2024年江苏省常州市中考数学一模试卷

2024年江苏省常州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.（2分）一1的倒数是（）

4

A.AB.-4C.」D.4

44

2.（2分）截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法

表示为（）

A.66.45X104B.0.6645XI0567

C.6.645XI05D.6.645X104

3.（2分）计算（-3孙3）2的结果是（）

A.6X2/B.9%Vc.-9x2/D.9X2/

4.（2分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，则该几何体的主视图是（）

从正面看

5.（2分）一元二次方程2/-3x+l=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

6.（2分）当x=2时，代数式0尤3+桁+1的值为6,那么当了=-2时，这个代数式的值是（）

A.1B.-4C.6D.-5

7.（2分）如图，A、B、C、D、E、尸为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，则甲乙两

位同学所画的三角形全等的概率为（

AF

C、/D

A.AB.1c.2D.A

293

8.（2分）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，加满油后又开始匀速行驶，下

面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9.（2分）4的算术平方根是.

10.（2分）使13x-l有意义的尤的取值范围是.

11.（2分）分解因式：-4y=.

12.（2分）点P（2,-3）关于直线彳=1对称的点的坐标是.

13.（2分）己知反比例函数丫4±,当x>0时，y随x的增大而减小.

X

14.（2分）已知扇形的圆心角为120°,半径为则这个扇形的面积5=.

15.（2分）在RtZ\ABC中，ZC=90°,sinA=A

5

16.（2分）如图，是。。的直径，AC是。。的切线，连结2。，若NC=26°

17.（2分）如图，正方形A8CD的边长为10,CF=2,GE//CB,则线段GE的长为

G

D

A

18.（2分）如图，正方形ABC。的边长为6,。为正方形对角线AC的中点，且8E=2,点尸是边8c上

的动点，点G为斯的中点，连接。G、BG,线段EP的长为

三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）

19.（8分）计算：

⑴VI^_6tan60。+(3-7T)0；

(2)(3x-y)2-(3x+2y)(3x-2y).

20.（8分）解方程和不等式:

12

(1)解方程：+=1；

x-33-x

f2x+l>x

（2）解不等式组：x+5

1

2

21.（8分）为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两

次活动的成绩（百分制）（成绩）进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作

为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成.

（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是分.

（2）两次成绩均达到或高于90分的学生有个.

（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直

方图（数据分成8组：60Wx<65,65Wx<70,70Wx<75,75Wx<80,80Wx<85,85Wx<90,90W

x<95,95WxW100),

在75W尤＜80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79,则这30位学生平均成绩的中位数是

(4)假设全校有1200名学生参加此次活动,请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.

A第二次成绩/分

1001—r-—।--------1—r-1—।--------1

_1_____!*•

95II

■V

901I-------11—I-------1

।।i1

85□I____IJ___।____।

1I-------1r-।--------1I--------1

80।■•♦

75।____।

701I--------1r-1

II

65□I_____II_____I।_____।

601r

55□I_____II_____II_____IL

0556065707580859095WOJ一次成绩/分

图

图12

22.(8分)2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，小华和小丽玩起了抽扑

克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，6,7,9.将这四张牌背面朝上，洗匀.

(1)小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是

(2)小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，接着小华再从中随机抽取一张,

记下牌面上的数字

23.(8分)如图，在菱形ABC。中，对角线AC,过点C作过点。作。E〃AC

(1)求证：四边形CODE是矩形；

(2)若A2=10,AC=12,求四边形CODE的周长.

24.(8分)《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，

提出以下两个问题：

(1)求每头牛、羊各值多少两银子？

(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩

余

25.(8分)如图，ZAOB=90°,tanA=—,反比例函数丫=上(x<0)(-2,。)，反比例函数(x>0)

2xx

经过点A.

(1)求a和左的值.

(2)过点8作8C〃x轴，与双曲线y1■交于点C

26.(8分)定义：若实数a、b、a'、b'满足a=总'+2、b=kb'+2(左为常数，20),则在平面直角坐

标系尤Oy中，称点(a,b)为(d,〃)，点(3,0)是点(1,-2)的“1值友好点

(1)在(-3,5),(2,3),(-1,4),(1,3)四点中，点是点P(1,-1)的“左值

友好点”.

(2)设点。(尤，y)是点尸(1,-1)的“左值友好点”.

①当尸Q=2O尸时，求左的值.

②若点A坐标为(6,4),当/AQP=45°时，请直接写出点。的坐标以及上的值.

2

27.(10分)如图，抛物线Ci：y=-Lx+x_3.抛物线C2交x轴于点A、B(点A在点2的右侧)，交y

轴于点C,抛物线C2与抛物线C1关于原点成中心对称.

(1)求抛物线C2的函数表达式和直线AC对应的函数表达式.

(2)点。是第一象限内抛物线C2的一个动点，连接BD、AC,8。与AC相交于点P.

①作尸瓦Lx轴，垂足为E,当PE=C尸时

②请求出亚的最大值.

BP

%

28.(10分)如图1,小明借助几何软件进行数学探究：△A3C中，AB=BC,。是边AC的中点，E是线

段A。上的动点(不与点A、点。重合)，连接AF.

(1)当为等腰直角三角形时，/A3E的大小为

(2)图2,延长曲，交射线BE于点G.

①请问/G的大小是否变化？如果不变，请求出/G的大小；如果变化

②若AB=4,则△BEG的面积最大为,止匕时.

F

图1图2

2024年江苏省常州市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.（2分）」的倒数是（）

4

A.-1B.-4C.」D.4

44

【解答】解：」的倒数为-8.

4

故选：B.

2.（2分）截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法

表示为（）

A.66.45X104B.0.6645XI05

C.6.645X105D.6.645X104

【解答】解：664500=6.645X105.

故选：C.

3.（2分）计算（-3孙3）2的结果是（

A.6x2/B.9X2/C.-9?/D.9?/

【解答】解：（-3町3）5=9心8,

故选：D.

4.（2分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，则该几何体的主视图是（）

【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形,

故选：D.

5.（2分）一元二次方程2x2-3x+l=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

【解答】解：,；a=2,b=-3,

A=b4-4ac=（-3）5-4X2X6=l>0,

/.该方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

6.（2分）当x=2时，代数式0%3+灰+1的值为6,那么当x=-2时，这个代数式的值是（）

A.1B.-4C.6D.-5

【解答】解：当尤=2时，代数式办3+法+6的值为6,

则8。+86+1=6,

2a+2b—5,

-5a-2b=-5,

贝!I当x=-8时，axi+bx+l=（-3）%-26+2=-8a-26+2=-5+1=-6,

故选：B.

7.（2分）如图，A、B、C、D、E、尸为O。的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，则甲乙两

位同学所画的三角形全等的概率为（）

293

【解答】解：B、C、。、E、F为。。的六等分点，

...由圆的对称性，可知甲同学从中任取三点画一个三角形，这两个三角形一定全等,

甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1.

故本题选：B.

8.（2分）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，加满油后又开始匀速行驶，下

面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（）

【解答】解：该汽车经历：加速-匀速-减速到服务区-加速-匀速,

加速：速度增加，

匀速：速度保持不变，

减速：速度下降，

到站：速度为0.

观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合.

故选：B.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9.（2分）4的算术平方根是2.

【解答】解：V22=7,

，4的算术平方根是2.

故答案为：4.

10.（2分）使』3x-l有意义的x的取值范围是」制

【解答】解：由条件得：3x-1^4,

解得：x^—,

3

故答案为：

11.（2分）分解因式：y（x+2）（x-2）

【解答】解:-4y

=y（x3-4）

=y（x+2）（x-3）,

故答案为：y（尤+2）（x-2）.

12.（2分）点、P（2,-3）关于直线x=l对称的点的坐标是（0,-3）

【解答】解：如图所示，

所以点尸关于直线尤=1的对称点的坐标是（0，-6）.

故答案为：（0,-3）.

13.（2分）己知反比例函数当x>0时，y随x的增大而减小m>5.

X

【解答】解：...反比例函数y*至，当尤>0时，

X

:・m-6>0,

解得m>5.

故答案为：m>8.

14.（2分）已知扇形的圆心角为120。，半径为则这个扇形的面积S=n.

【解答】解：•••"=120°,R=43,

.*.5=-,Tt*V3*V4-

360

故答案为：IT.

15.（2分）在RtZXABC中，/C=90°,sinA=AA.

5-3一

【解答】解：由sinA=&知，可设a=2x,b=3x.

5

tanA=—.

b6x3

故答案为：2.

3

16.（2分）如图，A8是。。的直径，AC是。。的切线，连结8D若/C=26°32

【解答】解：TAB是。。的直径，AC是。。的切线，

：.ABLAC,

：.ZOAC=90°,

VZC=26°,

ZAOC=90°-NC=64°,

°：OB=OD,

：・/B=/ODB,

VZAOC=ZB+ZODB=2ZB=64°,

：.ZB=LXM°=32°，

7

故答案为：32.

17.（2分）如图，正方形ABC。的边长为10,CF=2,GE//CB,则线段GE的长为75

G

【解答】解：过点尸作切，AB于如下图所示:

・・・四边形ABCD为正方形，且边长为10,

・・・A3=BC=10,ZABC=ZBCD=90°,

VFH±AB,

・・・四边形EfCB为矩形，

：.HF=BC=10fHB=CF=2,

：.AH=AB-HB=10-2=6,

'：BE=5AB,

・・・BE=5X10=50,

・•・AE=AB+BE=10+50=60,

■:GE〃CB,

J.GE//HF,

：.AAHF^AAEG,

：.HF：GE=AH：AE,

即10：GE=4：60,

：.GE=75.

故答案为：75.

18.（2分）如图，正方形ABC。的边长为6,O为正方形对角线AC的中点，且8E=2,点/是边上

的动点，点G为所的中点，连接OG、BG,线段研的长为_2^_.

【解答】解：连接5。，OE,如下图所示:

・・•四边形A8CD为正方形，点。为对角线AC的中点,

・・・3。经过点O,BC=6,

：.OA=OB=OC=OD,OBLOC,

在RtZXBE尸中，点G为斜边砂的中点，

・・・BG=EG=FG,

*：BG=OG,

：.OG=EG=FG,

:・NGEO=NGOE,NGFO=NGOF,

：.NGEO+/GFO=ZGOE+ZGOF=4EOF,

：.ZGEO+ZGFO^-ZEOF=180°,

：.2ZEOF=180°,

即NR9/=90°,

：.ZEOB+ZBOF=90°,

•.*OB±OC,

：.ZBOF+ZCOF=9Q°,

:・/BOF=/COF,

在ABOE和△口?尸中，

2BOF=NCOF

<0B=0C，

Z0BE=Z0CF

:.XBOE"XCOF(SAS),

：・BE=CF=3,

：.BF=BC-CF=6-2=5,

在所中，由勾股定理得：EF=^7BE2+BF2=

故答案为：K历.

三、解答题(共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分)

19.(8分)计算：

(1)V12-6tan60o+(3-兀)°；

(2)(3x-y)2-(3x+2y)(3x-2y).

【解答】解：⑴J五-6tan600+(3-兀)5

=273-273+1

=8_4^3?

(2)(6x-y)2-(3x+8y)(3x-2y)

=4--6盯+心-(9X2-3y2)

=9x8-6孙+y2-2x2+4y7

=5/-Sxy.

20.(8分)解方程和不等式：

(1)解方程:12

x-3+3-x

f2x+l>x

(2)解不等式组:x+5_

2x》l

【解答】解：(1)

x-33-x

2-2=尤-3,

解得：尤=6,

检验：当x=2时，尤-3W2,

：.x=2是原方程的根;

‘2x+4>x①

⑵V

浮》3②‘

解不等式①得：x>-1,

解不等式②得：尤W3,

不等式组的解集为：-6<忘3.

21.(8分)为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两

次活动的成绩(百分制)(成绩)进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作

为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成.

(1)学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是75分.

(2)两次成绩均达到或高于90分的学生有7个.

(3)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直

方图(数据分成8组：60Wx<65,65Wx<70,70Wx<75,75W尤<80,80Wx<85,85Wx<90,90W

x<95,95WxW100),

在75Wx<80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79,则这30位学生平均成绩的中位数是79.

(4)假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.

A第二次成绩/分

1001—।---------1—r-1—।---------1—।---------1-

।।।।।।।।i*

」____।_______।_____।_______।_____।_______।_____।______I*.

95।।।।।।।।।

IIIIIIII

90nr-1rI一1

।1••

85L

।•

80nI--------1f---------r♦•।---------1-I--------1

75I_____II____I

70n「一1r-1

1]II

65jI_____II_____I।______।

601I---------1

II

55j।______।।_____।I_____I।______।

0556065707580859095WOJ一次成绩/分

图

图12

【解答】解：(1)由图1得：该生第二次成绩是75分,

故答案为:75；

(2)横纵坐标都大于等于90的点有7个,

故答案为：2；

(3)这30位学生平均成绩的中位数是：79,

故答案为：79；

(4)Ax1200=360(人),

30

答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人.

22.(8分)2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，小华和小丽玩起了抽扑

克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，6,7,9.将这四张牌背面朝上，洗匀.

(1)小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是3_

4

(2)小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，接着小华再从中随机抽取一张,

记下牌面上的数字

【解答】解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，7,5,共3种,

...抽到这张牌是奇数的概率为3.

4

故答案为：3

4

(2)列表如下:

8676

3(3,5)(3,6)(4,7)(3,6)

6(6,6)(6,6)(8,7)(6,2)

7(7,6)(7,6)(4,7)(7,8)

9(9,7)(9,6)(5,7)(9,3)

共有16种等可能的结果，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果有：(3,(4,

(3,(6)(4,(6)(9,(6)(9,共9种，

...他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是4的倍数的概率为且.

16

23.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,过点C作CE〃瓦)，过点。作。E〃AC

(1)求证：四边形COOE是矩形；

(2)若AB=10,AC=12,求四边形CODE的周长.

四边形CODE是平行四边形，

1/四边形ABCD是菱形

：.ZDOC=9Q°,

四边形CODE是矩形；

(2)•..四边形A8CD为菱形，

：.AO=OC=1AC=4,ZAOB=90°,

2

由勾股定理得：

BO2=AB1-AO6,FfffAB=10,

DO—BO—I/1Q7-62=7,

由(1)得四边形CODE是矩形，

四边形CODE的周长=2(6+3)=28.

24.(8分)《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊,

提出以下两个问题：

(1)求每头牛、羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩

余

【解答】解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，

由题意得：（5x+2y=19,

l3x+5y=16

解得：卜=3,

1y=6

答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；

（2）设购买机头牛，则购买（20-加只羊，

依题意得：啊+2（20-m）<50,

[20-m42in

解得：10

o

・・,根为整数，

・••加=7,8,5,

有商人3种购买方案：

①购买7头牛，13只羊；

②购买2头牛，12只羊；

③购买9头牛，H只羊.

25.（8分）如图，NAOB=90°,tanA=」-，反比例函数丫=上（x<0）（-2,a）,反比例函数（x〉0）

2xx

经过点A.

（1）求〃和上的值.

（2）过点2作BC〃彳轴，与双曲线y上交于点C

-2a=-2,即a=l,

：.BD=5f0D=2,

(2)*：BC//x^,

yc=yB=S,

将yc=l代入中c=6,

・••点。的坐标为（8,1）,

，0C所在的直线为y^lx，

8

当无=2时,y=l即尸（2,Q

o15

研二4_7=^1,

44

S^OAC=S^ACF+SAOAF

24

Ax_l§.X2+.kx—

2684

15.

答：△O4C的面积为15.

26.（8分）定义：若实数a、b、a'、b'满足。=尉'+2、b=kb'+2（人为常数，左W0）,则在平面直角坐

标系xOy中，称点（a,b）为（a）,小），点（3,0）是点（1,-2）的“1值友好点”.

(1)在(-3,5),(2,3),(-1,4),(1,3)四点中，点(1,3).是点P（1,-1）的“左值

友好点”.

（2）设点Q（无，y）是点尸（1,-1）的'“值友好点”.

①当尸Q=2OP时，求上的值.

②若点A坐标为（6,4）,当NAQP=45°时，请直接写出点。的坐标以及上的值.

【解答】解：（1）设点尸（1,-1）的“左值友好点”的坐标为（尤.

x—k+4,y—-k+1,

，x+y=4.

在(-2,5),3),3),3)四点中,

点（1,5）是点P（1.

故答案为：（1,2）.

(2)①。尸=VI石=遥，

：.PQ=2OP=2yf7■

：.(x-1)2+(y+4)2=(272)2

Vx+y=4,

(x-6)2+(4-x+5)2=8,

解得：X1=X2=3,

。点坐标为:(6,1).

•・・3=)X2+2,

:・k=1.

(3)如图，以A尸为对角线，分别以“，AM为半径作圆.

ZAMP=ZAM'P=90°,

弧AP所对的圆周角为45°,

・•・符合条件的点。有两个，分别在。〃和。肠的优弧上.

点A坐标为(6,4),-1),

AM=7,点M坐标为(6,点M(1,

：.MQ=M'Q=S,

(I)(x-6)2+(y+5)2=54,

・•・(X-6)2+(-x+5+l)2=32,

解得：xi=7(不合题意舍去)，X2=9,

y=-4+4=-5,

・・・。坐标为(2,-5).

(II)(x-1)7+(y-4)2=52,

(x-1)8+(-x+4-4)8=52,

解得：X7=-3,X2=8（不合题意舍去）,

>=3+4=8,

・・・。坐标为（-3,7）.

・••点。的坐标为：（-5,7）或（9.

2

27.（10分）如图，抛物线Ci：y=lx+x_3;抛物线C2交X轴于点A、8（点A在点8的右侧），交y

轴于点C,抛物线C2与抛物线Ci关于原点成中心对称.

（1）求抛物线C2的函数表达式和直线AC对应的函数表达式.

（2）点£）是第一象限内抛物线C2的一个动点，连接BO、AC,BD与AC相交于点尸.

①作PEJ_x轴，垂足为E,当PE=C尸时

②请求出更的最大值.

【解答】解：（1）由题可知，抛物线C1的顶点为（-2,-8）,

..•抛物线Ci与抛物线C2关于原点成中心对称，

，抛物线C8的表达式为y=-（x-5）2+4，

2

即y=—^-x+x+5）

令y=0,贝lJ-^x2+x+3=4,

角军得：xi=6,X8=-2,

・・・A（6,6）,0）,

令x=0,则y=3,

：.C（0,3）,

•t•AC所在直线为y=―^~x+3；