2025高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习46-正弦定理和余弦定理-专项训练【原卷版】

[A级基础达标｝

1,^EAABC中，siMa=siMB+sir^C+sinBsinC，贝[]cos2=()

11

c

---V-3-V-3

2B.22D.2

2.设^ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.右

a=2,c=2A/3,A=-,且b<c，贝U匕=()

6

A.V3B.2c.2V2D.3

3.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是白，白」，则该三角形

141U5

()

A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在

4.已知a,b,c分别为△ABC内角4,B,C的对边，sinC=卷,

。=4,8=^，贝！UZBC的面积为()

4

A.1B.2C.1或7D.2或14

5.(多选)已知△ABC的内角4,B，。的对边分别为a,b,c，则下列说法正

确的是()

B.若sin2A=sin2B,则此三角形为等腰三角形

C.若a=1,5=2,2=30。，则此三角形必有两解

D.若^ABC是锐角三角形，则sin2+sinB>cosA+cosB

6.ABC中,sinAsinB:sinC=3:2:4,贝cosB的值为.

7.已知△ABC的内角4,B，。的对边分别为a”,c,若a=g,c=4,△ABC

的面积为2V3,贝！]△ABC外接圆的半径为.

8.在△ABC中，角a,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)•cosC=

c(cosA+cosB),<2=4,匕=6,贝[]°=.

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=BasinC—ccosA.

(i)求角a;

(2)若a=V7,b+c=V19,求^ABC的面积S.

[B级综合运用]

10.在△ABC中，B=?,BC边上的高等于，贝!]cosZ=()

43

,3V10Vlo„Vion3V10

A.-------D.C.---------D.-----------

10101010

n.(多选)在△ABC中，内角a,B，。所对的边分别为a,b,c，且鸟=

acosD

tan4+tanB,下列结论中正确的是()

A.4=三

6

«IT

B.A--

3

C.当a=4时，△ABC面积的最大值为2V3

D.当b—c=当时，△ABC为直角三角形

12.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍

了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，

如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形

与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△4BC中，若4F=1,FD=

2，贝!MB=.

c

图①

13.已知△4BC的三个内角4,B，。的对边分别为a,匕，c,从下列四个条件

①a3c；②。=三；③cosB=T；④匕=⑺中选出三个条件，能使满足所选

64

条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是.(填写相应的序号)，所

选三个条件下的c的值为

14.在△4BC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c，且6a-2csin(B+

弓)=。.

(1)求角C；

(2)设AC=6,BC=4，若P为上一点，且满足2P=CP，求2P的长

IC级素养提升]

15.已知△ABC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c，且a=6,4sinB=

5sinC,A^2C，贝必ABC的周长为，若。为△ABC的内心，则△AOB

的面积为.

16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

①C=2B;②bcosA—acosB;③匕2—c2=a2—y[2ac.

(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

(2)若。为线段AB上一点，且NBCD=郃，6=4，求△BCD的面积.

注:若(1)中选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2025高考数学一轮复习46-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】

IA级基础达标J

1.在^ABC中，sin2y4=sin25+sin2C+sinBsinC,贝!!cosZ=(B)

A.-B.C,—D.--

2222

［解析］选B.因为sinz力=sin2B+sin2c+sinFsinC,

所以由正弦定理得次=b2+c2+be,

则cosA="片♦=一1.故选B.

2bc2

2.设△ABC的内角力,B,C的对边分别是a,b,c.若

a=2,c=2A/3,A=-，且b<c，则b=(B)

6

A.V3B.2C.2V2D.3

［解析］选B.由余弦定理得，a2-b2+c2-2bccosA4-b2+12-6b,即/-

65+8=0,解得b=2或b=4，又b<c,所以b=2.故选B.

3.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是白，去,：，则该三角形

1411)□

(c)

A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在

［解析］选C.设△ABC的内角a,B,C的对边分别是a,c，且a,b,c边上

1l1

高

为

的

分

另H

u-

5

14,lo

111

-aJL--C-

1O25

令a=14，贝Ub=10,c=5,

所以cosA=<o，所以a为钝角，又b+c>a,所以该三角形是钝角三

ZX1UX3

角形.故选c.

4.已知a,b,c分别为△ABC内角4,B,C的对边，sinC=春,

c=4,B=；，则△ABC的面积为(C)

A.1B.2C.1或7D.2或14

［解析］选C.由*=-%可得5=尊,

sinCsinB2

因为sinC=3，所以cosC=-看或cosC=3,

所以sinA=sin(5+C)=sin:cosC+cos；sinC，故sin力=看或sinZ=手，

r-r-l\I仁1j..1.5V2V2y—1..1.5V27V2

所以Suae=-bcsm/=5x4x—x—=1或=-bTcsmA=-x4x—x—=

7.故选C.

5.（多选）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正

确的是（AD）

B.若sin2A=sin2B,则此三角形为等腰三角形

C.若a=1,5=2,4=30。，则此三角形必有两解

D.若公ABC是锐角三角形，贝（Jsin4+sinB>cosA+cosB

［解析］选AD.由正弦定理可知%=白,又右=\

sinAsinBcosAsinB

所以总二57，可得tanz=l，因为ae（o，m，所以Z=”A正确；

因为2aG(0,2TT),2BG(0,2TT),且内角2A,2B最多有一个大于TT,

所以由sin2A=sin2B可知，22=2B或22+2B=n，即2=B或2+B=］,

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；

91

由正弦定理可得sinB=3=T=l,

a1

因为Be(o，m，所以B=5，故此三角形有唯一解，C错误；

因为△ABC是锐角三角形，所以a+B>5,

即］>力>］一8>0/

又丫=sin%在(。*)上单调递增，

所以sinA>sin(］—B)=cosB,同理sinB>

sin(］—4)=cosA,所以sinA+sinB>cosA+cosB,D正确.故选AD.

6.ABC中，sinA-.sinS:sinC=3:2:4,贝［］cosB的值为工.

8

［解析］设内角4,B，。的对边分别为a,b,c,因为sin4sinB:sinC=3:2:4，所

2_i_2_i.2

以a\b\c=3:2:4，设a=3/c,b=2k,c=4k,fc>0，则cosB=-r---n-----=

2ac

16/C2+9/C2-4/C2_21_7

2x3kx4k-24-8,

7.已知△ABC的内角4,B,。的对边分别为。，5,。，若4=］,c=4,△ABC

的面积为2V3，贝必ABC外接圆的半径为2.

［解析］由SAABC=l^csinA，得;bx4s呜=2V3,解得b-2.

由余弦定理次=b2+c2-26ccosA,得次=22+42—2x2x4cos|=12,

所以a=，由正弦定理，得△ABC外接圆的半径R=士=冬=2.

ZsinA2x——•

8.在△力中，角力,B，。的对边分别为a,b,c，且Q+b)・cosC=

c(cosA+cosB),a=4,b=6,贝!］c=2A/7.

［解析］由正弦定理得(sinA+sinB)cosC=sinC(cosA+cosB),

所以sinAcosC+sinBcosC=sinCeosA+sinCeosB,

所以sinAcosC-sinCeosA=sinCeosB-sinFeosC,即sin(4—C)=sin(C—B).

又力,B，。是三角形的内角，力一C+C—8=4—Be(-rm),

所以力—C=C—B，所以4+B=2C,

所以C=g,由余弦定理得c?-a2+b2—2abcosC=42+62—2x4x6x|=28,

所以c-2V7.

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c-V3asinC—ccosA.

(1)求角a；

［答案］解：因为c-75asinC—ccosA,所以sinC=V3sin力sinC—sinCcosA,

又sinCW0,所以1=V3sinA—cosA,即sin(力-.

62

又ae(0,-n),所以a=:

(2)若a=V7"+c=V19,求^ABC的面积S.

［答案］因为a-yn,b+c=V19,A=^,

所以由a?=b2+c2—2bccosA，得7=t>2+c?—be，即7=(b+—3bc,解得

be=4.

所以S=jbesinA=y［3.

［B级综合运用］

10.在△ABC中，B=?,BC边上的高等于JBC，贝！］cos4=(C)

43

,3V10Vio„Vio3V10

A.-------D.C.---------Dn.-----------

10101010

［解析］选c.设△/BC中角力,B,C的对边分别是a,b,c,由题意可得|。=

csin-=—c，贝［Ja=—c.在^ABC中,由余弦定理可得b?=a2+c2—y［2ac=

422

+2_|2，贝b=手。.由余弦定理可得COSA=2c

2C2c3C2=c44)=覆2c=

2222bc2x苧xcc

Y.故选c

11.(多选)在AaBC中，内角4,B，。所对的边分别为a,b,c，且书=

CLCOSD

tanA+tanB,下列结论中正确的是（BD）

LA=-

6

BC.AA=-TC

3

C.当a=4时，△ABC面积的最大值为2V3

D.当b—c=半时，AZBC为直角三角形

［解析］选BD•由■=tanZ+tanB及正弦定理得葛瑞=tan4+tanB，即

代皿4+8).,,门百(sinAcosB+cosAsinB),.,,二

=tan4+tanBn---------------=tan4+tanB

sinTlcosBsinAcosB

即8(tan4+tanB)=tan2+tanB,因为在三角形中tana+tanBH0,

tan4

所以tana=g，又ae(o,ir),所以a=三，故A错误，B正确；

若a=4,由/)2+c2-a2=be得16=按+c?—beN2bc—be=be,

即be<16,当且仅当b=c=4时，等号成立，

所以S“BC=；bcsinZW［x16x曰=4百,

即^ABC面积的最大值为4V3，故C错误；

由匕一c=牛得匕=c+乎,将其代入/+c2—a2-be中得3c2+V3ac—2a2—

0,

所以(V^c—CL)(V3C+2d)-0,因为a>0,c>0,所以V^c—a=0na=V3c,

即b=2c，所以满足/=a?+c2，故△ABC为直角三角形，故D正确.故选BD.

12.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍

了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，

如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形

与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ZBC中，若4F=1,FD=

2，贝1MB=回.

c

［解析］由题意△EFD为等边三角形,贝！,所以NBD4=g，根据条件

△AFC与^BDA全等,所以2F=B。=1.在△ABD中，4。=3,BD=1,所以

AB2=AD2+BD2-2xADxBDxcos^BDA=32+l2-2xlx3x(-1)=13,

所以4B=vn.

13.已知△ABC的三个内角4,B,C的对边分别为a,b,c，从下列四个条件

①a=V2c；②C=£；③cosB=-乎；@b-V7中选出三个条件，能使满足所选

64

条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是①③④（填写相应的序号），所选三

个条件下的c的值为年（或②③④返±.

［解析］选①②④或①②③，由a=鱼。及正弦定理，得

sinA-V2sinC=&xJ=孚，所以4=?或2=4,不满足题意；选①③④，由余

ZL44

弦定理，得COSB=亨W=噜/=—?,解得c=?,此时△ABC存在且唯一；

2ac2xy2cxc42

选②③④，由C=!,cosB--1，得此时^ABC存在且唯一，sinB-

64

V1-cos2B-中,由正弦定理七-*，得C=则^#=V2.

4sinBsinCsinB

4

14.在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且6a-2csin(B+

3)=0.

(1)求角C；

［答基］解：因为V3a—2csin(B+^)=0,

所以由正弦定理可得sinC(-sinB+—cosB)=—sin^,即sinC(-sinB+—cosB)=

22222

fsin(B+C)=苧sinSeosC+苧cosBsinC,可得sinBsinC—V3sinBcosC,因为

BE(0,n),所以sinB>0,

所以sinC=V3cosC,即tanC=V3,

又因为ce(o,m，所以c=g.

(2)设"=6,BC=4，若P为ZB上一点，且满足2P=CP，求ZP的长.

［答案］因为ac=6,BC=4，所以由余弦定理得ZB?=ZC2+BC2—24>BC-

cos乙4cB,BP=62+42-2X6X4X1=28,

夕尸+

解得上(负值舍去)，所以(262-42_2V7

ZB=2cosZ=2x2V7x6-7

设ZP=%，则COS2=61f=W,解得％=萨

2x6xx72

故ZP的长为子.

[C级素养提升1

15.已知△4BC中，角a,B,C所对的边分别是a",c,且a=6,4sinB=

5sinC,A^2C，则△ABC的周长为15，若。为△ABC的内心，则△AOB的面积

为盛,

[解析]由4sinB—5sinC,得4sin(4+C)=5sinC,即4(sinAcosC+cosAsinC)=

5sinC.又4=2C,所以4(sin2CcosC+cos2CsinC)=5sinC,即

4[2sinCeos2c+(2cos2c—l)sinC]—5sinC.因为A—2C,所以0<C<],所以

sinCA0,所以16cos2c-4=5,解得cosC-,所以sinC=?,所以sinA-

44

sin2C=2sinCeosC=—.由正弦定理，得c=asinC=4.由4sinB=

8sinZsinCsinA

5sinC得4b=5c，所以b=|c=5,所以△ABC的周长为a