人教版初中八年级数学上册同步讲义-乘法公式（解析版）

第03讲乘法公式

学习目标

课程标准学习目标

1,能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，掌

握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应用。

①平方差公式

2,能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意

②完全平方公式

义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式

进行应用。

思维导图

公式内容

平方差公式几何意义

公式内容

完全平方公式几何・义

知识点01平方差公式

1.平方差公式的内容:

22

两个数的和乘以两个数的差等于这两个数平方的差。即(a+Z?X«~b)=a-bo

注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。

2.式子特点分析：

(a+bla-b)=a2-b2：两个二项式相乘，若其中一项相同，另一项互为相反数，则等

于他们相同项的平方减去互为相反数项的平方o

3.平方差公式的几何背景:

图②

22

如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。图①的面积为：(a+bla-b)；图②的面积为：a-b.

图①与图②的面积相等。所以(a+b)(a—乃=。2—匕2

题型考点：①平方差公式的计算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的几何背景应用。④利用平

方差公式简便计算。

【即学即练1】

1.下列各式中不能用平方差公式计算的是()

A.(-^-a+2b)(,ya-2b)B.(-2x+3y)(-3y-2无)

C.(-2x+y)(-2x-y)D.(x-l)(-x+l)

2222

【解答】解：A、(^a+2b)C-a-2b)=(1。)-(2b)=la-4b,故能用平方差公式计算，故

2224

选项不符合题意；

B、(-2x+3y)(-3y-2x)=(-2x)2-(3y)2=4x2-9y2,故能用平方差公式计算，故选项不符合题

忌；

。、(-2x+y)(-2x-y)=(-2x)2-y2=4x2-y2,故能用平方差公式计算，故选项不符合题意；

D.(x-1)(-x+1),不能用平方差公式计算，故选项符合题意.

故选：D.

【即学即练2】

2.计算：

(1)(a+b)(〃-2)；

⑵(X总)(乂6)；

(3)(m+n)(m-〃)；

(4)(0.1-x)(0.1+x)；

(5)(x+y)(-y+%).

【解答】解：(1)(a+b)(a-2)

=a2+ba-2a~2b,

(3)(m+n)(m-n)

22

=m-n,

(4)(0.1-x)(0.1+x)

=0.01-x2,

(5)(x+y)(-y+x)

=7~y2.

【即学即练3】

3.若x-y=2,%2-y2=6,则x+y=3.

【解答】解：：(x+y)(x-y)=/-/，

.\x+y=(x2-j2)4-(x+y)=6+2=3.

故答案为：3.

【即学即练4】

4.已知m-n=1,则川--2〃的值为()

A.1B,-1C.0D.2

【解答】解：・・・加-〃=1,

，原式=(m+n)(m-n)-2n

=m+n-2n

—m-n

=1,

故选：A.

【即学即练5】

5.如图(1),在边长为。的正方形中挖去一个边长为匕的小正方形(〃>b),把余下的部分拼成一个长方

形，如图(2),此过程可以验证()

A.(Q+Z?)2=a2^2ab+b2B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.a2-b2=(q+Z?)(〃-/?)D.(〃+/?)2=(〃-/?)2+4tz/?

【解答】解：图(1)中阴影部分的面积为：a2-b2,

图(2)中阴影部分的面积为(〃+。)(〃-。)，

因此有〃2-廿=(〃+。)(〃-/?),

故选：C.

【即学即练6】

6.20142-2013X2015的计算结果是]

【解答】解：20142-2013X2015

=20142-(2014-1)X(2014+1)

=20142-(20142-1)

=1.

故答案为：1.

知识点02完全平方公式

1.完全平方公式的内容：

①完全平方和公式：

两个数的和的平方，等于这两个数的平方的和加上这两个数乘积的两倍。

22

即：(a+bf=a+2ab+bo可以是两个数，也可以是两个式子。

②完全平方差公式：

两个数的差的平方，等于这两个数的平方的和减去这两个数的乘积的两倍。

22

即：(a-bf=a-2ab+bo可以是两个数，也可以是两个式子。

2.式子特点分析：

222

(a±Z?)=a+2ab+b：一个二项式的平方,等于这个二项式的两项的平方的和加上这两项

的两倍。注意每一项都包含前面的符号。

巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。

3.完全平方公式的几何背景：

图1中面积的整体表示为：(a+。)2

用各部分面积之和表示为：a2+2ab+b2

22

所以(a+Z?F=a+2ab+b

用同样的方法表示图2的面积即可得至！J：

(a—=/—2ub+b~o

4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化:

(ci+bp=/+2ab+,(a—=/—2aZ?+

a?+2ab+b"—Acib=ci~-2ab+b~

(a+Z?)2-4-ab=(a-Z?)2

题型考点：①完全平方公式的计算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的几何背景。

【即学即练1】

7.运用完全平方公式计算:

(1)(4m+n)2；

⑵(y+2；

(3)Q-a-b)2；

(4)(-a+b)2.

【解答】解：(1)(4m+n)2

=16m2+8mn+H2；

21

=y7+1

4

(3)c-a-b)2；

=a2+2ab-^b2；

(4)(-〃+/?)2

=a2-lab+b2.

【即学即练2】

8.计算：

(1)(x-6)2.

(2)(-2x-y)2.

(3)(-p+3g)2.

(4)[(2m+n)(2m-n)]2.

【解答】解：(1)原式=/-2・x・6+6?

=/-12x+36；

(2)原式=(-2x)2+2*(-2x)・(-y)+(-y)2

=4/+4孙+/2；

(3)原式=(-p)2+2-(-〃)・3q+(3夕)2

=p2-6pq+9q2；

(4)原式=[4加2-九2f

=16根4-8m2H2+n4.

【即学即练3】

9.已知孙=9,x-y=-3,则/+3孙+,2的值为()

A.27B.9C.54D.18

【解答】解：・・X-尸-3,

/.(x-y)2=9,

即x2-2xy+y2=9,

.'.x1+3xy+y2=x1-2xy+y2+5xy=9+45=54.

故选：C.

【即学即练4】

10.已知：a+b—5,ab—3,求：

(1)cP'+b^；

(2)(a-b)2.

【解答】解：(1)；a+b=5,ab=3,

:./+/=(a+b)2-2a/>=52-2X3=19；

(2)Va+b=5,ab=3,

(a-b)2=(a+b)2-4ab~52-4X3=13.

【即学即练5】

11.如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系,验证了一个等式，这个等式是()

B.(y+x)2—y2+2xy+x2

D.(y+x)2-Cy-x)2=4孙

【解答】解：如图，大正方形的面积=(y+x)2,

小正方形的面积=(y-尤)2,

四个长方形的面积=4盯，

则由图形知，大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积，即(y+x)2-(j-x)2=4孙.

故选：D.

【即学即练6】

12.如图1,将一个长为4a,宽为26的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成

一个正方形.

(1)图2的空白部分的边长是多少？(用含a、b的式子表示)

(2)若2a+6=7,且a6=3,求图2中的空白正方形的面积.

(3)观察图2,用等式表示出(2a-b)2,浦和(2a+b)2的数量关系.

2a2a

b厂…

【解答】解：(1)图2的空白部分的边长是2〃-。

(2)由图21-2可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，

二•大正方形的边长=2〃+。=7,；・大正方形的面积=(2〃+。)2=49,

又,.,4个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4〃X2Z?=8H?=8X3=24,

，小正方形的面积=(2a-b)2=49-24=25

(3)由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积

即：(2〃+。)2-(2&-。)2=8〃/?.

知识点03完全平方式

1.完全平方式的定义：

若一个整式A,可以写成另一个整式B的平方的形式，即A=台2,则我们称整式A是一个完全平方式。

2.式子特点分析：

a1+2ab+b2=(a+bf：一个三项式，其中两项可以写成平方的形式,第三项是平方两项底

数乘积的两倍，则可以写成底数和或底数差的平方。若第三项与平方两项的符号相

同，则是底数和的平方,若第三项与平方两项的符号相反，则是底数差的平方。

题型考点：①平方式写成平方的运算。②根据完全平方式的特点求值。

【即学即练1】

13.下列各式中，运算结果为1-2移2+//的是()

A.(-1+xy1)2B.(-1-xy2)2

C.(-l+f/)2D.(-1-x2/)2

【解答】解：1-2xy2+j^y4—l-2盯2+(xy2)2=(1-xy2)2

=(-1+xy2)2.

故选：A.

【即学即练2】

14.已知/+fcry+64y2是一个完全平方式，则上的值是()

A.8B.±8C.16D.±16

【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式,

64y2=(±8y)2,

；・原式可化成=(x±8y)2,

展开可得x2±16xy+64y2,

•\kxy=±16xyf

：.k=±16.

故选：D.

【即学即练3】

15.已知多项式f+6x+根是一个关于x的完全平方式，则机的值是()

A.9B.-9C.36D.-36

【解答】解：由题意可得，

当zn=9时，/+6x+9=(x+3)2.

故选：A.

知识点04乘法公式的拓展应用

1.平方差公式的拓展：

两个三项式相乘，若他们的项中只存在相等的项和互为相反数的项,则可以用平方差公

式计算。它等于相等项的平方减去相反数项的平方。把相等项或相反数项存在两项的看成一

个整体。

即：[a+b+c^a+b-c)={a+bf'-c2=

2.完全平方公式的拓展：

一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计

算。把其中两项看成一个整体。

即：(a+b+cf'=(a+Z?)2+2c(a+Z?)+c2=a2+2a(b+c)+(Z?+c)2

题型考点：①拓展应用。

【即学即练。

16.在下列等式中，A和8应表示什么式子？

(1)(〃+Z?+c)(〃-[+c)=(A+B)(A-5)；

(2)(x+y-z)(x-y+z)=(A+B)(A-B).

【解答】解：(1)(a+b+c)(a-b+c),

=[(q+b)+c]X[(〃+c)-/?],

=(〃+c)2-b1,

故A代表a+c,B代表b.

(2)(x+y-z)(%-y+z),

=[x+(y-z)]X[x-(y-z)],

=/-(y-z)2,

A代表x,B代表y-z.

【即学即练2】

17.(a+b-c)(a-b+c)=/-序+2bc-d.

【解答】解：原式=[〃+(b+c)][a-(。-c)]

=a2-(。-c)2

=a2-廿+2A-c2,

故答案为：a2-b1+2bc-?.

【即学即练3】

18.计算：(m+2〃-p)2.

【解答】解：原式=[(m+2n)-p]2,

=(m+2n)2-2〃(m+2n)+落

—m+4mn+4n-2pm-4p"+p.

【即学即练4】

19.计算题：

(1)(a-2b-3c)之；

(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.

【解答】解：(1)原式=(〃-2。)2-2X(〃-2。)X3c+9c2

=d+4/?2-4ab-6ac+12bc+9c2

=tz2+4Z?2+9c2-4ab-6ac+12bc；

(2)原式=[(x-z)+2y][(x-z)-2y]-[(x-z)+y]2

=(x-z)2-4y2-(x-z)2-2(x-z)y-y2

=-5『-2xy+2yz.

题型精讲

题型01平方差公式与完全平方公式的计算

【典例1】

利用乘法公式计算：

(1)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y)

(2)(。-28+3)(。+2/7-3).

【解答】解：(1)原式=4/-12孙+9/-(9?-/)

=4x2-12孙+9『-9x2+y2

=-5X2-12孙+10优

(2)原式=[〃-(2b-3)][a+(2。-3)]

=a2-(2b-3)2

=/-4■+12。-9.

【典例2】

计算下列各题：

(1)(〃-2/?)2-(2a+b)Qb-2a)-4a(a-b)

(2)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(3x-2y)2.

【解答】解：(1)原式=/-4〃。+4廿_廿+4〃2-4/+4〃。

=。」+3廿;

(2)原式=4/+9y2+i2孙-16x2+81y2+9x2+4y2-12xy

=-3?+94y2.

【典例3】

计算：

(1)x+2y)2+(工尤-2y)2；

22

(2)(6Z-b+c)2.

【解答】解：⑴原式=[f+2xy+4y2+]无2-2xy+4y2=//+8/；

(2)原式=(a-b)2+2C(O-b)+c2—a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc.

【典例4】

求(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)•••(232+l)+1的个位数字.

【解答】解:原式=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)-(232+1)+1

=264-1+1

=264；

V21=2,22=4,23=8,24=16,个位数按照2,4,8,6依次循环，

而64=16X4,

.•.原式的个位数为6.

题型02利用乘法公式简便运算

【典例11

利用乘法公式简便计算.

(1)2020X2022-20212.

(2)3.6722+6.3282+6.328X7.344.

【解答】解：(1)原式=(2021-1)X(2021+1)-20212.

=202「-1-20212

=-1;

(2)原式=3.6722+6.3282+2X3.672X6.328

=(2.672+6.328)2

=1()2

=100.

【典例2】

计算：

(1)20232-2022X2024；

(2)ll2+13X66+392.

【解答】解:(1)原式=2023?-(2023-1)X(2023+1)

=20232-(20232-1)

=20232-20232+1

=1;

(2)原式=112+2*11x39+392

=(11+39)2

=502

=2500.

【典例3】

利用乘法公式计算：

(1)3252-2752；

(2)295X305-2982.

【解答】解：(1)原式=(325+275)X(325-275)

=600X50

=30000；

(2)原式=(300-5)X(300+5)-2982

=3002-25-2982

=(300+298)X(300-298)-25

=598X2-25

=(600-2)X2-25

=1200-4-29

=1200-29

=1271.

【典例4】

用因式分解的相关方法，进行简便计算：

(1)20232-20222.

(2)9992+2X999+l2.

【解答】解：⑴20232-20222

=(2023+2022)(2023-2022)

=4045X1

=4045；

(2)9992+2X999+l2.

=(999+1)2

=10002

=1000000.

题型03利用乘法公式求值

【典例1】

已知x+y=X,则％-y=-2.

【解答】解：Vx2-y2=(X+y)(九-y)=-L

2

故答案为：-2.

【典例2】

若廿=三，工，则°-%的值为(

d-°+6=)

32

A.-AB.Ac.3_D.2

232

【解答】解：(a+6)(a-b)=2-序,

.\lx(a-b)=2,

23

••tz-6=—■.

3

故选：B.

【典例3】

已知x+y=8,町=12,则/-孙+X2的值为()

A.42B.28c.54D.66

【解答】解：,.”+y=8,xy=12,

.,.原式=Cx+y)2-3xy=82-3X12=64-36=28.

故选：B.

【典例4】

若有理数。、。满足/+庐=5,(a+6)2=9,则-4ab的值为()

A.2B.-2C.8D.-8

【解答】解:'."a2+b2=5,(.a+b)2=9,

'.a2+b2+2ab=9,

；・5+2。/?=9,

解得：2ab=4,

贝Uab=2,

故-4ab=-8.

故选：D.

【典例5】

已矢口a+b=3,ab=-10.求：

(1)/+房的值；

(2)(a-b)2的值.

【解答】解：(1)将a+b=3两边平方得：(a+6)2=c^+b2+2ab=9,

把ab=-10代入得：a2+fe2-29；

(2)(.a-b~)2=3b)2-29+20=49.

【典例6】

已知：x+y=5,孙=3.

求：①/+5孙+/；

②)+广

【解答】解：①・.,x+y=5,孙=3,

；・/+5盯+丫2=(x+y)2+3X)；=52+3X3=34；

②•.・x+y=5,xy=3,

；・/+/=(%+y)2-2xy=52-2X3=19,

・・・/+丁4=(/+)2)22X32=343.

题型04乘法公式与几何

【典例1】

图①是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一

个正方形.

（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.

方法1：（徵+孔）2-4wi；方法2：（m-n）2；

（2）观察图②请你写出下列三个代数式；（机+〃）2,（m-n）2,相〃之间的等量关系；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a-Z?=3,ab=-2,求：（〃+/?）?的值；

②已知：〃上=1,求：（〃」■）2的值.

aa

图1图2

【解答】解：(1)方法1：(m+〃)2-4mn,

方法2：(m-n)2；

故答案为：(m+n)2-4mn,(m-n)2；

(2)(m+n)2-4mn=(m-n)2；

(3)©Vtz-b=3,ab=-2,

/.(〃+/?)2=(〃一。)2+4t7/?=32+4X(-2)=1；

②(。+2)2=(a-2)2+4XaxZ=12+8=9.

aaa

【典例2】

如图1是一个长为4人宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形

拼成的一个“回形”正方形(如图2).

①图2中的阴影部分的边长为(…)2；

②观察图2请你写出(cz+b)<(cz-b)2、ab之间的等量关系是(a+b)(a-b)?=4ab；

③根据(2)中的结论，若x+y=5,尤・y=4,贝！I(x-y)2=9；

④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你发现的等式是(。+6)・(3。+6)=

3。2+446+庐.

【解答】解：①(65)2；

故答案为：(6-a)2；

②(a+6)2-(a-b)2=4ab；

故答案为：(a+b)2-(a-b)jab；

③当x+y=5,x・y=4时，

(x-y)=(x+y)2-4xy

=52-4X4

=9；

故答案为：9；

④(a+6)・(3a+6)=3a2+4ab+b2.

故答案为：(a+b)>(3a+b)=3a2+4ab+b2.

【典例3】

如图，大小两个正方形边长分别为a、b.

(1)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S；

(2)如果a+b=8,a6=14,求阴影部分的面积.

【解答】解：(1)..•大小两个正方形边长分别为。、b,

：.阴影部分的面积S=cT+b2-—a2--(a+6)b=—a2+—b2-—ab；

22222

(2)Va+b=S,〃Z?=14,

.\S=—c^+—b2-—ab

222

=—(〃+。)2-—ab

22

=AX82-&义14

22

=11；

强化训练

1.下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（

A.(a-2b)(2a-b)B.(-a+2b)~a~2b)

C.(a+2b)(-2a+b)D.(2a-/?)(-2a+b)

【解答】解：A、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意;

8、是两个相同数的和与差的积，能使用平方差公式，符合题意；

C、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意;

。、不是两个相同数的和与差的积，不能使用平方差公式，不符合题意.

故选：B.

2.已知机+九=3,m-几=4,则加22的值为()

A.12B.-12C.25D.-25

【解答】解：Vm+n=3,m-n=4,

••nr-n=(m+n)(m-n)

=3X4

=12,

故选：A.

3.若多项式/+(k-3)冲+4廿是完全平方式，则上的值为()

A.±7B.7或-1C.7D.-1

【解答】解：'.'x2+(k-3)xy+4y2=f+(4-3)xy+(2y)2,

(A：-3)xy=±2xX2y,

解得k=7或-1.

故选：B.

4.王大爷家有一块边长为桃米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西向

减少2米.则改造后的菜地与原来的菜地相比（

A.面积相等B.面积增加了4平方米

C.面积减少了4平方米D.无法确定

【解答】解：由于改造前，这块地的面积为汴平方米，

改造后是长为(加+2)米，宽为(川-2)米，面积为(加+2)(M7-2)=(m2-4)平方米,

所以改造后的菜地与原来的菜地相比减少了4平方米，

故选：C.

5.如图，两个正方形边长分别为a,b,己知a+b=7,ab=9,则阴影部分的面积为()

A.10B.11C.12D.13

【解答】解：根据题意可得，

S阴=屋-/@2(a-b)b

=—(A2-ab+b2)

2

=—[(a+b)2-3ab],

2

把a+6=7,a6=9代入上式，

则S阴=1X(72-3X9)=11.

2

故选：B.

6.有两个正方形A、B,将A,8并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙.若图甲、

图乙中阴影的面积分别为14与36,则正方形8的面积为()

图甲图乙

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：设正方形A的边长为。，正方形8的边长为6,

由题意得，a(a+b)-a2-i2=14,(a+6)2-a2-b2—36,

BPab-Z>2=14,ab=18,

：.b2=lS-14=4,

即正方形8的面积为4,

故选：B.

7.当x=l时，ax+b+\的值为-2,贝ij(a+b-1)(1-«-&)的值为()

A.16B.8C.-8D.-16

【解答】解：:当x=l时，分+6+1的值为-2,

/.〃+。+1=-2,

/.a+b=-3,

•,*(a+b-1)(1-a-—(一3一1)X(1+3)—-16.

故选：D.

8.计算(2+1)(22+D(24+l)(28+l)...(264+l),结果是()

A.2M-1B.264C.232-1D.2128■

【解答】解:(2+1)(22+l)(24+l)(28+1)«(264+1)

=(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)*(264+l)

=(22-1)(22+l)(24+l)(28+1)»(264+1)

=(24-1)(24+l)(28+1)«(264+1)

=(28-1)(28+l)«(264+l)

=(264-1)(264+l)

=2128-1,

故选：D.

9.已知(a2+Z>2+3)(a2+i>2-3)=7,ab=3,贝！I(a+b)2=10.

【解答】解：,/(a2+b1+3)Ccr+b2-3)=7,ab=3,

即(oW)2-32=7,

(c^+b1)2=7+9=16,

a2+b2=4,

(a+6)2

=a2+b2+2ab

=4+2X3

=4+6

=10.

故答案为：10.

10.如图，C是线段AB上的一点，以AC,8C为边在AB的两侧作正方形，设AB=8,两个正方形的面积

和为40,即SI+S2=40,则图中阴影部分的面积为6

【解答】解：设AC=mBC=b,由题意可知，a+b=AC+BC=AB=S,次+■=51+S2=40,

(a+6)2=a2+2ab+b2,

：.ab=(a+b)2-(a2+b2)

2

64-40

=12,

••S阴影部分=二〃。=6，

2

故答案为：6.

2(4丫°"<5?018

11.若a=2018,/?=2017x2019-20182,c=-jx',则a,b,c的大小关系为

<b<a.

【解答】解：a=20浜=1,

6=2017X2019-20182

=(2018-1)X(2018+1)-20182

=20182-1-20182

=-1,

c=(-A)2017x(1)20,8

54

=(_AXA)2017X1

544

=(-I)?”'X—

4

=(-l)x%J，

44

•_]<]，

4

故答案为：c<b<a

12.若(尤-2022)2+(%-2024)2=100,贝！I(x-2023)'=49.

【解答】解：V(x-2022)2+(x-2024)2=100,

(尤-2023)+1]2+[(x-2023)-1]2=100,

(%-2023)2+2(%-2023)+1+(%-2023)2-2(x-2023)+1=100,

：.2(x-2023)2+2=100,即(%-2023)2=49,

故答案为：49.

13.如图，某区有一块长为（3。+46）米，宽为（2a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影