o(OC,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，则(8，3)＝x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝8，,－x＝3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝\f(14,3)，))所以eq\o(OC,\s\up8(→))＝－3eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(14,3)eq\o(OB,\s\up8(→)).(2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))不共线，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(m－2，4)，所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.19．(本小题满分12分)已知非零向量a，b满意|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝eq\f(3,4).(1)求|b|；(2)当a·b＝－eq\f(1,4)时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．[解](1)依据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝eq\f(3,4)，∴b2＝eq\f(1,4)，∴|b|＝eq\f(1,2).(2)∵a·b＝－eq\f(1,4)，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，|a＋2b|＝eq\r(（a＋2b）2)＝eq\r(1－1＋1)＝1，∴cosθ＝eq\f(a·（a＋2b）,|a||a＋2b|)＝eq\f(\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,2)，∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2，1)，A(1，0)，B(cosθ，t).(1)若a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(5)|eq\o(OA,\s\up8(→))|，求向量eq\o(OB,\s\up8(→))的坐标；(2)若a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．[解](1)∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(cosθ－1，t)，又a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，∴2t－cosθ＋1＝0.∴cosθ－1＝2t. ①又∵|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(5)|eq\o(OA,\s\up8(→))|，∴(cosθ－1)2＋t2＝5. ②由①②得，5t2＝5，∴t2＝1，∴t＝±1.当t＝1时，cosθ＝3(舍去)，当t＝－1时，cosθ＝－1，∴B(－1，－1)，∴eq\o(OB,\s\up8(→))＝(－1，－1).(2)由(1)可知t＝eq\f(cosθ－1,2)，∴y＝cos2θ－cosθ＋eq\f(（cosθ－1）2,4)＝eq\f(5,4)cos2θ－eq\f(3,2)cosθ＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2θ－\f(6,5)cosθ))＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,5)))eq\s\up10(2)－eq\f(1,5)，∴当cosθ＝eq\f(3,5)时，ymin＝－eq\f(1,5).21．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．[解](1)延长AD到G，使eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up8(→))，连接BG，CG(图略)，得到平行四边形ABGC，所以eq\o(AG,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a).(2)证明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up8(→))，又因为eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，