2024年5月高三数学四模考试卷（附答案解析）

2024年5月荆州中学高三数学四模考试卷

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1-函数/(x)=tan(2x+工)的最小正周期为

A.兀B.工C.1D.1

236

2

2.已知椭圆C：—.+2=1的一个焦点为(0,2),则左的值为

8k

A.4B.8C.10D.12

3.已知集合4={N/=X>Q}(Q£R),若4ng=0,则。的取值范围为

B.(1,+8)C.(-00,1)D.[1,+00)

024

4.已知3-1产*=旬+中+。2幺+1+«2024?,贝lJ%+2+L+g024被3除的余数为

A.3B.2C.1D.0

5.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数及、右、囱、L的图形.图

中四边形48CD的对角线相交于点。，若皮=彳幅，则％=

A.1B.41C.—D.73

2

6.已知圆C：x2+(y-m)2=\,直线/：(m+l)x+2j；+l+m=0,则直线/与圆C有公共点的必要不充

分条件是

A.-\<m<\B.C.-l<m<0D.0<m<-

22

y—bx+Q+e

)趴e)=0D,)=£得到经验回归模型

y^bx+a,求得如右图所示的残差图.模型误差

八残差

A.满足一元线性回归模型的所有假设•丁・・：.：

B.不满足一元线性回归模型的£(e)=0的假设J：：..・・：？

O••..

C.不满足一元线性回归模型的O(e)=b2假设

D.不满足一元线性回归模型的£(e)=0和D(e)=a2的假设

8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两

种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1—412Tl.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角

谷猜想”等).如取正整数机=6,根据上述运算法则得出6-3-10-5-16-8-4-2-1,共需经

过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.我们记一个正整数〃（〃片1）经过K（同次上述运算法则后首次

得到1（若“经过有限次上述运算法则均无法得到1,则记K（〃）=+s）,以下说法正确的是

A.K（〃）可看作一个定义域和值域均为N*的函数

B.K（〃）在其定义域上不单调，有最小值，有最大值

C.对任意正整数都有K⑺K（2）=K（2〃）-1

D.K（2"-1）4K（2"+1）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，若有两个选项正确，选对一个得3分，若有3个选项正确，选对1个得2分，有

选错的得0分.

9.已知复数2=〃/-1+（机+1］（7"eR）,则下列命题正确的是岳

A.若z为纯虚数，则加=±1

B.若z为实数,则z=0

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则加=-1'气蕃

D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限

10.如图，正八面体/BCD-b棱长为2.下列说法正确的是¥

A.3£//平面40尸

B.当尸为棱EC的中点时，正八面体表面从尸点到尸点的最短距离为近

C.若点尸为棱防上的动点，则三棱锥尸-/DP的体积为定值±

3

D.以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为应况

3

11.已知函数的定义域为R，且/（x+y）+/（x—y）=/（x）/3）,/（l）=b则

A./(O)=2B.尤）关于（3,0）中心对称

C.“X）是周期函数D./(x)的解析式可能为/(x)=2cosgx

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

2

12.已知双曲线C：1一/=>0）经过点Qi）,则。的渐近线方程为______.

a2

13.若实数0,x,y,6成等差数列，-，,凡人c,_1成等比数列，则匕E=_____.

28b

14.设0<a</,tana=冽匕口，,cos（a-,）=3,若满足条件的a与£存在且唯一，则m=

tanatan（3=

2

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知函数/（无）=«llLX

（1）求曲线了=/（x）在点（1J。））处的切线方程；

（2）求证：函数y=/（x）的图象位于直线y=x的下方；

16.（15分）

如图在四面体中，M是/。的中点，P是9的中点，点。在线段/C上，且/0=3℃.

（1）求证：PQ//BCD；

（2）AB=AD=BC=CD=2,AC=EBD=2A求直线。。与平面太

/C尸所成角的正弦值./

17.（15分）

宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对

Ia

首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中人的人计划只参观三峡大坝，另外士的人计划既

44

参观三峡大坝又游览三峡人家.每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡

人家，则记2分.假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率.

（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

（2）从游客中随机抽取"人记这〃人的合计得分恰为〃+1分的概率为求才片；

（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为“分的概率为%,随着抽取人数的无限增

加，。“是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.

18.（17分）

从抛物线y=8x上各点向无轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为口

（1）求「的轨迹方程；

（2）4瓦。是r上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点2瓦尸，

①若ACHDF,求目2的值;

BF

3

②证明：三角形/BC与三角形。所的面积之比为定值.

19.（17分）

对于数列｛%｝,如果存在一个正整数m，使得对任意eN*）,都有Xn+m=X"成立，那么就把这样的一

类数列｛七｝称作周期为加的周期数列,加的最小值称作数列｛七｝的最小正周期，简称周期.

'2,77-1

（1）判断数列斗=siiw兀和%=3,n=2是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如

yn_x-yn_2+1,n>3

果不是，说明理由；

（2）设（1）中数列｛为｝前“项和为，，试问是否存在。，夕，使对任意〃eN*,者B有

n

成立，若存在，求出PM的取值范围，若不存在，说明理由.

b、—1,Z?2=a

（3）若数列｛4｝和仍,｝满足6“=与+「。"，且八_如（>|是否存在非零常数%使得

“〃+2-b—

｛0“｝是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数。；若不存在，请说明理由.

参考答案

题号1234567891011

答案BDDDBADCBDABDACD

6I

12.y=±—X13.-13.-814.m=-,tanatan/?=l

29

1.【详解】由周期公式得？=二=，故选：B

CD2

222

2.【详解】由题意得，c=4fa=kJb=Sf所以左=4+8=12.故选：D.

3.【详解】由题意知/=｛x|—l<x<l｝,又5=｛x|x>〃｝（〃£R）且力口5=0,故即。的取值范围

为口,+8）.故选D.

4.【详解】令X=0,得旬=1,令X=l,得Qo+q+Qz+L+。2024=2期4,

两式相减，々+Q2T-----卜a2024=4L-1.

因为（3+1户2=423皿2+。23.i+C*3记抵人

其中C%23⑼2+C；0123Hm+L+C黑3被3整除，所以（3+1户?被3除的余数为1,

从而4+。2+1+。2024能被3整除.故选D.

5.【详解】延长45、DC交于点、E,取的中点尸，连接班\

4

易知“3C为等腰直角三角形，则/4BC=N4CD=90°,ZACB=45°,

所以，ZACE=90°,NCBE=90°,ZBCE=ZACE-ZACB=45°,

故ABCE为等腰直角三角形，且BE=BC=4B=1,贝1JCE=夜，

16

因为8、F分别为/£、CE的中点，则2尸〃NC,S.CF=-CE^—，

22

所以，瞿耳=血，故X=故选：B.

OBCF

6.【详解】由题意可知圆C的圆心坐标为(0,〃?)，半径为1.

因为直线/与圆C有公共点，所以直线/与圆C相切或相交，

所以圆心C(o,加)到直线I的距离d=加加+以；441，解得TWa4，

其必要不充分条件是把加的取值范围扩大，

所以选项中只有TWmWl是-14加＜：的必要不充分条件.故选：A

2

Y—bx+a+e

7.【详解】解：用一元线性回归模型〈〜、八_、2得到经验回归模型y=BX+6,根据对应的

E(e)=0,D(e)=cr

残差图，残差的均值£(e)=0不可能成立，且残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上，

说明残差与坐标轴变量有二次关系，O(e)=b2不满足一元线性回归模型，故选D.

8.【详解】依题意，K(〃)的定义域是大于1的正整数集，A错误；

由K(4)=2,K(5)=5,K(8)=3,得K(冷在其定义域上不单调，

而K(2)=l,K(〃)eN*,则K(")有最小值1,

由〃经过有限次角谷运算均无法得到1,记K(〃)=+s,得Ke)无最大值，B错误；

对任意正整数K(2〃)=K(")+1,而K⑵=1,因此K5)K(2)=K(〃)=K(2〃)-1,C正确；

由KQ2-1)=K(3)=7,K(2?+1)=K(5)=5,知K(2"-1)4K(2"+1)不正确，D错误.故选：C

9.【详解】复数2=切2_]+(/77+1](〃2€11)的实部为用2_1,虚部为加+1,

复数Z在复平面内对应的点的坐标为(加2-1,加+1),

^^2_]_0

对于A：若z为纯虚数，则=，解得加=1,故A错误；

对于B：若z为实数，则加+1=0,解得冽=一1,则z=0,故B正确；

对于C：若z在复平面内对应的点在直线＞=2%上，

所以加+1=2(疗一1),解得加=-1或加=|,故C错误；

5

m2-1<0

对于D：令，八，即,，不等式组无解，

+1<0[?„<-!

所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.E

10.【详解】A选项，连接BD,EF,由对称性可知，£尸，平面48C。，/4\\

且ERBD相交于点。，。为8。和环的中点，

又BE=DE=BF=DF=2,故四边形5TOE为菱形，故BE11DF,力专

又。尸u平面NDF,平面4。尸，;!//

所以AEV/平面40尸，A正确；\^/

对于B,将△E2C和△F2C展开至同一平面，尸

27r

由余弦定理得：FP2=CF-+CP2-1CF.CPcosy=7,;.FP=^,B正确；

C选项，=VA_FDP,其中A到平面FDP的距离为/O=拒,

设菱形8FDE的面积为S,则5=：50・所=；乂2亚x2&=4,8如户=：5=2,

若点尸为棱£5上的动点，则三棱锥尸-/。尸的体积为定值加血=3回，C错误.

33

对于D,易得以。为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，

故每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，以2为边长的正三角形的高为百，

可得内切圆半径r=3,1=8x2兀叵，D正确.故选ABD

33

11.【详解】由/(x+y)+/(x-y)=/(x)/S),

令x=l,y=0,有/(1)+/(1)=/(1)〃0),可得/■⑼=2,故A正确;

令X=0，贝U+f(-y)=/(0)/(y)=2/(y),贝1]f(y)=f(-y),

/⑴=1,令y=l,贝1]/(8+1)+/(8-1)=/仁)/(1)=/(勾，

所以“X+1)=/(%)-f(x-1),则=f(x-1)-f(x-2),

f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-/(x-：l)=-/(x-2),

所以/(x)=-/(x-3)=/(x-6),则以x)周期为6,C正确.

由于，(x)为偶函数且周期为6,故/(3-x)=〃x-3)=/(3+x),Ax)关于x=3轴对称，B错误,

函数Ax)是偶函数且周期为6,/(0)=2,/(1)=1,故D正确.

12.【详解】因为双曲线C：=-/=15>0)经过点(2/)，

a

所以。=夜,6=1,渐近线方程为y=±2%='.

a2

6

13.【详解】实数Qx,以6成等差数列，则＞―％=]6-0=2,

11

-，氏6,G-*成等比数列，则廿9

2oI

由于等比数列奇数项同号'所以6＜°,所以6=则=-8.故答案为-8.

b

sina_加sin0..3

14.【详解】由tana=："tan?,得,即sinacos0=mcosasin,,由于cos（a一夕）=1，

cosacos/3

4

所以sin（a-'）=sinacos/?-cosasin,=（加一l）cosasin,=-—,

44m

所以cosasin/?=-，所以sin。cosP=mcosasin[3=

-4（m+l）

所以sin（a+〃）=sinacos/?+cosasin）=

5（m-l）

因为a,4所以a+?e（O,兀）,

因为满足条件的a与"存在且唯一，所以a+,唯一,

-4（m+l）所以加经检验符合题意，所以夕,

所以sin（«+£）==1,=g,tana=gtan

5（m-1）

4tana-tan0_tana-9tana

则tan…—="3，解得tan6Z=-,

1+9tan2a3

所以tanatan/?=9tan2a=\.

15.【详解】（1）r（x）=-^+—,贝!ir（i）=i,又/⑴=o,

2、xx

所以曲线在点（1J0））处的切线方程为y=x-l；5分

（2）因为x〉0,所以五＞0，要证明只需要证明即证Inx-五＜0,

令〃（x）=lnx-五，贝！]“（%）=▲—2—\[x

8分

2x

当0＜x＜4时，＞0,此时/z（x）在（0,4）上单调递增；

当尤＞4时，〃'（尤）＜0,此时〃（x）在（4,+功上单调递减,11分

故〃卜）在x=4取极大值也是最大值，故〃（x）4〃（4）=ln4-2＜0,

所以lnx-6＜0恒成立，即原不等式成立,

所以函数7=/（x）的图象位于直线＞=》的下方;13分

16.【详解】（1）过点尸作PE〃/。交2。于点E,过点。作0-〃40交CD于点尸，则尸£〃。尸，因

7

为M是/。的中点，P是倒/的中点，所以PE=%D,因为4Q=3QC,由平行线分线段成比例定理得:

QF=^AD,所以尸E=QR所以四边形尸£尸0为平行四边形，所以P。〃跖，又尸。O平面BCD,EFu

平面BCD,所以P0〃平面8cD；

.......................6分A

（2）因为HD=2百，所以/£=C£=1,又/C=百，所以//，弋

N4EC=120°,B4二弟F-->/>

因为48=/。,£为中点，所以同理C£J_AD,又因为

AEC\CE=E,所以平面ZC£,又因为BDu平面5s,所

以平面BCD±平面ACM,

Ji

作AH_LCE交CE延长线于点H,则AH_L平面BCD且4H=—,

如图，以£5为x轴，£c为J轴，z轴/////建立空间直角坐标系..................8分

4等‘M百'。'。）'。（。’1'0）,巩-出,0,0）,尸（手,-，,络）,。（0,■|,卜）,

%」0」一心]，而=/火/、

[22）1，：8'8

7

设面ZCP的一个法向量为万=（x/,z）

n-AC=03y-百z=0f-f-

—.=>1—1—=>x=则y=1,z=v3所

n-CP=Q2V3x-9j/+V3z=0

以13分

设直线DQ与平面ACP所成角为e,sin。=|cos<DQ,n>|="Y1空

385

所以直线48与平面ACD取成线面角的正弦值为应1型..........

15分

385

17.【详解】(1)X的可能取值为2,3,4,

p(X=2)=d)2=L,尸(X=3)=dx！x3=9,P(X=4)=(3)2=2

4164416416

所以X的分布列如下表所示：

X234

8

£_6_9_

161616

⑵因为这〃人的合计得分为〃+1分，则其中只有1人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家，所以

13I-3n33x23x33nml

P=C'--(~)=—,＞P=-+—5-+—r+...+—,则

〃"444nM442434"

1弋八33x23x33n

L1斗=L不+才+.••+广

由两式相减得，3x汽？=。+*+之+...+之一?=。＞＜一41一代

4£'4444"4414"+

4

所以之？=3(1—J-)—4...................................................10分

金，34"4"

⑶在随机抽取的若干人的合计得分为〃-1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为〃分或

“+1分，记”合计得〃分”为事件/,“合计得〃+1分”为事件3,Z与3是对立事件.

33

因为P(N)=%，P⑻=工％,所以4+4。修=1(“22)，

434

即4-亍=_那4-1-亍)(122).

因为％=：,则数列｛氏—：｝是首项为一焉，公比为―：的等比数列，所以见一；=-\(_｝"7(〃21),

494

所以％=---

所以随着抽取人数的无限增加，«„趋近于常数g..........15分

18.【详解】(1)设垂线段中点坐标为(x,y),抛物线上点坐标为(x,2y)，代入抛物线方程,则(2y)2=8x,

BPy2=2x...................................3分

(2)①如图，4瓦。是「上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点。，及尸，

2

则抛物线_/=2x上过点A的切线方程为工吟=今-乂),

9

将切线方程与抛物线方程联立，得：

联立「一号=消去X,整理得廿一2夕+2%-疗=0,

y=2无

所以A=(-21)2-4(2纵*)=4/一咖+4"=4(/-乂)2=0,从而有t=yx,

2

所以抛物线上过点A的切线方程为X=-合，.........................5分

22

同理可得抛物线上过点B,C的切线方程分别为x=%y-春,x=%y-会，

两两联立，可以求得交点。，瓦厂的纵坐标分别为

%、，_必+%、，_为+%

%二7分

、，凹+了2

AD凹一乂"2必一叫

则

DE

y4~y5%一%

22

同理可得\E身F\=皆6―:％DB”一可ADEFDB

I9即9分

BF必一闯DEFCBF

ADCFEFFC....BBDDEF

当4C7/Z)厂时,故寿，即忸尸=尸。，因此就=-----=110分

DEFEFCnrDBFrFC

k=♦-%=2(

②易知'L片—及一%+力，则直线NB的方程为Nf=1丁卜-三,

化简得V=2x+"%,即（乂+y2）y=2x+乂％

2

%+为力]乂了2

222

则三角形48c的面积S[=g|48|-4=-%)(%-必)(%-%)|.........................14分

2

由(2)①知切线。石的方程为x=*

10

。（苧，五产），E（然,中），尸（苧,一）

可知\DE\==+\y3-y2\，

点尸到直线E。的距离为

2

%乃必必+无力|必

d,222」（%一%）（%一乃）|,

则外切三角形DEF的面积邑=（忸0W%％•

2o

故春==2.因此三角形NBC与外切三角形DEF的面积之比为定值2........17分

d2

19.【详解】（1）｛%｝、｛%｝均是周期数列，理由如下：

因为尤“+1=sin（〃+1）71=0=sin"兀=xn,

所以数列上｝是周期数列，其周期为L

因为%+3=y“+2-y”+i+1，％+2=%+i-%+1，

所以"+3=一匕+2.则为+6=一%+3+2,所以刃+6=%

所以数列｛匕｝是周期数列，其周期为6.......................