2023-2024学年7上数学期末考点（北师大版）专题04 一元一次方程（7个考点）解析版

专题04一元一次方程（考点清单）【考点1】一元一次方程的定义【考点2】方程的解/一元一次方程的解【考点3】等式的性质【考点4】解一元一次方程【考点5】同解方程【考点6】求含参数的一元一次方程【考点7】一元一次方程的应用【考点1】一元一次方程的定义1．（2023春•衡阳期末）下列各式是一元一次方程的是（）A．2x＝5+3y B．y2＝y+4 C．3x+2＝1﹣x D．【答案】C【解答】解：A．方程2x＝5+3y是二元一次方程，选项A不符合题意；B．方程y2＝y+4是一元二次方程，选项B不符合题意；C．方程3x+2＝1﹣x是一元一次方程，选项C符合题意；D．方程x+＝2是分式方程，选项D不符合题意．故选：C．2．（2022秋•永兴县期末）若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．任何数【答案】A【解答】解：根据一元一次方程的特点可得，解得m＝1．故选：A．3．（2023春•秦安县期末）已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为（）A．±2 B．﹣2 C．1 D．2【答案】B【解答】解：由题意，得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故选：B．4．（2023春•鹤壁期末）如果方程x2n﹣5﹣2＝0是关于x的一元一次方程，则n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵方程x2n﹣5﹣2＝0是关于x的一元一次方程，∴2n﹣5＝1，∴n＝3．故选：B．5．（2020秋•沂水县期末）若关于x的一元一次方程2k﹣x﹣4＝0的解是x＝﹣3，那么k的值是（）A． B． C．6 D．10【答案】A【解答】解：∵关于x的一元一次方程2k﹣x﹣4＝0的解是x＝﹣3，∴2k+3﹣4＝0，解得：k＝，故选：A．【考点2】方程的解/一元一次方程的解6．（2022秋•东西湖区期末）已知x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣6＝0的解，则a的值为（）A．0 B．3 C．﹣3 D．【答案】B【解答】解：∵x＝2是一元一次方程ax﹣6＝0的解，∴2a﹣6＝0，解得a＝3．故选：B．7．（2023春•德宏州期末）若x＝2是关于x的一元一次方程mx+n＝3的解，则代数式6m+3n﹣2的值是（）A．2 B．3 C．7 D．9【答案】C【解答】解：把x＝2代入方程可得2m+n＝3，∴6m+3n﹣2＝3（2m+n）﹣2＝3×3﹣2＝7．故选：C．8．（2022秋•佛山期末）小明同学在做作业时，发现自己不小心将方程x+3＝﹣2（x﹣3）﹣★的一个常数涂黑看不清了，询问王老师后，王老师告诉他，这个方程的解是x＝﹣3，则这个被涂黑的常数★是（）A．﹣12 B．12 C．3 D．﹣3【答案】B【解答】解：将x＝﹣3代入原方程得：﹣3+3＝﹣2×（﹣3﹣3）﹣★，解得：★＝12．故选：B．【考点3】等式的性质9．（2022秋•惠城区校级期末）下列运用等式的性质变形正确的是（）A．若x＝y，则x+5＝y﹣5 B．若a2＝b2，则a＝b C．若，则a＝b D．若ax＝ay，则x＝y【答案】C【解答】解：A：若x＝y，则x+5＝y+5，故A不正确，不合题意；B：若a2＝b2，则a＝±b，故B不正确，不合题意；C：若，则a＝b，故C正确，符合题意；D：若ax＝ay，则a≠0时x＝y，故D不正确，不合题意；故选：C．10．（2022秋•雅安期末）下列等式变形错误的是（）A．若，则x﹣1＝2x B．若x﹣1＝3，则x＝4 C．若x﹣3＝y﹣3，则x﹣y＝0 D．若3x+4＝2x，则3x﹣2x＝﹣4【答案】A【解答】解：等式的两边同时乘以2，x﹣2＝2x，故A错误；故选：A．11．（2022秋•永定区期末）下列变形中，不正确的是（）A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y C．若，则x＝y D．若x＝y，则＝【答案】D【解答】解：（D）当m＝0时，与无意义，故D选项错误，故选：D．12．（2022秋•沙依巴克区校级期末）已知等式a＝b，则下列等式中不一定成立的是（）A．a+1＝b+1 B．2a﹣2b＝0 C． D．ac＝bc【答案】C【解答】解；A、两边都加1，故A正确，不符合题意；B、两边都乘以2，故B正确，不符合题意；C、当c＝0时，无意义故C错误，符合题意；D、两边都乘以c时，故D正确，不符合题意；故选：C【考点4】解一元一次方程13．（2022秋•利川市期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（）A．方程x﹣2（3﹣x）＝1去括号得x﹣6+2x＝1 B．方程3x+2＝2x﹣2移项得3x﹣2x＝﹣2+2 C．方程去分母得2x+1﹣1＝3x D．方程分母化为整数得【答案】A【解答】解：A、方程x﹣2（3﹣x）＝1去括号得x﹣6+2x＝1，正确，该选项符合题意；B、方程3x+2＝2x﹣2移项得3x﹣2x＝﹣2﹣2，原过程错误，该选项不符合题意；C、方程去分母得2x+1﹣3＝3x，原过程错误，该选项不符合题意；D、方程分母化为整数得，原过程错误，该选项不符合题意；故选：A．14．（2022秋•武昌区期末）解方程﹣＝1，去分母正确的是（）A．3（x﹣1）﹣2（2+3x）＝1 B．3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6 C．3x﹣1﹣4x+3＝1 D．3x﹣1﹣4x+3＝6【答案】B【解答】解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6，故选：B．15．（2022秋•西山区期末）解下列方程：（1）3（x﹣2）＝2（x﹣1）；（2）．【答案】（1）x＝4；（2）x＝﹣1．【解答】解：（1）3（x﹣2）＝2（x﹣1），3x﹣6＝2x﹣2，3x﹣2x＝﹣2+6，x＝4；（2），3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），9x﹣3﹣12＝10x﹣14，9x﹣10x＝﹣14+3+12，﹣x＝1，x＝﹣1．16．（2022秋•如皋市校级期末）解方程：（1）3﹣2（x+2）＝3（x﹣1）；（2）．【答案】（1）；（2）x＝﹣13．【解答】解：（1）3﹣2（x+2）＝3（x﹣1）去括号得：3﹣2x﹣4＝3x﹣3，移项得：﹣2x﹣3x＝﹣3﹣3+4，合并同类项得：﹣5x＝﹣2，系数化为1得：；（2）去分母得：3（x﹣1）﹣6＝2（2x+2），去括号得：3x﹣3﹣6＝4x+4，移项得：3x﹣4x＝4+3+6，合并同类项得：﹣x＝13，系数化为1得：x＝﹣13．17．（2022秋•仪征市期末）解方程：（1）5（x﹣1）+3＝3x﹣3；（2）+＝1．【答案】（1）x＝；（2）x＝．【解答】解：（1）5（x﹣1）+3＝3x﹣3，5x﹣5+3＝3x﹣3，5x﹣3x＝﹣3﹣3+5，2x＝﹣1，x＝；（2）+＝1，2（x﹣1）+5x＝10，2x﹣2+5x＝10，2x+5x＝10+2，7x＝12，x＝．18．（2022秋•南昌期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务，﹣＝解：2×2x﹣（4﹣3x）＝2（5x+8）第一步4x﹣4+3x＝10x+16第二步4x+3x﹣10x＝16﹣4第三步﹣3x＝12第四步x＝﹣4第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律；②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号；③请直接写出该方程的正确解：x＝﹣；任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．【答案】任务一：①等式的基本性质，乘法分配律；②三，移项没有变号；③x＝﹣；任务二：答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“﹣”号，去掉括号时括号里面各项都要变号等．【解答】解：任务一：①以上解题过程中，第一步的依据等式的基本性质进行变形得；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律；②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号；③该方程的正确解是x＝﹣；故答案为：①等式的基本性质，乘法分配律；②三，移项没有变号；③x＝﹣；任务二：答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“﹣”号，去掉括号时括号里面各项都要变号等．【考点5】同解方程19．（2022秋•徐闻县期末）若方程2x﹣5＝x﹣2与的解相同，求a的值．（解方程要有详细步骤）．【答案】a的值为1．【解答】解：2x﹣5＝x﹣2，2x﹣x＝﹣2+5，x＝3，由题意得：把x＝3代入中可得：3a﹣＝a﹣，30a﹣5（3﹣a）＝10a﹣2（a﹣6），30a﹣15+5a＝10a﹣2a+12，30a+5a﹣10a+2a＝12+15，27a＝27，a＝1，∴a的值为1．20．（2022秋•岳麓区校级期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；（1）求这个相同的解；（2）求a的值．【答案】（1）x＝﹣1．（2）a＝﹣1．【解答】解：（1）6x﹣9＝10x﹣5移项，得：6x﹣10x＝﹣5+9，合并同类项，得：﹣4x＝4，系数化为1，得：x＝﹣1．（2）由方程6x﹣9＝10x﹣5与方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同，得3a﹣1＝3（﹣1+a）﹣2a，解得a＝﹣1．21．（2022秋•沧州期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2x﹣＝x+1．（1）小明猜想“”部分是2．请你算一算x的值；（2）小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程1﹣＝的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？【答案】（1）2；（2）．【解答】解：（1）∵2x﹣2＝x+1，∴2x﹣x＝1+2，∴x＝3，∴x＝2；（2）∵1﹣＝，∴10﹣2（2x+1）＝x+3，∴10﹣4x﹣2＝x+3，∴﹣4x﹣x＝3﹣10+2，∴﹣5x＝﹣5，∴x＝1，设污染的常数为a，把x＝1代入方程得：2﹣a＝+1，解得：a＝，答：污染的常数应是．22．（2022秋•晋州市期末）已知：关于x的方程和3（2﹣x）＝2x+1的解相同．求代数式（2﹣m）2022﹣（5﹣2m）2023﹣1的值．【答案】1．【解答】解：解方程3（2﹣x）＝2x+1，得x＝1，将x＝1代入，得，3（m﹣1）+2（m﹣3）＝6，3m﹣3+2m﹣6＝6，5m＝15，m＝3，将m＝3代入（2﹣m）2022﹣（5﹣2m）2023﹣1，则（2﹣m）2022﹣（5﹣2m）2023﹣1＝（﹣1）2022﹣（﹣1）2023﹣1＝1+1﹣1＝1．【考点6】求含参数的一元一次方程23．（2022秋•莱芜区期末）定义一种新运算“⊕”：m⊕n＝3n﹣2m+1，比如：4⊕（﹣5）＝3×（﹣5）﹣2×4+1＝﹣22．（1）求（﹣3）⊕2的值；（2）已知（3x﹣1）⊕（x+3）＝6，请根据上述运算，求x值．【答案】（1）13；（2）2．【解答】解：（1）∵m⊕n＝3n﹣2m+1，∴（﹣3）⊕2＝3×2﹣2×（﹣3）+1＝6﹣（﹣6）+1＝13．（2）∵m⊕n＝3n﹣2m+1，（3x﹣1）⊕（x+3）＝6，∴3（x+3）﹣2（3x﹣1）+1＝6，去括号，可得：3x+9﹣6x+2+1＝6，移项，可得：3x﹣6x＝6﹣9﹣2﹣1，合并同类项，可得：﹣3x＝﹣6，系数化为1，可得：x＝2【考点7】一元一次方程的应用24．（2022秋•西山区期末）一份数学竞赛题，有25道选择题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，某同学做了全部试题，得了85分，他共做对了（）A．19道 B．20道 C．21道 D．22道【答案】C【解答】解：设他做对的题数为x道，则做错的题数为（25﹣x）道，根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝80，解得：x＝21，即他共做对了21道题，故选：C．25．（2022秋•莱芜区期末）有这样﹣道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多三尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳三尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（）A． B．3x+3＝4x+1 C． D．3（x+3）＝4（x+1）【答案】D【解答】解：设井深为x尺，依题意，得：3（x+3）＝4（x+1）．故选：D．26．（2022秋•汇川区期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是（）A．31 B．56 C．67 D．126【答案】C【解答】解：设“凹”型框中左上角的数字为x，则其他5个数字为x+2，x+7，x+8，x+9，则这5个数的和为x+（x+2）+（x+7）+（x+8）+（x+9）＝5x+26，令5x+26＝31，得x＝1，符合实际，故选项A不符合题意；令5x+26＝56，得x＝6，符合实际，故选项B不符合题意；令5x+26＝67，得x＝，不符合实际，故选项C符合题意；令5x+26＝126，得x＝20，符合实际，故选项D不符合题意；故选：C．27．（2022秋•市南区期末）古书中有一道题，原文是：今有四人共车，三车空；三人共车，九人步，问人与车共几何？译文是：今有若干人乘车，每4人共乘一辆车，剩下三辆车；若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A．﹣9 B． C． D．【答案】B【解答】解：依题意，得：+3＝．故选：B．28．（2022秋•西山区期末）某商品的售价为200元，若以9折出售，仍可获利20%，则该商品进价是150元．【答案】150．【解答】解：设该商品的进价为x元．根据题意得200×0.9﹣x＝20%•x．解得x＝150．故答案为：150．29．（2022秋•建湖县期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司采取价格调控的手段达到节水的目的，市自来水收费的价目表如下（水费按月结算）：每月用水量价格不超过6m3的部分3元/m3超过6m3不超过10m3的部分4.5元/m3超过10m3的部分7元/m3根据如表的内容解答下列问题：（1）若小锦家5月份用水5m3，则应交水费15元；（2）若小锦家6月份用水am3（其中6＜a≤10），求小锦家6月份应交水费多少元；（用含a的式子表示）（3）若小锦家7月份交水费78元，求小锦家7月份的用水量是多少立方米．【答案】（1）15；（2）（4.5a﹣9）元；（3）16m3．【解答】解：（1）根据题意得：5×3＝15（元）．答：应交水费15元；故答案为：15．（2）根据题意得：6×3+（a﹣6）×4.5＝18+4.5a﹣27＝（4.5a﹣9）元．∴张鸣家5月份应交水费（4.5a﹣9）元；（3）设张鸣家6月份的用水量是xm3，当用水量为10m3时，应交水费4.5×10﹣9＝36（元），∵78＞36，∴x＞10．根据题意得6×3+（10﹣6）×4.5+（x﹣10）×7＝78，解得x＝16．答：张鸣家36份的用水量是16m3．30．（2022秋•如皋市期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的价格比每个足球的价格多5元，购进5个篮球和4个足球共需700元．（1）篮球和足球的进价分别是多少元？（2）该店购进了篮球和足球共120个，篮球在进价的基础上加价25%进行标价，足球在进价的基础上加价25元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利2600元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？（3）在（2）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价95%出售，足球按标价先卖出14个，余下的部分按标价降价10%出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？【答案】（1）篮球的进价为80元，足球的进价为75元；（2）购进的篮球80个，足球40个；（3）该店可获得利润1940元．【解答】解：（1）设足球的价格为x元，则篮球的价格为（x+5）元，根据题意得：5（x+5）+4x＝700，解得：x＝75，x+5＝80，∴篮球的进价为80元，足球的进价为75元；（2）设购进篮球y个，则足球购进（120﹣y）个，篮球的标价为：80×（1+25%）＝100元，足球的标价为：75+25＝100（元），单个篮球的利润为100﹣80＝20元，足球的利润为100﹣75＝25（元），根据题意得20y+25（120﹣y）＝2600，解得：y＝80，120﹣80＝40，∴购进的篮球80个，足球40个；（3）篮球售价为100×95%＝95元，利润为：95﹣80＝15（元）；足球剩下部分售价为100×（1﹣10%）＝90（元），利润为：90﹣75＝15（元）；利润为：15×80+25×14+15×（40﹣14）＝1940（元），∴该店可获得利润1940元．31．（2022秋•青云谱区期末）某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾．（1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？（2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元．则甲、乙车每天的租金分别为多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，依题意，得：+＝1，解得：x＝8．答：甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾．（2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元，依题意，得：（8+3）（y+100）+8y＝3950，解得：y＝150，∴y+100＝250．答：甲车每天的租金为250元，乙车每天的租金为150元．32．（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】（1）调入6名工人；（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【解答】解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴调入6名工人；（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．33．（2022秋•中山市校级期末）整理一批图书，如果由一个人单独做要花40小时．现先由一部分人用1小时整理，随后增加5人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？【答案】10人．【解答】解：设先安排整理的人员有x人，依题意得：＝1．解得：x＝10．答：先安排整理的人员有10人．34．（2022秋•香洲区期末）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有50m2墙面还未来得及刷：同样的时间内5名徒弟粉刷了10个房间的墙面之外，还多粉刷了另外的40m2墙面，每名师傅比徒弟一天多刷10m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；（2）已知每名徒弟每天的工钱为180元，现有28间房需要1名徒弟单独完成粉刷，需支付工钱多少元？【答案】（1）52；（2）2340．【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2，根据题意得，，解得：x＝52，答：每个房间需要粉刷的墙面面积为52m2；（2）1名徒弟1天可粉刷墙面面积：（m2），（元），答：需支付工钱2340元．35．（2022秋•罗庄区期末）下表中有两种移动电话计费方式：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/元/min方式一58200x方式二88400x+0.05其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费．已知当方式一主叫超时20分钟，方式二主叫超时40分钟时，两种方式共收费160元．（1）求x的值．（2）若每月主叫时间不超过400分钟，当主叫时间为多少分钟时，两种方式收费相同？（3）若某月主叫时间为700分钟，选择哪种方式计费更省钱？【答案】（1）x＝0.2；（2）当主叫时间为350分钟时，两种方式收费相同．（3）某月主叫时间为700分钟时，选择方式一收费更省钱．【解答】解：（1）依题意列方程得：58+20x+88+40（x+0.05）＝160，解得，x＝0.2；（2）设主叫时间为t分钟时，两种方式收费相同．∴58+（t﹣200）×0.2＝88，解得，t＝350，∴当主叫时间为350分钟时，两种方式收费相同．（3）若某月主叫时间为700分钟，则方式一收费为：58+（700﹣200）×0.2＝158（元），方式二收费为：88+（700﹣400）×0.25＝163（元），∴某月主叫时间为700分钟时，选择方式一收费更省钱．36．（2022秋•汇川区期末）如图，已知数轴上有A，B两点，它们分别表示数a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝﹣6，b＝12；（2）点C以2个单位长度/秒的速度从点A向点B运动，到达点B后停止运动．若点D为AC中点，点E为BC中点，在点C运动过程中，线段DE的长度是否发生改变？若不变，求线段DE的长度，若变化，请说明原因；（3）在（2）的条件下，点P以1个单位长度/秒的速度同时从原点O向点B运动，P点到达B点后停止运动，问点P运动多少秒后，点P与点C相距2个单位长度？【答案