2025年高考数学大题复习训练：古典概型与统计（原卷）

专题17统计与古典概型

1.“学习强国，，学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,

立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门/PP.某市

宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取4000名人员进行调查，统计他们每

周利用“学习强国'’的时长，绘制如图所示的频率分布直方图（每周利用“学习强国'’的时长均分布在［0,14］）.

⑴求实数。的值，并求所有被抽查人员利用“学习强国''的平均时长（同一组数据用该区间的中点值作代表）;

（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从［8,10）和［10,12）组中抽取

50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，现从参加

座谈会的5人中随机抽取2人发言，求［10,12）组中恰好有1人发言的概率.

2.某学校参加全国数学竞赛初赛（满分100分）.该学校从全体参赛学生中随机抽取了200名学生的初赛

成绩绘制成频率分布直方图如图所示：

（1）根据频率分布直方图给出的数据估计此次初赛成绩的中位数和平均分数；

（2）从抽取的成绩在90-100的学生中抽取3人组成特训组，求学生2被选的概率.

3.某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了100名这类大学生进行调

查，将收集到的课余学习时间(单位：h)整理后得到如下表格：

课余学习时间[1,3：[3,5：[5,7：[7,9：[9,11

人数510254020

(1)估计这100名大学生每天课余学习时间的中位数；

(2)根据分层抽样的方法从课余学习时间在［7,9)和［9,11］,这两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人,

求抽到的2人的课余学习时间都在［7,9)的概率.

4.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻

留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成.并将进入建造阶段某地区为了激

发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度

高的有机人，这根人按年龄分成5组，其中第一组：［20,25),第二组：［25,30),第三组：［30,35),第四组：

［35,40),第五组：［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

频率

(1)根据频率分布直方图，估计这小人的第80百分位数(中位数=第50百分位数)；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者.

①若有甲(年龄36),乙(年龄42)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,

再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和米第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为

42和1,据此估计这6人中35〜45岁所有人的年龄的平均数和方差.

5.某公司有甲、乙两支研发团队，现在要考察两支团队的研发水平，随机抽取两个团队往年研发新品的成

果如下：（4,8）,栗如）,（AB）,（4瓦），（4,8）,（AB）,栗如）,（1,8）,栗如）,（I如）,（48）,栗如）,

（A,B）,（4B）.其中41分别表示甲团队研发成功和失败；B,耳分别表示乙团队研发成功和失败.

（1）若某团队成功研发一种新品，则给该团队记1分，否则记0分.试求两队研发新品的成绩的平均数和方差,

并比较两团队的研发水平；

（2）若公司安排两团队各自研发一种新品，试估计恰有一队研发成功的概率.

6.我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表,

统计知，有600名学生选择物理科，400名学生选择历史科.分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽

取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：

分数段物理人数历史人数

[40,50)02

[50,60)14

[60,70)34

[70,80)65

[80,90)63

[90,100]42

频率

组距

0.040

0.035

0.030

0.025±

0.020

0.015

0.010

0.005T

405060708090100成绩(1)利用表中数据,试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，

并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图，并求出选择物理科的学生的数学成绩的平均数(如

图);

(2)从数学成绩低于80分的选择物理科和历史科的学生中按照分层抽样的方法抽取5个成绩，再从这5个成

绩中抽2个成绩，求至少有一个选择物理科学生的概率.

7.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组:[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据”,b,

c成等差数列，成绩落在[40,50)U[70,80)内的人数为400.

(1)求出直方图中。，6,c的值；

(2)估计中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(3)在区间[80,100]内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求

抽取两人中恰好有1人得分在区间[90,100]内的事件概率.

8.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成5组:[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据0,6,c成等差

数列，成绩落在区间[60,70)内的人数为400.

(2)估计中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);

(3)在区间[80,100]内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求

抽取两人中恰好有1人得分在区间[90,100]内的事件概率.

9.全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了

50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)/80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中山的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

⑵在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人，再从这II

人中随机抽取2人，求这2人成绩都不在[70,80)的概率.

10.清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭

英烈”活动，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为4:5:6,

为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据.

年级人数方式初一年级初二年级初三年级

前往革命烈士纪念馆2a-l810

线上网络ab2

(1)求a,b的值；

(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个

年级的概率.

11.已知1个不透明的袋子中装有6个白球和4个黄球(这些球除颜色外无其他差异).甲从袋中摸出1球,

若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出

的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放入1个黄球.再充分搅拌均

匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球，记袋子中

白球的个数为X.

⑴求袋子中球的颜色只有一种的概率；

⑵求X的分布列和期望.

12.在数学探究实验课上，小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,

一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球，不放回.

(1)若盒子中有6个球，从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为•1.

①求红球的个数；

②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

(2)已知盒子中有一半是红球，若“从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球”的概率不大于三，求盒子中球的总

个数的最小值.

13.某班在一次班会课上推出了一项趣味活动：在一个箱子里放有4个完全相同的小球，小球上分别标注

有1、2、3、4号码.参加活动的学生有放回地摸两次球，每次摸1个，并分别记录下球的号码数字x,y.奖

励规则如下：①若次3,则奖励笔记本1本；②若孙次，则奖励水杯1个；③其余情况奖励饮料1瓶.

(1)求小王获得笔记本的概率；

(2)试分析小王获得水杯与获得饮料，哪一个概率大？

14.2022年2月4日，第24届北京冬奥会在国家体育馆隆重开幕，本届冬奥会吸引了全球91个国家和地

区的2892名冰雪健儿前来参赛.各国冰雪运动健儿在“一起向未来”的愿景中，共同诠释“更快、更高、更强、

更团结”的奥林匹克新格言，创造了一项又一项优异成绩，中国队9金4银2铜收官，位列金牌榜第三，金

牌数和奖牌数均创历史新高.中国健儿在赛场上努力拼搏，激发了全国人民参与冰雪运动的热情，憨态可掬

的外貌加上富有超能量的冰晶外壳的吉祥物“冰墩墩”备受大家喜爱.某商场举行“玩摸球游戏，领奥运礼品”

的促销活动，活动规定：顾客在该商场一次性消费满300元以上即可参加摸球游戏.摸球游戏规则如下：在

一个不透明的袋子中装有10个大小相同、四种不同颜色的小球，其中白色、红色、蓝色、绿色小球分别有

1个、2个、3个、4个，每个小球上都标有数字代表其分值，白色小球上标30、红色小球上标20、蓝色小

球上标10、绿色小球上标5.摸球时一次只能摸一个，摸后不放回.若第一次摸到蓝色或绿色小球，游戏结束,

不能领取奥运礼品；若第1次摸到白色小球或红色小球，可再摸2次.若摸到球的总分不低于袋子中剩下球

的总分，则可免费领取奥运礼品.

(1)求参加摸球游戏的顾客甲能免费领取奥运礼品的概率；

(2)已知顾客乙在第一次摸球中摸到红色小球，设其摸球所得总分为X,求X的分布列与数学期望.

15.春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，春节历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗,

有许多还相传至今，如买年货、贴对联、吃年夜饭、拜年、放鞭炮、逛庙会、赏花灯等.在春节期间，全

国各地均举行各种贺岁活动，各地因地域文化不同而又存在着习俗内容或细节上的差异，带有浓郁的各民

族特色.在某地的一个庙会上，一个商户为了吸引客人，举行摸奖游戏.在一个口袋内装有形状大小相同

的5个小球，其中，3个红球、1个黑球、1个黄球；若中奖就送价值10元的一件礼品，若不中奖，就在商

户这里买一件价值不低于20元的商品.

(1)若从中一次性摸出2个球，摸出黄球就中奖，求某个客人能领到一件礼品的概率；

(2)商户约定：从口袋中连续取两次球，每次取一球后放回，若取出的两个球中没有红球，则商户可以让

客人免费拿一件价值50元的商品，否则，客人就得买一件价值100元的商品，某客人想试一试，问这位客

人免费拿一件价值50元的商品的可能性会超过20%吗？

16.2023年3月中旬，我国很多地区出现倒春寒现象，突然大幅降温，河南下起了暴雪.研究表明，温度的

突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化.某数学

建模兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒学生人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，

查阅了这六天中每天去校医新增患感冒而就诊的学生人数，得到数据如下表：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差X(℃)47891412

新增就诊人数y(位)yi727475

参考数据：2：=1必=3160,2：=1(%-7)2=256,£；=1(%一元)3-7)=120.

(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有6位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3

位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为三求为的值；

(2)求出y关于x的经验回归方程9=3久+8,且据此估计昼夜温差为16K时，该校新增患感冒的学生数(用

四舍五入法结果保留整数).

附：b=^-^^\a=y-bx.

(.Xf—XJ

17.猜灯迷是我国一种民俗娱乐活动，某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提

供了5道灯谜题目，答题人从中随机选取2道灯迷题目作答，若2道灯谜题目全答对，答题人便可获得奖

品.

⑴若甲只能答对工作人员所提供的5道题中的2道，求甲能获得类品的概率；

(2)若甲不能获得奖品的概率为《，求甲能答对所提供灯谜题目的数量.

18.为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大

规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04,漏检率约为0.01.(错检率指在检测出阳

性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率)

(1)当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；

(2)为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将〃个人的样本

装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这〃个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区

的居民进行核酸检测，/疫区共有10000名居民，采用律=10的混采策略；3疫区共有20000名居民，采

用n=20的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032,通过计算比较/、

B两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.

参考数据：0.98671。=0.8747,*=2.24

19.某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人

数的比值）统计如下表：

专业机电维修艺术舞蹈汽车美容餐饮电脑技术美容美发

招生人数100100300200800500

就业率100%70%90%80%50%80%

（I）从该校往年的学生中随机抽取1人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；

（II）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少巾（0<m<400）,将“机

电维修”专业的招生人数增加假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，

其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高5个百分点，求小

的值.

20.长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10

万元进行投资，并看中了两种为期60天（视作2个月）的稳健型（不会亏损）理财方案.

方案f年化率2.4%,且有10%的可能只收回本金；

方案二：年化率3.0%,且有20%的可能只收回本金；

已知老张对每期的投资本金固定（都为10万元），且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不

间断地进行下一期投资，并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资.

⑴设第i次投资&=1,2,3,…ri）选择方案一的概率为Pj,求P4；

（2）求一年后老张可获得总利润的期望（精确到1元）.

注：若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资，则该次投资获利3=2.4%x^x1000=10元

21.某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经

过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.

频率/组距

0.00020

0.00015

0.00003

O200040006000800010000经济损失/元

⑴求a的值；

（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；

⑶现按照分层抽样的方法从经济损失在［4000,8000）的居民中随机抽取8人，再从这8人中任取2人了解情

况，求至多有1人经济损失在［4000,6000）的概率.

22.甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮

第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两

场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多

少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概

率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.

队伍近10场胜场比队伍

甲7:3乙

甲5:5丙

甲4:6T

乙4:6丙

乙5:5T

丙3:7T

⑴三轮比赛结束后甲的积分记为X,求P(X=3)；

(2)若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3、3、0、6,求甲队能小组出线的概率.

23.高三年级计划从甲、乙两个班中选择一个班参加学校的知识竞赛，设甲班的成绩为久，乙班的成绩为y,

(2)若|x-y|W5,则称甲、乙属于“同一阶层”.若从上述6次考试中任取三次，求至少有两次甲、乙属于

“同一阶层”的概率.

(%1—%)2+(%2-M)2+…+(x-x)2

附：方差s2=n

n

24.高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路”的知识问卷调查,

并从中随机抽取了12份问卷，得到测试成绩（百分制）的茎叶图如图.

成绩

52

6378

72666

828

934

（1）写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数.

（2）从测试成绩为［70,90］的学生中随机抽取2人，求两位学生的测试成绩均落在［70,80］的概率.

25.一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、

团结一心，共抗疫情。每天测量体温也就成为了所有人的一项责任，一般认为成年人腋下温度T（单位：。C）

平均在36。。〜37℃之间即为正常体温，超过37.1℃即为发热。发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类

型：低热：37.1WTW38；高热：38<7W40；超高热（有生命危险）：T>40.

某位患者因发热，虽排除肺炎，但也于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化，从14日开始，以3天

为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，患者每天上午8:00服药，护士

每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：

抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A”治疗使用“抗生素B”治疗

日期12日13日14日15日16日17日18日19日

体温（℃）38.739.439.740.139.939.238.939.0

抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用

日期20日21日22日23日24日25日26日

体温（℃）38.438.037.637.136.836.636.3

（1）请你计算住院期间该患者体温不低于39℃的各天体温平均值；

（2）在18日―22日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a项目”的检

查，求至少两天在高热体温下做“a项目”检查的概率；

(3)抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.

假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.

26.为了了解居民的家庭收入情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了几户家庭进行问卷调查.

经调查发现,这些家庭的月收入在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.

已知图中从左至右第一、二、四小组的频率之比为1:3:6,且第四小组的频数为18.

(2)求这几户家庭月收入的众数与中位数(结果精确到0.1);

(3)这几户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从这6户家庭中

随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率.

27.某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统

计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中小的值；在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在［70,80),［80,90),［90,100］

的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在［80,90)的人数，求P(X=1)；

(2)规定成绩在［90,100］的为4等级，成绩在［70,90)的为B等级，其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替

概率.从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得B等级的人数不少于2人的概率.

28.某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束.考生的考号按0001,0002,……的顺

序从小到大依次排列.某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下：

0400090407470090063607140017043204030276

0986080406970419073502780358043409460123

064703490105018600790434096005430495