单原因减员模型及死亡率的确定课件

单原因减员模型及死亡率的确定

第一节单原因减员模型一、二项型模型(一)假设①人口总体最初的人数为P个，观测期为一年。②在这一年中任何一个人死亡的概率是q。③死亡的发生与否是独立的。参数q叫做初始死亡率(initialratemortality)，在此，我们假设q对所有的个人都是相同的。(二)死亡人数的分布设随机变量Θ表示一年中死亡的人数，则死亡人数为θ的概率为其中，θ=0,1,2,……,P。上式说明，表示死亡人数的随机变量Θ服从参数为(P,q)的二项分布Binomial(P,q)(三)初始死亡率q的极大似然估计

1.

2.初始死亡率的极大似然估计的性质

二、泊松型(固定人口)单原因减员模型

(一)泊松型模型(固定人口)单原因减员模型的假设

在这种最简单的形式中，我们做如下的假设：①在T年中人数总是包括P个人，人口总是保持不变，死亡的人立刻被替换。②在任何短时间间隔中(t，t+h)：第一，单个死亡发生的概率是μhP

即P［在(t，t+h)期间1人死亡］=μhP+第二，与仅发生一个死亡的事件相比，发生一个以上死亡的可以忽略，即P［在(t，t+h)期间1人以上死亡］=o(h)③在各个不同的时间间隔中死亡的发生是独立的。参数μ为死亡力，我们假设μ对所有的人是相同的。

(二)死亡人数的概率分布

对于给定期间的死亡人数θ，T年期间恰恰发生θ人死亡的概率是即代表死亡数θ的随机变量服从(μPT)泊松分布例1.2

某大公司总是保持5000名年轻工人的员工规模，离开的立刻补上，计算6个月内不超过3人死亡的概率，假设所有工人的死亡力为0.0008。解：固定人数P=5000，死亡力为常数μ=0.0008，如果假设死亡是独立的，则泊松分布适用，6个月死亡人数服从泊松分布，其均值为0.0008×5000×6/12=2，于是不超过3人死亡的概率是：0.1353+0.2707+0.2707=0.6767

(三)灾害率的极大似然估计

2.灾害率的极大似然估计的性质

观测的死亡人数θ服从参数为(μPT)的泊松分布，其均值为μPT、方差为μPT，所以

三、泊松型(变动人口)单原因减员模型

(二)历险数(ETR)

前面探讨的固定人口模型，人口规模一直为初始人口水平，我们把这种情况下的初始人口规模用初始历险数(initialexposedtorisk)来描述，其缩写为IETR，记为E，我们定义其值为初始人口总数P。为了使固定人口模型一般化，我们需要引入中心历险数这一概念。中心历险数(centralexposedtorisk)的缩写为CETR，记为，它是衡量整个观测期间平均人口规模的指标，其数值定义如下：其中和分别表示第i个被观测个体进入和离开群体的时间(从观测期间开始时进行计算)。

(三)死亡人数的概率分布四、模型比较

(一)模型参数

我们所见的模型参数总结在下表中所有模型都有一个相似之处，就是它们都包含两个参数：——死亡率参数，二项型模型中初始死亡率和泊松模型中中心死亡率。——历险数参数，二项型模型中初始历险数ETR和泊松型模型中中心历险数CETR。

(二)初始历险数与中心历险数之间的关系

我们可推导出初始历险数与中心历险数之间的以下关系当一人口总体接受为期一年的观测时单原因减员率可用离散型二项模型或连续型泊松模型来测算。最简单的泊松模型假定死亡者立即被代替，因此历险数保持不变。更普遍的模型允许被观测者在观测期内进入或离开，因次，必须用每一个被观测个体的实际被观测时间来计算历险数。第二节死亡力的确定

首先，上一节的模型是以假定死亡率不发生变化为基础的，然而，实际中这些数据会随着年龄的变化而发生变化。第二个问题是，在我们正在进行观测的人群中，在不同的年龄层次上，有些个体可能会离开这个被观测的群体，(在模型中只考虑到了由于死亡才的离开的情况)。第三个问题关系到数据问题。寿险公司提供的数据常常不象我们喜欢的那样严格地按年龄分类。如果是这样，为了估计不同年龄的死亡率，我们就要根据死亡率观测区间进行分组。一、基本模型

(一)给定年龄的历险数

2.初始历险数(IETR)

3.历险数的计算原则

对于年龄为x岁的人，其提供的中心历险数为在不同的时间A和B之间的差额，这就是我们计算历险数的原则，其中：时间A是下列日期中的最后者：年龄达到x岁的日期；观测开始的日期；在观测中加入的日期。时间B是下列日期中的最早者：年龄达到x+1岁的日期；观测结束的日期；退出观测的日期。对初始历险数，在存在死亡的情况下，时间B(假设我们现在进行的是死亡率观测)总是年龄达到x+1岁时日期。二、年龄定义和死亡率观测区间

(一)死亡率观测区间

1.最常用的三种死亡率观测区间是：生理年度(lifeyear)，日历年度和保单年度(policyyear)。2.当生理年度死亡率观测区间这种方法被采用后，个人的年龄记录是参照个人的生日来确定的。个人的年龄标识不必一定在个人的生日发生改变。举例来说，我们用到现在为止的年龄定义，“上一个生日年龄”即指一个生理年度死亡率观测区间，因为无论何时，只要一个人何时渡过一次生日，其年龄将要增长。3.当日历年度的死亡率观测区间被采纳后，一个人的年龄记录是参照日历中规定的时点。年龄随着日历的变化而发生改变。这种变化不必一定发生在1月1日。举例来说，年龄定义“此前10月1日的最接近的生日年龄”是指一个日历年度死亡率观测区间，他的年龄标识将在每年的10月1日发生改变。4.当保单年度死亡率观测区间被采纳后，个人的年龄记录是由相应的保险单生效日期的纪念日来确定的。其年龄标识将在与保单纪念日相关的一个固定日改变。这个改变不必一定在保单纪念日发生。例如：“当前保单年度中1月1日的下一个生日年龄”。(二)与实际年龄有关的年龄定义对任何死亡率观测区间，我们都要考察其年龄标识和实际年龄的关系。通常，我们将死亡率适用的年龄明确如下：来自于标识为“x岁”的死亡率观测区间的死亡率适用的年龄，是在死亡率观测区间的起点上活着的人其实际年龄的平均值x±f。为了确定一个调节系数(分数)f，常常有必要对死亡率观测区间中实际年龄的分布做一个假设。这个假设应该通过对实际的测试来加以检验。在大多数情况下，我们假定这个分布是均匀分布。例11.7对于按“死亡时下一个生日年龄”定义的年龄概念来说死于x岁的人们，确定它们死亡时的实际年龄平均值。解：第一步是确定死亡率观测区间的类型，也就是确定年龄标识发生变化的时间点。在这个定义中是指被观测者的生日。第二步是弄清：在一个人的年龄标识变化为x的那一瞬间，他们的实际年龄是多少?在这种情况下，由于人们在其第x-1个生日时获得年龄标识x，所以，答案为x-1。因此，年龄调整要求这里的f=-1，即用这种年龄定义计算出的任何死亡率适应的年龄为x-1。注意，在这个例子中，我们没有强求对生日的分布或保单的纪念日做一定的假设。对于计算人们在死亡率观测区间起始点的平均年龄问题上，画一个数轴是会起些作用的。例11.8如果年龄是按“死亡所在的日历年度中的生日里所达到的年龄”来定义的，则对按该定义记录为死于x岁的人们，确定它们死亡时的实际年龄平均值。解：这个年龄是根据“死亡之前的那个1月1日的下一个生日年龄”确定的。在死亡率观测区间的起点(即1月1日)上，标识为x岁的人其实际年龄将在x-1到x岁之间。所以，如果我们假设生日是均匀地分布在日历年度中，则在死亡率观测区间起点时的平均年龄为x-1/2。用图(数轴)表示就是：三、计算历险数

(二)一致性原则

一致性原则是指计算历险数的年龄范围，等同于死亡分组的年龄范围。通俗地说就是，“分子和分母必须一致”。(三)历险数的精确计算

用精确历险数方法(也称为直接方法)计算历险数的原则与以前规定的原则相同，即一个年龄为x人提供的中心历险数即为日期A和日期B的差额，其中时间A是下列日期中的最后者：获得年龄标识x岁的日期；观测开始的日期；在观测中加入的日期。时间B是下列日期中的最早者：获得年龄标识x+1岁的日期；观测结束的日期；退出观测时间(无论任何种原因)。对于初始历险数，就死亡来说(假设我们正在进行死亡率观测)时间B总是先于这三个时间。(四)统计公式1.中心历险数计算公式的积分形式这个公式可以用来导出下面的中心历险数的统计近似公式，它仅仅要求及时(在统计日)知道在一些特定的点上人口总体中生命个体的数量。2.统计公式(1年的观测期间)

3.统计公式(T年观测期)

4.初始历险数的计算

(五)其他减员

(六)各年龄死亡率观测区间的比较

生理年度死亡率观测区间的优点是：由于所有个体通常在死亡率观测区间开始的年龄相同，因而该死亡率观测区间的初始死亡率直接与对应(其中f是对所有人都一样的常数)，因此在年龄这一点上就没有涉及近似法。日历年度死亡率观测区间的优点是：所有个体的年龄都可以在年度开始时进行计算(所选择的年度可以与统计日期一致)，我们没有必要对于该年度死亡的人的年龄再次计算，因为在整个一年中它们的年龄记录是不变的。对于选择表死亡率的观测，保单年度死亡率观测区间能够给出最精确的结果。原因是死亡率与保龄的关系是非线性的，尤其是在早些年，情况更是如此，因而保龄的改变对死亡率的影响比年龄的改变所产生的影响要大。四、选择性死亡率(一)死亡率观测区间长度的选择方法1：对所有平均年龄为x+r＝y和精确的已投保时间为r的人观测其下一个已投保时间年度(durationyear)，也就是其保龄为r+1且其平均年龄为x+r+1=y+1之前的那一年。例如，我们观测投保时最接近的生日年龄为x岁的人，在保龄由x+r增加至x+r+1的那一年的情况。然而，要作为对精确年龄y时死亡率的估计，其历险数必须相当于对所有人在精确年龄y和y+1之间进行观测。为此，有必要假设：(a)生日均匀分布于保单年度；(b)死亡力在年龄由y-1/2到y+1/2的两年期间的变化是线性的。第一个假设不一定合理，这取决于数据；第二个假设可能对大多数y值都能接受，除非当死亡率在很短的年龄范围内变化很大。方法2：对那些精确年龄为x+r=y和平均保龄为r的人观测其下一个年龄年度，也就是其精确年龄为x+r+1=y+1和平均保龄r+1之前的那一年。例如，我们观测年龄为y到y+1之间的年龄年度中那些年初最接近的保单纪念日的保龄为r的人，也就是我们观测那些在下一年中其最接近第y岁生日的保单纪念日所标识的保龄为r的人。为了对精确保龄r做出估计（即相当于观测在r和r+1之间的所有人），需要以下假设：(a)生日均匀分布于保单年度；(b)死亡力在r-到r+之间的两年期间的变化是线性的。与方法1一样，第一个假设不一定合理，这取决于数据；对于第二个假设，由于死亡率在最初几年的变化是很快的，与年龄的影响相比，保龄的影响更大，所以，它成立的可能性更小。所以，涉及到保单年度的方法1是较好的选择。（二）年龄和保龄的保单年度死亡率观测区间

1.当前年龄法(Currentagemethod)

在保单纪念日r和r+1之间的人可以定义为保单纪念日具有年龄标识为y的人。这就是当前年龄分组法，因为我们是用死亡之年年初的平均年龄进行计算的。例11.14

如果在选择性死亡率观测中，死亡记录采用的年龄定义和保龄定义为：“死亡之前保单纪念日的最接近的生日年龄和死亡之前保单纪念日的保龄”，试确定与标识为“年龄y，保龄r”的死亡率观测区间的死亡率相对应的年龄和保龄。解：年龄和保龄标识都在保单纪念日发生改变。所以我们对二者都采用保单年度死亡率观测区间。在死亡率观测区间的起点，平均实际年龄是y(假设生日均匀分布在保单年度)且平均实际保龄为r(不须假设)。我们把选择性死亡率用投保时的年龄和保龄来表示。如果在第r个保单纪念日其平均实际年龄为y，他一定是在