2023-2024学年9上数学期末考点（北师大版）猜题01 特殊平行四边形（易错必刷32题7种题型专项训练）解析版

第1章特殊平行四边形（易错必刷32题7种题型专项训练）直角三角形斜边上的中线菱形的性质矩形的性质矩形的判定正方形的性质正方形的判定梯子模型一．直角三角形斜边上的中线（共3小题）1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为（）A．10 B．6 C．5 D．4【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝5，故选：C．2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，点D是AB的中点，△DEF的周长是10，则S△ABC是（）A．6 B．6 C．7 D．18【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC，∴BF＝BC＝3，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠BEA＝90°，∴EF＝BC＝3，∵点D是AB的中点，∴DF＝AB，DE＝AB，∵△DEF的周长是10，∴DF+DE+EF＝10，∴AB+AB+3＝10，解得：AB＝7，在Rt△AFB中，AF＝＝＝2，∴S△ABC＝BC•AF＝×6×2＝6，故选：B．3．如图，在△ABC中，BC＝40，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F、G分别是BC、DE的中点，若DE＝24，则FG的长度为16．【答案】16．【解答】解：连接DF，EF，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵点F是BC的中点，BC＝40，∴DF＝BC＝20，EF＝BC＝20，∴DF＝EF＝20，∵点G是DE的中点，∴DG＝DE＝12，FG⊥DE，在Rt△DGF中，FG＝＝＝16，故答案为：16．二．菱形的性质（共2小题）4．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023个菱形的边长为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝1，∴OB＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，同理可得：AC1＝3，∴第1个菱形的边长＝1＝（）0，第2个菱形的边长＝＝（）1，第3个菱形的边长＝3＝（）2，…∴第2023个菱形的边长＝（）2022，故选：B．5．如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（）A． B． C．4 D．【答案】B【解答】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，∴AF＝CF，∴y＝EF+CF＝EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，如图2，当x＝0时，y＝6，设BE＝a，则CE＝4a，∴y＝a+5a＝6，∴a＝1，∴BC＝5，由图2知：BD＝6，如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BG＝BD＝3，由勾股定理得：CG＝4，∴△ECG的面积＝S△BCG＝•CG•EH，∴××3×4＝×4×EH，∴EH＝，∴CH＝＝＝，∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，∴AE＝＝＝，即图象最低点的纵坐标是．故选：B．三．矩形的性质（共8小题）6．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行【答案】C【解答】解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：C．7．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故选：D．8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，且B（8，4），动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点B出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC→CO向点O运动，当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动．设点E，F运动时间为t秒，在运动过程中，如果AE＝3CF，那么t＝3或6秒．【答案】3或6．【解答】解：当F在BC边上，如图：由题意得：AE＝t，BF＝t，CF＝4﹣t，∵AE＝3CF，∴t＝3（4﹣t），∴t＝3．当F在OC上时，如图：AE＝t，CF＝t﹣4，∵AE＝3CF，∴t＝3（t﹣4），∴t＝6，∵当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动，∴0≤t≤8，∴t＝6符合题意．故答案为：3或610．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），D为OA的中点，点P在边BC上运动，当PD＝OD时，点P的坐标为（4，8）或（16，8）．【答案】（4，8）或（16，8）．【解答】解：如图，作DH⊥BC于H，∵D为OA的中点，A（20，0），∴OD＝10，∵DP＝DO，∴DP＝10，当点P在H左边时，在Rt△DHP中，由勾股定理得，PH＝＝6，当点P'在H右边时，HP'＝PH＝6，∴CP＝4，CP'＝16，∴P（4，8）或（16，8），故答案为：（4，8）或（16，8）．11．如图，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，R在CD边上，且CR＝1，P为BC上一动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度为．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AR．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵BC＝6，AB＝3，CR＝1，∴AD＝6，DR＝2，∴AR＝＝2，∵AE＝EP，PF＝FR，∴EF＝AR＝×2＝，故答案为：．12．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．【答案】（1）当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．13．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒．（1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t＝1.25．（2）（4，2）或（1.5，2）或（﹣1.5，2）．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2），∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝2，∵点D时OA的中点，∴OD＝OA＝2.5，由运动知，PC＝2t，∴BP＝BC﹣PC＝5﹣2t，∵四边形PODB是平行四边形，∴PB＝OD＝2.5，∴5﹣2t＝2.5，∴t＝1.25；（2）①当Q点在P的右边时，如图，∵四边形ODQP为菱形，∴OD＝OP＝PQ＝2.5，在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝1.5，∴2t＝1.5；∴t＝0.75，∴Q（4，2）；②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图，同①的方法得出t＝2，∴Q（1.5，2），③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，同①的方法得出，t＝0.5，∴Q（﹣1.5，2）；综上，Q点坐标为（4，2）或（1.5，2）或（﹣1.5，2）．14．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．【答案】（1）答案见解答；（2）25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵O为BD的中点，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．四．矩形的判定（共3小题）15．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB【答案】B【解答】解：A．当AD＝BC，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形；B．当AB＝CD，AD∥BC时，四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C．当∠DAB＝∠ABC，AD∥BC时，∠DAB＝∠CBA＝90°，再根据AC＝BD，可得△ABD≌△BAC，进而得到AD＝BC，即可得到四边形ABCD是矩形；D．当∠DAB＝∠DCB，AD∥BC时，∠ABC+∠BCD＝180°，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形；故选：B．18．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝AB，∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，理由：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵AF＝BC，∴AF＝DE，由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE为矩形．16．如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．（1）求证：四边形ACBE是矩形；（2）连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长．【答案】（1）证明见解答；（2）2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AC⊥AD，∴∠EAC＝∠DAC＝90°，∵∠ECA＝∠ACD，∴∠AEC＝∠ADC，∴CE＝CD，∴AE＝AD＝BC，∵AE∥BC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠EAC＝90°，∴四边形ACBE是矩形；（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于F，由（1）知：四边形ACBE是矩形，∴对角线AB和CE相等且互相平分，AO＝AB＝2，∴OA＝OC，∵∠ACD＝∠ACO＝60°，∴△AOC是等边三边形，∴∠OAC＝60°，∵∠EAC＝90°，∴∠FAO＝90°﹣60°＝30°，Rt△AFO中，OF＝AO＝1，AF＝，Rt△AEB中，AE＝＝2，∴DF＝AF+AD＝+2＝3，∴OD＝＝＝2．五．正方形的性质（共11小题）17．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∵DE＝DE，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠EAD＝∠ECD，又∵∠BCE＝70°，方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．方法2：∴∠BEC＝65°，∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，即65°＝45°+∠ECD，∴∠ECD＝20°，∴∠EAD＝20°．故选：C．18．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2 B．4 C． D．2【答案】D【解答】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：D．19．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴CE＝DE，设CE＝x，则DE＝2x，根据勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，即32+x2＝（2x）2，解得：x＝±（负值舍去），∴CE＝，∵DE⊥CF，∴∠DOC＝90°，∴∠DCO＝60°，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°＝∠CDE，∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴BF＝CE＝．故选：C．20．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm2【答案】B【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝．故选：B．21．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是①②③．【答案】①②③．【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；∴矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③．故答案为：①②③．22．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB+∠AEC＝180°，其中正确的有①②③⑤（填写序号）．【答案】①②③⑤．【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠AFB＝∠DEA，AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，∴∠AFB+∠AEC＝∠DEA+∠AEC＝180°，故⑤正确；∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO＝OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故④错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故③正确；综上所述，正确的有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．23．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AP、BE相交于点G，下列结论中正确的是①②④．①AF＝BE；②AF⊥BE；③AG＝GE；④S△ABG＝S四边形CEGF．【答案】①②④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABF与△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）．∴AF＝BE，故①正确；∵∠BAF+∠BFA＝90°，∠BAF＝∠EBC，∴∠EBC+∠BFA＝90°，∴∠BGF＝90°，∴AF⊥BE，故②正确；∵GF与BG的数量关系不清楚，∴无法得AG与GE的数量关系，故③错误；∵△ABF≌△BCE，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BGF＝S△BCE﹣S△BGF，即S△ABG＝S四边形CEGF，故④正确；故答案为：①②④．24．如图，七个正方形拼成一个长方形图案，若中间小正方形的面积为1，则图中最大正方形的面积等于25．【答案】25．【解答】解：如图，由中间小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设次小正方形A的边长为a，则正方形B的边长为a+1，正方形C的边长为a+2，最大正方形D的边长为a+3，由长方形的性质可知，a+3+a+2＝a+a+a+a+1，解得a＝2，∴大正方形D的边长为5，∴最大正方形的面积为25．故答案为：25．25．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点E是AD的中点，动点F从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动，设点F的运动时间为ts，当△CEF为等腰三角形时，t的值是1或2或．【答案】1或2或．【解答】解：根据题意得，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，①当CE＝CF时，即CF＝2，在Rt△BCF中，BF＝＝＝2，∴AF＝AB﹣BF＝2，∴t＝2÷2＝1；②当CE＝EF时，即EF＝2，在Rt△AEF中，AF＝＝＝4，∴t＝4÷2＝2；③当EF＝CF时，设AF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BCF中，CF2＝BC2+BF2，在Rt△AEF中，EF2＝AE2+AF2，即42+（4﹣x）2＝22+x2，解得x＝，即AF＝，∴t＝÷2＝．故答案为：1或2或．26．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：AE＝EF成立，理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME与△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（3）存在，理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴DM＝AE，由（2）AE＝EF，∴DM＝EF，∴四边形DMEF为平行四边形．27．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N．（1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN；（2）如图2，若E点不与O点重合：①EM还等于EN吗？说明理由；②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在正方形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，且∠OBC＝∠OCD，∠BOC＝90°，∵∠FOG＝90°，∴∠BOM＝∠BOC﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC，∠CON＝∠FOG﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BOM＝∠CON，在△OBM和△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴EM＝EN；（2）过E作EH⊥BC，EG′⊥CD，由正方形ABCD可知，AC平分∠BCD，∴EH＝EG′，∵∠HEG＝360°﹣∠EHC﹣∠EG′C﹣∠HCG′＝90°，∴∠MEH＝∠NEG′，而∠EHM＝∠EG′N＝90°，∴△EMH≌△ENG′，∴EM＝EN；（3）由△EMH≌△ENG′可知，MH＝NG′，而EG′＝HC，∴MC+NC＝MH+HC+NC＝NG′+EG+NC＝EG′+CG′＝2CG′，∵CG′＝EC，∴MC+NC＝EC．答：（1）EM＝EN，（2）EM＝EN，（3）MC+NC＝EC．六．正方形的判定（共3小题）28．下列说法不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形【答案】D【解答】解：A．一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意；B．对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意；C．对角线相等的菱形是正