陕西省延安市第一中学2025届高三数学上学期第二次质量检测试题理含解析

PAGEPAGE17陕西省延安市第一中学2025届高三数学上学期其次次质量检测试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,B,再推断每一个选项得解.【详解】∵，，由此可知，，，，故选A．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题.2.设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得：，，，指数函数单调递减，故，综上可得：.故选C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但许多时候，因幂的底数或指数不相同，不能干脆利用函数的单调性进行比较．这就必需驾驭一些特别方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再依据指数函数的单调性进行推断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又精确．3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】因为，所以．又因，所以，因此“”是“”的充分不必要条件．故选A．考点：充分性、必要性问题．4.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果.【详解】，，，，，，由零点存在定理可知：零点所在区间为.故选：.【点睛】本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式可得，结合，可求出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算实力，属于基础题.6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】依据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最终的值．【详解】曲线，点的坐标为所以，在点处切线斜率，即所以分子分母同时除以可得所以选B【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题．7.下列选项中说法正确的是（）A.函数的单调减区间为；B.命题“”的否定是“”；C.在三角形中，“若，则”的逆否命题是真命题D.幂函数过点，则.【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一推断，可得答案.A项，先求函数定义域，再依据复合函数单调性的推断依据“同增异减”，可求函数的单调递减区间.B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，留意“一改量词，二改结论”.C项，原命题与其逆否命题是等价命题，故可利用正弦定理推断原命题的真假.D项，由幂函数的定义可得的值，把点代入解析式，可得的值，即求.【详解】A项，令，可得或，函数的定义域为.又函数在上单调递减，且函数是增函数，函数的单调减区间为.故A错误.B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“”的否定是“”.故B错误.C项，三角形中，由正弦定理可得为三角形外接圆的半径..命题：在三角形中，“若，则”是真命题.原命题与其逆否命题是等价命题，故其逆否命题是真命题.故C正确.D项，是幂函数，.又的图象过点，.故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查复合函数的单调性、含有一个量词的命题的否定、命题的真假及幂函数的有关学问，综合性较强，属于中档题.8.若函数在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数的取值范围为()A.(－∞，2) B.(－∞，2] C. D.【答案】D【解析】【详解】∵，当时，恒成立，即恒成立，∴恒成立．，∴当时，，即在上单调递增，∴.故选：D.9.函数的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可解除，又在是减函数，故选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.10.定义在上的函数满意及，且在上有则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据已知可得是周期为的奇函数，将转化为，即可求出结论.【详解】由得，且，所以是周期为的奇函数，当时，.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的周期性和奇偶性求函数值，属于基础题.11.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A.关于点对称 B.关于点对称C关于直线对称 D.关于直线对称【答案】B【解析】分析】先依据相邻两条对称轴距离可得周期为，从而，再依据平移变换得到新图像对应的解析式，依据其对称性可计算，从而可确定图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而．设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，则，因的图像关于轴对称，故，所以，，所以，因，所以．又，令，故对称轴为直线，所以C，D错误；令，故，所以对称中心为，所以A错误，D正确．综上，选D．【点睛】一般地，我们探讨的图像和性质时，通常用复合函数的方法来探讨，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.12.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，依据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得，，的解集为，故选B.【点睛】利用导数探讨函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造协助函数是中学数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过探讨函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明白，精确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①依据导函数的“形态”变换不等式“形态”；②若是选择题，可依据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.内角，，的对边分别为，，，若，则__________．【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴．14.已知.若，那么实数的值为________.【答案】【解析】【分析】先求f（1）=4，再求f（4）=14，得a的方程求解即可【详解】由题f（1）=4，则f（4）=16+,解a=故答案为【点睛】本题考查分段函数的函数值，考查计算求解实力，是基础题15.如图，矩形中曲线的方程分别为，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.【答案】【解析】【分析】运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.【详解】解:阴影部分的面积为，故所求概率为【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分的面积是解题的关键.16.已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有微小值，则实数c的值为______【答案】2【解析】【分析】求出，由函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有微小值列方程，解得或，验证当时，，不满意函数f（x）=x（x﹣6）2在x=2处有微小值，问题得解．【详解】由题可得：因为函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有微小值，所以，解得：或，当时，恒成立，不满意函数f（x）=x（x﹣6）2在x=2处有微小值，故舍去．所以.【点睛】本题主要考查了极值的概念及方程思想，考查计算实力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据诱导公式化简可得答案；（2）将两边平方可得，再将通分可得答案.【详解】（1）（2）.【点睛】本题考查了利用诱导公式化简，考查了平方关系式，属于基础题.18.若函数f(x)＝ax2＋bx－lnx的导函数的零点分别为1和2．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（I）求出函数的导数，由，求出的值即可；（Ⅱ）当时，恒成立，等价于，利用导数探讨函数的单调性，依据单调性求出函数的最小值，从而求出的取值范围即可.【详解】（I）函数的定义域是，∵函数的零点分别为1和2，∴，得，b=2，（Ⅱ）当时，恒成立，当且仅当，由（I）得，．．由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2．①当f′(x)＞0时1＜x＜2；②当f′(x)＜0时0＜x＜1或x＞2．当x改变时f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(0，1)1(1，2)2f′(x)－0＋0－f(x)↘↗↘因此，f(x)的区间的最小值是和的较小者，∵，∴，∴f（x）的区间的最小值是，∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分别参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③探讨最值或恒成立；④探讨参数.19.在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由两角和的正切得，进而得，即可求解C;（2），绽开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由及得，即，化简得，即.因为及，所以由正弦定理得，得，所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式，精确计算是关键，是中档题20.已知函数(1)写出函数的最小正周期；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用降幂公式和协助角公式可得，利用最小正周期的计算公式可得所求的最小正周期.（2）求出的范围后利用正弦函数的性质可求的最值，结合已知的最值可求的值.【详解】（1），故的最小正周期为.（2）当时，，故，又，故，所以，故.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和协助角公式将其化为的形式，再依据复合函数的探讨方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．21.已知函数.（1）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率的值；（2）设，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，设切点坐标为，依据题意可得出关于、的方程组，求出、的值，进而可得出的值；（2）依据题意知，当时，，当时，，然后求得函数的导数，对实数的取值进行分类探讨，利用导数分析函数的单调性，验证条件“当时，，当时，”是否满意，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为直线过点，不妨设直线的方程为，由题意得，设切点为，则，解得.直线过点，则有，解得，即直线的斜率为；（2），①若，则当时，，函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；②若，则，当且仅当时等号成立.（i）当时，，函数在上单调递增.又，所以当时，；当时，.于是有；（ii）当时，记，则，当时，，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；（iii）若，记，则，当时，，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解切线过点的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立，考查分类探讨思想以及运算求解实力，属于难题.22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半